Matematika M1, cvičení - ZS 2025/26

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

"SOS" linka :  mobil 604 268 425

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7. dubna 1348 

 

Matematika M1  -  Sylabus a literatura - SIS

Matematika M1 - cvičení:     paralelka 03  -  pondělí   14:50 - 16:20  v D ,   středa   12:20 - 13:50  v CH4
                                               paralelka 05  -  úterý       14:50 - 16:20  v G1,  čtvrtek  10:40 - 12:10  v CH4

Repetitorium matematiky M1:  
Přednáška z Matematiky M1 je ještě doplněna Repetitoriem M1. V minulých letech jsme v Repetitoriu M1 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky M1 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo i ze cvičení.  Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi užitečné Repetitorium zachovat. Dle vyjádření posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum M1 užitečné a pomáhalo jim, byla by to taková "hromadná" konzultace z matematiky M1. Repetitoria M1 se mohou účastnit i studenti, co nejsou zapsáni, pokud budou potřebovat, a otázky k přednáškám i ke cvičením je možné posílat i předem. 

Konzultační hodiny (během semestru):
         Konzultační hodiny si dohodneme v prvním týdnu výuky.
         Zatím můj návrh - pro paralelku 03: v pondělí vždy po cvičení v posluchárně Dmuchavka; 
                                      pro paralelku 05:  též v pondělí vždy po cvičení p03 v posluchárně Dmuchavka nebo po dohodě.                                                                                          
         Konzultace mohou být též "po dohodě" (osobně, emailem, telefonem) , konzultace mohou být i online (pomocí Google Meet), bude-li třeba.

Konzultační hodiny ve zkouškovém období:
        Během celého zkouškového období bude pokračovat 
        Repetitorium MA1  jako "hromadné" konzultace" i jako "cvičení navíc" ,
        a to každé pondělí a čtvrtek dopoledne  9:00 - 12:00 , i déle, bude-li třeba , v  posluchárně MP  (Malá paleontologie) v budově ALbertov 6.
        Konzultace mohou být ale i jindy "po dohodě" (osobně, emailem nebo mobilem). 
         

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  zde 
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004  zde 
• skripta skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
  
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 

Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.
  

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
• J. Petáková: Matematika

Materiály, které dostali studenti na úvodním soustředění v Horním Poříčí:

• Opakovací "test" ze soustředění  zde ;.
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky  zde  .
• Dotazníček zde.     

A třeba mohou při studiu pomoci 
příklady ke cvičení, řešení vybraných příkladů, domácí úkoly ze cvičení a jejich řešení, vše najdete na stránce ke cvičení z MA1 z akademického roku  2024/25  zde.

A hodně řešených příkladů, i jednoduchých, vhodných i pro  "naši" matematiku, je na stránce ke cvičení z matematické analýzy 1 pro informatiky (MFF) z LS 2019/20,
prvního "koronavirového" online semestru, kde jsou "písemná cvičení" i podrobná řešení domácích úkolů:  Cvičení k přednášce Matematická analýza pro informatiky I . 

Vhodné materiály přidám též vždy k příslušnému cvičení.


Podmínky získání zápočtu:
      1.  Účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností.
      2.  Získání alespoň poloviny z maxima bodů z testů, které se budou psát během semestru,
           při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně.
      3.  Vypracování aspoň pěti z domácích úkolů, zadaných během semestru, úkoly můžete odevzdávat na cvičeních nebo posílat emailem v pdf.

Cvičení:

• 29.9. (p03)  a  30.9. (p05): 
  Nejprve informace o průběhu cvičení a upřesnění podmínek pro získání zápočtu. 
  Dále - opakování středoškolské matematiky, ne všeho, co se probíralo, ale těch partií, na které bude navazovaty matematika A1 - předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky   zde .
  Vše potřebné k opakování najdete v doporučených skriptech z VŠCHT  -  A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  i v dalších doporučených studijních materiálech  (viz literatura nahoře). 
  Na prvním cvičení opakování základních  vlastností množiny reálných čísel a jejích podmnožin, základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy, pojem a příklady inverzní funkce k funkci prosté na množině M , řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní hodnotou. Při řešení příkladů budeme si i připomínat základní pravidla matematické logiky a  výrokového počtu a množinového počtu.
  
  Příklady pro opakování středoškolské matematiky:  
     1. jazyk matematiky, množinový počet, množina reálných čísel, absolutní hodnota reálného čísla - příklady: opakování --výběr příkladů 1  ;
     2. funkce, jejich vlastnosti a grafy - přehled elementárních funkcí, dále pojmy funkce monotonní, funkce omezená funkce na množině M, funkce inverzní k dané funkci, funkce složená,
         extrémy funkce na množině M  - příklady: opakování - výběr příkladů 2
    3. A "můj" výběr příkladů pro 1.cvičení  a  "moje"   řešení těchto příkladů,  a ještě dodatek  (příklady (*)) ;
        "můj" výběr příkladů pro opakování funkcí (z "minulých" ZS )  -  výběr příkladů pro 1. a 2.cvičení  a "moje"  řešení1.část  a  řešení 2.část   
        Tyto soubory příkladů mohou být inspirací k vaší práci a jako zdroj vašich otázek pro cvičení. Zkuste z každé skupiny příkladů aspoň jeden příklad vyřešit podrobně, na ostatní
        příklady ve skupině se aspoň podívejte, a promyslete, zda byste je uměli řešit. A můžete si připravit na další cvičení či na konzultaci dotazy k tomu, co vám nebude jasné. 
    4. A  příklady, které by vám mohly pomoci při "testování" potřebných znalostí ze středoškolské matematiky:
        opakovací test z úvodního soustředění v Horním Poříčí (v letech 2019/20 a 2020/21), a řešení  příkladů z první části opakovacího testu zde 
  
  Domácí úkol:    
      dú1 - opakování  a  řešení dú1  - pokuste se odevzdat tento úkol do neděle 12.10. .
      du2 - analytická geometrie   (nepovinný - k opakování základních pojmů z analytické geometrie)
      dú 1 z opakování středoškolské matematiky můžete odevzdat až vše zopakujeme, ale místo zadaného dú1 můžete též vyřešit opakovací test (jednodušší nebo i ten náročnější) 
            z úvodního  soustředění 1.ročníku chemiků v Horním Poříčí. 
      A můžete si třeba zkusit i    1.domácí zápočtový testík  - opakování středoškolské matematiky.
  
  
• 1.10. (p03) a 2.10. (p05)
  Ještě opakování potřebných partií ze středoškolské matematiky -  příklady z minulého cvičení,výběr hlavně dle potřeb studentů, hlavně ještě opakování základních funkcí a jejich vlastností.
  Dále úvod k chápání limity funkce - limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí; cvičení "zápisu" i "čtení"  limit; pokusy o grafy funkcí s pomocí limit (intuitivně); limity základních elementárních funkcí ( z "tabuky" základních funkcí); dále opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, součinu a podílu funkcí (aritmetiky limit),  připomenutí toho, co je "neučitý výraz" a výpočet jednoduchých limit.
  Příklady: 
  Ještě pro opakování:
       1.  výběr příkladů pro 1.cvičení         a  "moje"   řešení těchto příkladů,  a ještě dodatek  (příklady (*)).
       2.  výběr příkladů pro 1. a 2.cvičení  a "moje"  řešení1.část  a  řešení 2.část  
   Cyklometrické funkce
          cyklometrické funkce  - příklady 
  Úvodní příklady k limitám funkce (i pro další cvičení):
       limita funkce - úvod 1 a  řešení zde  ; 
       limita funkce - úvod 2   - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
  
  
• 6.10. (p03) a 7.10. (p05) :
  Podle přání a potřeb studentů ještě opakování středoškolské matematiky  -  ještě vlastnosti funkcí, výroky, výrokové formy a jejich zápis užitím kvantifikárorů, trošku o množinách. 
  K tomu i řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní hodnotou, jako nástroj při vyšetřování definičních oborů funkcí. Nestihli jsme zatím opakovaní funkcí goniometrických a ani definice a základní vlastnosti. cyklometrické funkce arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccotan(x) - uděláme na cvičeních příští týden (11.10. a 12.10.).
  Dále ještě limita funkce intuitivně, pokusy s "popisem" grafu funkce pomocí spojitosti funkce a limit; a obráceně, "cesta" ke grafu funkce pomocí toho, že známe limity funkce v krajních bodech intervalů z definičního oboru a spojitost funkce.
  Příklady: z minulého cvičení.
  
  
• 8.10. (p03) a 9.10. (p05) :
  Ještě limita funkce intuitivně, pokusy s "popisem" grafu funkce pomocí spojitosti funkce a limit, a obráceně, "cesta" ke grafu funkce pomocí toho, že známe limity funkce v krajních bodech intervalů z definičního oboru a spojitost funkce. Dále, dle přání posluchačů, opakování, vysvětlení definic jednotlivých "druhů" limity funkce, pak jejich formální zápis a několik příkladů důkazu limity z definice (poté, co jsme danou limitu "odhadli). 
  Dále jen několik málo jednoduchých příkladů výpočtu limit - opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, součinu a podílu funkcí (aritmetiky limit),  a výpočet jednoduchých limit. Možná už i limita funkce složené a užití věty o limitě sevřené funkce. Spojitost funkce v bodě. 
  Příklady:  ještě stále ze cvičení 1.10. a 2.10.
  
  
• 13.10. (p03) a 14.10. (p05):
  Ještě opakování definic jednotlivých "typů" limit - jednoduché příklady toho, jak intuitivní chápání limity pomocí grafu uvažované funkce "přeložíme" do "přesné" definice limity, a jak užitím definice se limita "dokáže". A pak zatím jednodušší příklady výpočtu limit  - užití aritmetiky limit, dále připomenutí toho, co je "neučitý výraz"  a vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů" .
  Příklady:
  Limita funkce:  limita funkce - úvod 1 a  řešení zde  ;
                          limita funkce  (větší soubor vhodných příkladů) a zde jsou výsledky těchto příkladů výsledky limit. 
      A hodně řešených příkladů je v písemných přednáškách z Matematiky A1 ze zimního semestru "covidového" roku 2020, můžete se též podívat: 
                          přednáška  19.10. ,  přednáška 26.10.  (zde jsou i definice limit a příklady jejich užití) ,   přednáška 2.11. .
      A navíc (pro zájemce)  - "příklady" výpočtu limit a užití definic limit (s podrobným vysvětlením řešení) ke cvičení z Matematické analýzy1 pro informatiky (z MFF)
                         "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část    a   Domácí úkol 6.  ( pdf )  a  "moje"  řešení  dú 6  (též z covidového semestru letního z roku 2019/20).
  Domácí úkol:
  dú3 - limita funkce (odevzat úkol můžete buď na cvičení nebo poslat emailem v pdf , zkuste to stihnout do neděle 26.10.)
  A moje řešení dú 3  (můžete užít pro kontrolu nebo i jako "pomoc" při řešení, ale pak to, prosím, u příslušného příkladu poznamenejte).
  
  
• 15.10. (p03) a 16.10. (p05): 
  Stále ještě výpočet limit  - užití aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce; vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů" , též užitím některých "důležitých" limit z přednášky. Výpočet limit i s cyklometrickými  funkcemi.
  Příklady z minulého cvičení.
  
  
• 20.10. (p03) a 21.10. (p05): 
  Opakovaní funkcí goniometrických, pak rozšíření "tabulky" základních funkcí - definice a základní vlastnosti t.zv. funkcí cyklometrických, zváště funkcí arcsin x  a  arctg x , jejich vlastnosti a grafy zde , jednoduché příklady.
  Stále ještě výpočet limit  - užití aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce; procvičování vhodných "úprav" v případech "neurčitých výrazů" , též užití některých "důležitých" limit z přednášky. Výpočet limit i s cyklometrickými  funkcemi.
  Příklady:
  Cyklometrické funkce: cyklometrické funkce  - příklady 
  Příklady k výpočtu limit stále ze cvičení 13.10. (p03) a 14.10. (p05).
  Domácí úkol i se řešením je zadán též ve cvičení 13.10. (p03) a 14.10. (p05).
  
  
• 22.10. (p03) a 23.10. (p05):
  Stále ještě výpočet limit  - užití aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce a procvičování vhodných "úprav" v případech "neurčitých výrazů" , též s užitím "základních" limit z přednášky, limity funkcí typu f(x)^g(x) .  Spojitost funkce  - na příkladech vyšetření spojitosti funkce v bodě, spojité dodefinování funkce v bodě. A dle toho. co se stihne na přednášce - opakování definice a vlastností posloupnosti, limita posloupnosti, užití Heineho věty pro důkaz, že funkce v daném bodě nemá limitu. Možná i příklady nalezení asymptot grafu funkce.
  Příklady k výpočtu limit stále ze cvičení 13.10. (p03) a 14.10. (p05).
  Domácí úkol i se řešením je zadán ve cvičení 13.10. (p03) a 14.10. (p05). Pokuste se domácí úkol vyřešit už co nejdříve, nejlépe do pondělí 27.10..
                                             
• 27.10. (p03):
  Stále ještě výpočet limit funkcí   - hlavně užití věty o limitě složené funkce a věty o limitě sevřené funkce a procvičování vhodných "úprav" v případech "neurčitých výrazů" , též s užitím "základních" limit z přednášky, limity funkcí typu f(x)^g(x) .  Spojitost funkce  -  dle přání studentů ještě spojité dodefinování funkce v bodě. Dále opakování definice a vlastností posloupnosti, limita posloupnosti, užití Heineho věty pro důkaz, že funkce v daném bodě nemá limitu. Možná i příklady nalezení asymptot grafu funkce.
  Paralelka 05 cvičení nemá  - 28.10. je státní svátek. Je ale možné místo cvičení přijít v pondělí 27.10. na Repetitorium matematiky M1, koná se v CH4 od 17:20 tak dlouho, jak bude třeba, můžete přijít i později po skončené výuce.
  A ještě:
   První zápočtový test: paralelka 03  - na cvičení v pondělí 3.11.
                                        paralelka 05 -  na cvičení v úterý 4.11. (omlouvám se těm, kteří si přáli test už ve čtvrtek 30.10., myslím, že bude lepší ještě limity cvičit)
  
  
• 29.10. (p 03) a 30.10, (p 05):
  Shrnutí probraných metod výpočtu limit funkcí a vyšetření spojitosti funkce (hlavně dle otázek a přání posluchačů). Dále opakování definice derivace funkce, odvození "vzorců" pro výpočet derivace funkce  jako příklad výpočtu limity - derivace funkcí f(x) = c, f(x) = x³,  f(x) = e^x, f(x) = ln(x),  a v p03 ještě i f(x) = sin(x) . 
  Příklady: 
     Příklady výpočtu limit z minulých cvičení.
  
  
• 3.11. (p 03) a 4.11. (p 05) - plán:
  První zápočtový test: paralelka 03  - na cvičení v pondělí 3.11.
                                        paralelka 05 -  na cvičení v úterý 4.11.
  Dále pak opakování definice a vlastností posloupnosti reálných čísel, limita posloupnosti, připomenutí Heineho věty a její užití k důkazu, že funkce v daném bodě nemá limitu. Další příklad užití limity funkce - nalezení asymptot grafu funkce. Ještě opakování definice derivace funkce v bodě a pak odvození vzorců derivací dalších elementárních funkcí (co stihneme). 
  Příklady: 
      První soubor příkladů (i pro další cvičení)  Derivace funkce 1.   a ještě výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení  derivace funkce - řešené příklady . 
  Domácí úkol : 
     du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace   a zde je "moje"  řešení dú 4  (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu) .
     A pokud už "umíte" derivovat, tak už můžete začít řešit tento domácí úkol, jinak můžete počkat, až derivace probereme .O termínu odevzdání se dohodneme podle toho, jak se bude "dařit" cvičení.
  
  
• 5.11. (p 03) a 6.11. (p 05) :
  Poznámky k řešení zápočtového testu z limit. Pak derivace - ještě odvození několika vzorců pro výpočet derivace v bodě (i k procvičení definice derivace funkce), derivace jako funkce (připomenutí z přednášky), výpočet derivace funkce - derivace součtu, součinu, podílu, derivace funkcí složených a inverzních, (zatím "jednoduché" příklady).
  Příklady z minulého cvičení.
  
  
• 10.11. (p 03) a 11.11. (p 05):
  Další příklady výpočtu derivací funkce, i derivací vyšších řádů, spec. derivace funkcí typu f(x)^g(x). Dopočítávání derivace funkce v bodech, kde nelze užít "tabulku derivací". Příklady funkcí, které mají v nějakém bodě derivaci nevlastní, resp. různé jednostranné derivace.
  Příklady:  
      z minulých cvičení Derivace funkce 1.   a ještě výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení  derivace funkce - řešené příklady . a dále derivace funkce a užití derivace 2.  ( i pro několik dalších cvičení) .
      A navíc řešení vybraných příkladů (pro "online" cvičení v "době covidu"):  L´Hospitalovo pravidlo - řešené příklady   a   řešené příklady - "dopočítávání" derivací .
  Domácí úkol (byl zadán už ve cvičení 3.11 a 4.11., bude dobré úkol odevzdat pátku 21.11.) 
     du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace   a zde je "moje"  řešení dú 4  (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu).
  
  
• 12.11. (p 03) a 13.11. (p 05):
  Další příklady výpočtu derivací, i derivací vyšších řádů, výpočet limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla. pokud bude třeba. Shrnutí (dle přednášky) užití derivace k vyšetření monotonie funkce a extrémů funkce, úvodní jednoduchý příklad vyšetření "průběhu funkce".
  Příklady: 
       (už v minulých cvičeních)   derivace funkce a užití derivace 2   ( i pro další cvičení) . 
       A navíc řešení vybraných příkladů (pro "online" cvičení v "době covidu"):  L´Hospitalovo pravidlo - řešené příklady   a   řešené příklady - "dopočítávání" derivací . A navíc  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  .
        Vyšetřování extrémů funkce  - zde je řešených úloh - extrémy funkcí ;
  Domácí úkol:
         du5 - průběh funkce    (zkuste odevzdat do cvičení 1.12.,resp. 2.12.,  nebo aspoň do Vánoc);  a zde je "moje"  řešení dú5 -1.část  ( z průběhů funkcí aspoň některé vybrané příklady,
         a omlouvám se za chybu v "přepisu" řešení na str. 8 v posledním řádku v př.4 dole - má být " f je rostoucí v intervalu (-1,1) " ).  
   
  
• 17.11. (p 03) a 18.11. (p 05) :
  Paralelka 03 dne 17.11.  cvičení neměla, neboť byl státní svátek, snad vše "doženeme" ve cvičeních dalších, nebo se dohodneme na  "náhradní hromadné" konzultaci.
  Paralelka 05: 
  Dle přání posluchačů další příklady výpočtu derivací, i derivací vyšších řádů, výpočet limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla. Pak hlavně  aplikace derivace v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce a lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde funkce má vlastní derivaci. Dále (dle poslední přednášky) užití derivace k vyšetření monotonie funkce a extrémů funkce, úvodní jednoduchý příklad vyšetření "průběhu funkce".
  Příklady:
       derivace funkce a užití derivace 2   (už zadáno v minulém cvičení),  navíc  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  
  
  
• 19.11. (p 03) a 20.11. (p 05): 
  Podle přání posluchačů ještě výpočet limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla a další příklady  aplikace derivace v bodě. Pak hlavně shrnutí (dle přednášky) užití derivace k vyšetření monotonie funkce a extrémů funkce, a užití derivace druhého řádu k vyšetření, "kde" je funkce konvexní, resp konkávní a k nalezení inflexních bodů a příklady vyšetření "průběhu funkce". 
  Příklady:
       derivace funkce a užití derivace 2   (už zadáno v minulém cvičení),  navíc  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí   a několik řešených úloh - extrémy funkcí 
  Domácí úkol:
       du5 - průběh funkce   - zkuste odevzdat do cvičení 8.12.,resp. 9.12.,  nebo aspoň do Vánoc;  a zde je "moje"  řešení dú5 -1.část  ( z průběhů funkcí aspoň některé vybrané příklady);
       a omlouvám se za chybu v "přepisu" řešení na str. 8 v posledním řádku v př.4 dole - má být " f je rostoucí v intervalu (-1,1) ". 
  
  
• 24.11. (p 03) a 25.11. (p 05): 
  Zápočtový test z derivací - paralelka 03 v pondělí 24.11. a paralelka 05 v úterý 25.11..
  Dále ještě dle přání posluchačů příklady vyšetření průběhu funkce. ještě výpočet limit funkce užitím l´Hospitalova pravidla a další příklady  aplikace derivace v bodě. Pak hlavně ještě aplikace derivace v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce a lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace, diferenciál a jeho užití. Taylorův polynom funkce a příklady jeho užití, další příklady vyšetření "průběhu funkce".
  Pak opakování definice primitivní funkce a úvodní příklady výpočtu primitivních funkcí (neboli neurčitých integrálů) -  jednoduché příklady výpočtu primitivních funkcí k ujasnění, co je primitivní funkce (neboli neurčitý integrál funkce); procvičení "tabulky" základních integrálů; dále primitivní funkce k násobku funkce a součtu funkcí.
  Příklady i domácí úkol z průběhu funkcí a dalších aplikací derivace jsou v minulém cvičení.
     A i pro další cvičení: 
     Výběr příkladů - neurčitý integrál 1  a "tahák" - shrnutí "návodů" k výpočtu neurčitých integrálů:  neurčitý integrál ,
      a dále  "písemné " cvičení s řešenými příklady   zde   a    výběr řešených příkladů 1  .
  
  
• 26.11. (p 03) a 27.11. (p 05):
  Nejprve poznámky k chybám, které se  v  řešení zápočtového testu často vyskytly, a pak probrána řešení "správná".  
  Pak opakování definice a vlastností primitivní funkce a úvodní jednoduché příklady výpočtu primitivních funkcí (neboli neurčitých integrálů) k ujasnění, co je primitivní funkce (neboli neurčitý integrál funkce); procvičení "tabulky" základních integrálů; dále primitivní funkce k násobku funkce, součtu funkcí a k funkci f(ax+b), známe-li primitivní funkci k funkci f(x) (v odpovídajících intervalech).
  Příklady  (i pro další cvičení): 
   Výběr příkladů - neurčitý integrál 1  a dále  "písemné " cvičení s řešenými příklady   zde   a   výběr řešených příkladů 1  .  
  
  
• 1.12. (p 03) a 2.12. (p 05):
  Nejprve připomenutí toho, co jsme opakovali o primitivních funkcích minulé cvičení - definice, existence a vlastností primitivní funkce k dané funkci, tabulky základních integrálů. Pak úvodní jedoduché příklady užití metody "per partes" a 1. věty o substituci.
  Pak další příklady výpočtu primitivních funkcí užitím vět o substtituci a metody "per partes". 
  Příklady z minulého cvičení.
  
  
• 3.12. (p03) a 4.12. (p05): 
  Další příklady aplikací derivace v bodě -  rovnice tečny ke grafu funkce a lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace, diferenciál a jeho užití, Taylorův polynom funkce a příklady jeho užití. Pak další příklady výpočtu primitivních funkcí užitím metody "per partes"  a užitím 1.věty o substtituci, též výpočet integrálů t.zv. jednoduchých (parciálních) zlomků (jako příprava na integraci racionálních funkcí).
  Příklady z minulých cvičení.
  
  
• 8.12. (p03) a 9.12. (p05):
  Stále ještě výpočet neurčitých integrálů - další příklady užití integrace per partes a 1.věty o substituci, příklady užití 2.věty o substituci, dále integrace "parciálních" zlomků a jednoduchý příklad integrace racionální funkce.
  Ve cvičení paralelky 05 ještě opakování a příklady Taylorova polynomu. 
  Příklady ( i pro další cvičení): 
       Neurčitý integrál - příklady z minulého cvičení  a dále neurčitý integrál 2  (a jsou zde i "nepovinné" pro studenty "pokročilé" v integrování);
       další soubor řešených příkladů  ( 2VS a integrace racionálních funkcí)  řešené příklady 2 
       a dále je zde  výběr   příkladů , které by mohly býl "cílem" ve výpočtu neurčitých integrálů (příklady "podobné" těm zkouškovým) zde jsou jim "podobné" řešené příklady 3 ;
       navíc ještě  řešené příklady 4 -  několik řešených příkladů z loňského Repetitoria.; 
  Domácí úkol: 
       dú6 - neurčitý integrál  (pokuste se odevzdat do Vánoc nebo poslat o Vánočních prázdninách) a zde je "moje"  řešení dú6 .
       Navíc si můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
  
  
• 10.12. (p03) a 11.12. (p05):
  Podrobné zopakování a vysvětlení "návodu" k řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými a úvodní příklad řešení separabilní diferenciální rovnice, a podobně, podrobné zopakování obecného postupu řešení lineární rovnice 1. řádu a též ukázáno na úvodním příkladu.  
  
  
• 15.12. (p03) a 16.12. (p05):
  Výpočet neurčitých integrálů, zvláště dle přání posluchačů -  ještě příklady na užití 2.věty o substituci a integrace racionální funkce a příklady užití substitucí, vedoucích na integraci racionální funkce -příklady z minulých cvičení. Dále řešení diferenciálních rovnic 1. řádu se separovatelnými proměnnými a lineárních rovnic metodou separace proměnných.
  Příklady: 
       Neurčitý integrál - příklady z minulých cvičení; 
       dále  diferenciální rovnice - příklady  
       a několik řešených příkladů   diferenciální rovnice  - cvičení řešené 1   a další řešené příklady  diferenciální rovnice - řešené .
  Domácí úkol : 
       dú7 - diferenciální rovnice    (lze odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú7  .
  
  
• 5.1.2026 (p03) a 6.1. 2026 (p05):
  Ještě řešení separabilních diferenciálních rovnic 1.řádu, bude-li třeba a  OLDR 1.řádu  metodou variace konstant, užitím integračního faktoru a odhadem partikulárního řešení pro speciální pravé strany.
  Dále určitý integrál Riemannův i Newtonův - opakování definice, vyšetření existence, příklady výpočtu a aplikací určitého integrálu (Newtonova i Riemannova).
  Příklady: 
      určitý integrál   a  řešení některých příkladů určitého integrálu - řešené příklady 1  a  řešené příklady 2  (trošku "těžší").
  Domácí úkol:
       dú8 - určitý integrál  (lze odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú8.
  
  
• 7.1.2026 (p03) a 8.1. 2026 (p05):
  Další příklady výpočtu určitého integrálu (Newtonova i Riemannova), užítí integrace per partes i vět o substituci v určitém integrálu; příklady aplikací určitého integrálu (Newtonova i Riemannova).
  Příklady i domácí úkol jsou v minulém cvičení.
  
   Pro posluchače z paralelky 03 i 05  -  termíny 3. zápočtového testu  (neurčitý integrál a diferenciální rovnice)":
       1.    čtvrtek 18.12. 2025  od 14:00 v posluchárně CH6 (pro maximálně 16 posluchačů) 
       2.    čtvrtek   8.1. 2026    od 14:00 v posluchárně CH6 (pro maximálně 16 posluchačů) 
       3.    čtvrtek   8.1. 2026    od 17:20 v  posluchárně Mineralogie (Albertov 6)
       4.    pondělí 12.1. 2026   od 13:00 v posluchárně Malá paleontologie (Albertov 6)
  
  Zápočtové testy, i opravné, je možné napsat též, po dohodě, během Repetitorií M1, které se budou konat ve zkouškovém období vždy v pondělí a ve čtvrtek 9:00 - 12:00 v posluchárně Malá paleontologie.
  
  Podmínky získání zápočtu - upřesnění:
      1.  Účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností.
      2.  Získání alespoň poloviny možných bodů z testů, psaných během semestru;
           při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně.
      3.  Vypracování pěti povinných domácích úkolů. 
           Pokud nestihnete odevzdat některé z úkolů, stačí je přinést  nebo poslat emailem i ve zkouškovém období, tak, abyste získali zápočet před zkouškou.