Matematika M1, cvičení - ZS 2026/27

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

"SOS" linka :  mobil 604 268 425

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7. dubna 1348 

 

Matematika M1  -  Sylabus a literatura - SIS

Matematika M1 - cvičení:  paralelka 05  -  úterý  14:50 - 16:20  v G1,  čtvrtek  10:40 - 12:10  v CH4 .

Repetitorium M1:

•  pondělí 16:30 - 18:00 i déle, bude-li třeba, v CH7
• čtvrtek  16:30 - 18:00 v G2

Přednáška z Matematiky M1 je ještě doplněna Repetitoriem M1. V minulých letech jsme v Repetitoriu M1 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky M1 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo ze cvičení.  Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi dobré Repetitorium zachovat. Dle vyjádření posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum M1 užitečné a pomáhalo jim, byla to taková "hromadná" konzultace z matematiky M1. Otázky k přednáškám i ke cvičením je možné posílat i předem. Repetitoria M1 se mohou účastnit i studenti, kteří si Repetirotium M1 nezapsali, pokud budou potřebovat a chtít vyjasnit něco z probírané látky. Pokud bystee nemohli příjít na Repetitorium dle rozvrhu, je možné si dohodnout též konzultace.

Konzultační hodiny během semestru (v pracovně 209, ve 2. poschodí budovy Albertov 6):

• pondělí  10:00 - 11:15
• úterý po cvičení  16:30 - 17:15
• čtvrtek    14:00 - 15:30
• ve středu dopoledne "po domluvě"

        

Některé vhodné studijní texty: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT   
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT
• J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004  
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006

 a na internetu přístupné: 

• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
•  skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
  
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 

Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.
  

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
• J. Petáková: Matematika

Materiály pro úvodní soustředění studentů v Horním Poříčí:

• Opakovací "test" ze soustředění  zde ;.
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) 
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky  zde  .
• Dotazníček zde. 

Hezké čtení o matematice:   
           Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
           John.D.Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)   
           Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
           Ian Stewart: Matematika života (Odkrývání tajemství bytí) (Academia 2014, edice Galileo

A třeba mohou při studiu pomoci 
příklady ke cvičení, řešení vybraných příkladů, domácí úkoly ze cvičení a jejich řešení, vše najdete na stránce ke cvičení z MA1 z akademického roku  2025/26  zde.
Vhodné materiály přidám též vždy k příslušnému cvičení.

Podmínky získání zápočtu (upřesníme na prvním cvičení):
      1.  Účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností.
      2.  Získání alespoň poloviny z maxima bodů z testů, které se budou psát během semestru,
           při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně.
      3.  Vypracování aspoň pěti z domácích úkolů, zadaných během semestru, úkoly můžete odevzdávat na cvičeních nebo posílat emailem v pdf.

Cvičení:

• 29.9.2026:
  Nejprve informace o průběhu cvičení a upřesnění podmínek pro získání zápočtu. 
  Dále opakování těch partií středoškolské matematiky, na které bude navazovat matematika M1 - předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde .
  Vše potřebné k opakování najdete v doporučených skriptech z VŠCHT  -  A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  i v dalších doporučených studijních materiálech  (viz literatura nahoře). 
  Na prvním cvičení - opakování vlastností množiny reálných čísel a jejích podmnožin, základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy, pojem a příklady inverzní funkce k funkci prosté na množině M , řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní hodnotou. Při řešení příkladů budeme si i připomínat základní pravidla matematické logiky a  výrokového počtu a množinového počtu.
  
  Příklady pro opakování středoškolské matematiky:  
     1. jazyk matematiky, množinový počet, množina reálných čísel, absolutní hodnota reálného čísla - příklady: opakování --výběr příkladů 1  ;
     2. funkce, jejich vlastnosti a grafy - přehled elementárních funkcí, dále pojmy funkce monotonní, funkce omezená funkce na množině M, funkce inverzní k dané funkci, funkce složená,
         extrémy funkce na množině M  - příklady: opakování - výběr příkladů 2  
      3. A "můj" výběr příkladů pro 1.cvičení  a  "moje"   řešení těchto příkladů,  a ještě dodatek  (příklady (*)) ;
        "můj" výběr příkladů pro opakování funkcí (z "minulých" ZS )  -  výběr příkladů pro 1. a 2.cvičení  a "moje"  řešení1.část  a  řešení 2.část   
        Tyto soubory příkladů mohou být inspirací k vaší práci a jako zdroj vašich otázek pro cvičení. Zkuste z každé skupiny příkladů aspoň jeden příklad vyřešit podrobně, na ostatní
        příklady ve skupině se aspoň podívejte, a promyslete, zda byste je uměli řešit. A můžete si připravit na další cvičení či na konzultaci dotazy k tomu, co vám nebude jasné. 
    4. A  příklady, které by vám mohly pomoci při "testování" potřebných znalostí ze středoškolské matematiky:
        opakovací test z úvodního soustředění v Horním Poříčí (v letech 2019/20 a 2020/21), a řešení  příkladů z první části opakovacího testu zde 
  
  Domácí úkol:    
      dú1 - opakování  a  řešení dú1  - pokuste se odevzdat tento úkol do neděle 12.10. .
      du2 - analytická geometrie   ( k opakování základních pojmů z analytické geometrie)
             dú 1 z opakování středoškolské matematiky můžete odevzdat, až vše zopakujeme, ale místo zadaného dú1 můžete též vyřešit opakovací test (jednodušší nebo i ten náročnější) 
             z úvodního  soustředění 1.ročníku chemiků v Horním Poříčí. 
             A můžete si třeba zkusit i    1.domácí zápočtový testík  - opakování středoškolské matematiky.
  
  
  
• 1.10.2026:
  Ještě opakování potřebných partií ze středoškolské matematiky -  příklady z minulého cvičení, dle návrhů studentů řešení nerovnic, užití řešení nerovnic k nalezení definičních oborů funkcí, zvláště složených.
  Příklady i domácí úkol jsou uvedeny minulém cvičení.
  
  
  
• 6.10.2026:
  Podle přání studentů - ještě opakování pojmů ze středoškolské matematiky, potřebných k řešení některých příkladů z 1.dú., zvláště řešení rovnic a nerovnic  s odmocninami a absolutní hodnotou, jako nástroj při vyšetřování definičních oborů funkcí.
  Dále úvod k chápání limity funkce - limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí; cvičení "zápisu" i "čtení"  limit; pokusy o grafy funkcí s pomocí limit (intuitivně); limity základních elementárních funkcí ( z "tabulky" základních funkcí).
  
  Příklady: 
  Pro opakování ještě příklady z 1.cvičení. 
  Úvodní příklady k limitám funkce (i pro další cvičení):   
                                         limita funkce - úvod 1 a  řešení zde  ; 
                                         limita funkce - úvod 2   - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
  
  
  
• 8.10.2026:
  Připomenutí definice a vlastností absolutní hodnoty reálného čísla, absolutní hodnota jako reálná funkce, vyjádření vzdálenosti reálných číselpomocí asolutní hodnoty jejich rozdílu, pak příklady řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou. Dále ještě limita funkce intuitivně, pokusy s "popisem" grafu funkce pomocí spojitosti funkce a limit, a obráceně, "cesta" ke grafu funkce pomocí toho, že známe limity funkce v krajních bodech intervalů z definičního oboru a spojitost funkce. 
  Dále jen několik málo jednoduchých příkladů výpočtu limit - opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, co je u limity součtu dvou funkcí neurčitým výrazem. 
  
  Příklady: 
  Pro opakování ještě příklady z 1.cvičení. 
  Cyklometrické funkce:    cyklometrické funkce  - příklady 
  Úvodní příklady k limitám funkce (i pro další cvičení):   
                                         limita funkce - úvod 1 a  řešení zde  ; 
                                         limita funkce - úvod 2   - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
  
  
  
  
• 13.10.2026 - plán:
  Podle přání studentů ještě opakování středoškolské matematiky - problémy v řešení 1.dú, budou-li ještě nějaké, dále vlastnosti funkcí, výroky, výrokové formy a jejich zápis užitím kvantifikárorů, trošku o množinách, případně ještě i řešení rovnic a nerovnic, zvláště s odmocninami a absolutní hodnotou.
  Dále shrnutí základních vlastností  funkcí - pojmy funkce monotonní, funkce omezená na množině M, funkce inverzní k dané funkci, funkce složená, extrémy funkce na množině M . Pak opakovaní funkcí goniometrických, základní vlastnosti a definice cyklometrických funkcí arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccotan(x) a jejich vlastnosti.
  Dále, i dle přání posluchačů, opakování a vysvětlení definic jednotlivých "druhů" limity funkce a jednoduché příklady toho, jak intuitivní chápání limity pomocí grafu uvažované funkce "přeložíme" do "přesné" definice limity, pak jejich formální zápis a několik jednoduchých příkladů důkazu limity z definice (poté, co jsme danou limitu "odhadli) a jak užitím definice se limita "dokáže".
  Pak zatím jednodušší příklady výpočtu limit  - užití aritmetiky limit, dále připomenutí toho, co je "neučitý výraz"  a vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů" .
  Dále jen několik málo jednoduchých příkladů výpočtu limit - opakování "pravidel" pro nalezení limity součtu, součinu a podílu funkcí (aritmetiky limit),  a výpočet jednoduchých limit. Možná už i limita funkce složené a užití věty o limitě sevřené funkce. Spojitost funkce v bodě. 
  
  Příklady:
  Pro opakování ještě příklady z 1.cvičení. 
  Cyklometrické funkce:    cyklometrické funkce  - příklady 
  Limita funkce:  limita funkce - úvod 1 a  řešení zde  ;
                          limita funkce - úvod 2   - další úvodní příklady a výběr z příkladů pro cvičení limit.
                          limita funkce  (větší soubor vhodných příkladů) a zde jsou výsledky těchto příkladů výsledky limit. 
      A hodně řešených příkladů je v písemných přednáškách z Matematiky A1 ze zimního semestru "covidového" roku 2020, můžete se též podívat: 
                          přednáška  19.10. ,  přednáška 26.10.  (zde jsou i definice limit a příklady jejich užití) ,   přednáška 2.11. .
      A navíc (pro zájemce)  - "příklady" výpočtu limit a užití definic limit (s podrobným vysvětlením řešení) ke cvičení z Matematické analýzy1 pro informatiky (z MFF)
                         "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část    a   Domácí úkol 6.  ( pdf )  a  "moje"  řešení  dú 6  (též z covidového semestru letního z roku 2019/20).
  
  Domácí úkol:
  dú3 - limita funkce  - odevzat úkol můžete buď na cvičení nebo poslat emailem v pdf , zkuste to stihnout do neděle 25.10.
  A "moje"  řešení dú 3   - můžete užít pro kontrolu nebo i jako "pomoc" při řešení, ale pak to, prosím, u příslušného příkladu poznamenejte.