Matematika M2 b - cvičení

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

"SOS" linka :  mobil 604 268 425

Matematika M2 b - cvičení:     paralelka 02  -  pondělí   11:30 - 13:00  v CH7 ,   středa   14:00 - 15:30  v CH4
                                              

Repetitorium matematiky M2:  
Přednáška z Matematiky M2 je ještě doplněna Repetitoriem M2. V minulých letech jsme v Repetitoriu MA2 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky MA2 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo i ze cvičení.  Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi užitečné Repetitorium zachovat. Dle vyjádření posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum MA2 užitečné a pomáhalo jim, byla by to taková "hromadná" konzultace z matematiky MA2. Repetitoria M2 se mohou účastnit i studenti, co nejsou zapsáni, pokud budou potřebovat, a otázky k přednáškám i ke cvičením je možné posílat i předem. 

Konzultační hodiny (během semestru):
         Konzultační hodiny si dohodneme v prvním týdnu výuky.                                                                                                                  
         Konzultace mohou být též "po dohodě" (osobně, emailem, telefonem) , konzultace mohou být i online (pomocí Google Meet), bude-li třeba.

Podmínky získání zápočtu:
      1.  Účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností.
      2.  Získání alespoň poloviny z maxima bodů z testů, které se budou psát během semestru,
           při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně.
      3.  Vypracování aspoň pěti z domácích úkolů, zadaných během semestru, úkoly můžete odevzdávat na cvičeních nebo posílat emailem v pdf.

Cvičení:

• 16.2.2026:
  Nejprve informace o průběhu cvičení a upřesnění podmínek zápočtu;
• stručné seznámení s tím, co máme probrat v M2 b a co z toho jsme již slyšeli na střední škole;
• "vzpomínka" na střední školu a ZS chemie  - kde jsme se už setkali s funkcemi více proměnných, s vektorovými funkcemi a s prostory R² a R^3; vektory v rovině a v prostoru, počítání s vekrory, připomenutí analytické geometrie;
• jako úvod k první přednášce  - příklady k připomenutí návodů pro řešení soustav lineárních rovnic;
  
  Příklady: 
   LA - příklady 1  - větší soubor příkladů z lineární algebry ( LA ), i pro několik dalších cvičení.
  
  
• 18.2.2026 - cvičení se nekonalo (kvůli nemoci).
  
  
• 23.2. a 25.2.2026:
  Cvičení byla suplována, bylo probráno: početní operace v prostorech Rⁿ, matice a "počítání" s maticemi, řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou i Gauss - Jordanovou eliminační metodou;    vektorový prostor a příklady vektorových prostorů; lineární kombinace vektorů, lineární závislost, resp. nezávislost skupiny vektorů, báze a dimenze vektorového prostoru; hodnost matice; lineární zobrazení vektorového prostoru, příklady.
  Příklady LA - příklady 1   z minulého cvičení.
  
  
• 2.3.2026:
• nejprve shrnutí a zopakování toho, co bylo probráno na minulých cvičení, i podle otázek posluchačů - počítání s vektory a s maticemi, řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou i Gauss - Jordanovou eliminační metodou;
• vyšetření lineární závislosti, resp. lineární nezávislosti skupiny vektorů v Rⁿ, zvláště v R²,^, R³; báze prostoru Rⁿ ;
• vyšetření hodnosti matice;
• na příkladech ukážeme souvislost hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy s  množinou řešení uvažované soustavy lineárních rovnic.
  
  Příklady stále ještě  z minulých cvičení  LA - příklady 1 .
  Domácí úkol 1:  dú1 - lineární algebra  a zde je "moje"   řešení dú1 - LA       
  Omlouvám se, úkol má v zadání název dú9, byl to devátý domácí úkol na cvičení k dřívější přednášce MA1 v ZS 2024-25 ( dú9 - lineární algebra  a "moje"   řešení dú9 - LA ). 
  
  
• 4.3.2026:
• ještě vyšetření lineární závislosti, resp. lineární nezávislosti skupiny vektorů v Rⁿ, zvláště v R²,^, R³; báze prostoru Rⁿ ;
• vyšetření hodnosti matice; souvislost hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy s  množinou řešení uvažované soustavy lineárních rovnic;
• připomenutí definice matice inverzní, existence inverzní matice k matici regulární, pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
  příklad užití inverzní matice - řešení soustavy lineárních rovnic s regulární čtveecovou maticí pomocí inverzní matice;
• determinant matice - úvodní "pokus": odvození determinantu čtvercové matice 2.řádu ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé.
  
  Příklady stále ještě  z minulých cvičení  LA - příklady 1
  
  
• 9.3.2026:
• ještě pro lepší pochopení - řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic, kde je splněna Frobeniova podmínka, ale hodnost matice soustavy je menší než počet neznámých;
  na příkladu ukázána souvislost hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy s množinou řešení uvažované soustavy lineárních rovnic;
• souřadnice vektoru vzhledem k "nové" bázi v Rⁿ - formulace i výpočet užitím inverzní matice k matici, jejíž sloupce jsou vektory "nové" báze, která je dána; 
• vzorec pro výpočet determinantu čtvercové matice 3. řádu (Sarussovo pravidlo) a jeho "rozbor", odtud pak definice determinantu čtvercové matice n-tého řádu pomocí permutací a
   navíc uvedeno (bez dúkazu), že det A se rovná det A^T;
  potom další "pokus" - ze vzorce pro výpočet determinantu 3. řádu odvozen rozvoj determinantu podle 1.řádku a odtud pak definice determinatu rozvojem podle řádku resp. sloupce determinantu  (a též pro rozvoj determinantu potřebné definice subdeterminantu a algebraického doplňku k prvku determinantu).
  
  Příklady stále ještě  z minulých cvičení  LA - příklady 1
  
  
• 11.3.2026:
• připomenutí definice determinantu čtvercové matice řádu n  indukcí -  rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce, řešení jedoduchých příkladů;
• připomenutí definice lineárního zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; příklady lineárních zobrazení;
• L(x) = A x, kde A je matice typu (m,n) a x je vektor z Rn , je lineární zobrazení Rn do Rm , a tedy - soustava m lineárních rovnic pro n neznámých je lineární rovnice ve vektorových  prostorech Rn do Rm; příklady zobrazení L(x) = A x. 
• příklady lineárních  zobrazení Rn do Rm a jejich vyjádření pomocí matice zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení na, inverzní zobrazení);
  
  Příklady:
  Příklady k promyšlení a ke cvičení (i pro další cvičení)  LA příklady 2.
  A třeba se hodí další i příklady z domácího úkolu 1. (matematika A2 z LS 2019/20)  Dú 1 - lineární algebra  a  jejich řešení  (i s návody a vysvětlením) Dú 1 - řešení   a dodatek k řešení Dú1.
  
  Domácí úkoly:
  Domácí úkol 2.a z lineární algebry:  Dú 2a - LA 1     a   řešení (dříve to byl úkol 1.a pro RMA1)  je   zde  (stačí řešení úkolu přinést nebo poslat emailem za do čtrnácti dnů)
  Domácí úkol 2.b z lineární algebry:  Dú 2b - LA 2     a   řešení (dříve to byl úkol 1.b pro RMA1) je   zde  ( pokud si tento úkol vyberete, stačí jej vypracovat až po příštím cvičení).
  
  
• 16.3.2026:
  
• ještě další příklady lineárních zobrazení Rn do Rm a jejich vyjádření pomocí matice zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ). Příklady skládání zobrazení, matice složeného zobrazení;
• připomenutí definice determinantu čtvercové matice řádu rozvojem determinantu podle řádku nebo sloupce; vlastnosti determinantu, výpočet determinantu úpravami řádků, resp. sloupců determinantu, ale nestihli jsme příklady výpočtu determinantu - snad doplníme na příštím cvičení.
  
  
• 18.3.2026:
• ještě příklady výpočtu determinantu; determinant součinu dvou čtvercových matic (stejného typu) a pak ukážeme, že matice je regulární právě když její determinant je nenulový;
• shrnutí toho, co jsme probrali na přednášce o OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty;
• příklady řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém řešení, obecné řešení homogenní rovnice; řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant, řešení počáteční úlohy. 
  
   Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady 
       a snad se hodí navíc:
   řešené příklady zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část  , poznámky a příklady z 2.3.2020  zde ,  poznámky k přenášce (s příklady) ze 4.3.20   zde  .
  
  
• 23.3.2026:
• příklady užití determinantu  - Cramerovo pravidlo, dále výpočet inverzní matice pomocí determinantů, adjungovaná matice k dané čtvercové matici; užitím determinantu výpočet smíšeného součinu vektorů z R³ a  rovnice roviny; 
• vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduché příklady, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá;
• další příklady řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém řešení, obecné řešení homogenní rovnice; řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant, řešení počáteční úlohy. 
  
  Příklady a zadání domácích úkolů z LA jsou v minulých cvičeních, navíc se můžete podívat i na dodatek k přednášce 24.2. , kde je řešený příklad nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů matice.
  Příklady k procvičení OLDR 2.řádu jsou v minulém cvičení  a  navíc "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciále a jejím užití. 
  Domácí úkol 2.:   dú 3 OLDR 2.řádu  a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu  , (dříve to byl úkol 2 pro RMA1) ale zadání prvního příkladu v dú 3 (dříve dú 2)  je nyní trošku lepší, než je uvedeno v  řešení, přidám i řešení těch příkladů "nových".  
  
  
• 25.3.2026: 
• ještě vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduché příklady, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá. dále příklad, kde ukážeme, že v případě různých reálných vlastních čísel k nim příslušné vlastní vektory tvoří bázi R² (R³)  a diagonální matice Λ , kde diagonální prvky jsou vlastní čísla matice A,  je matice  zobrazení L(x) = A x  vzhledem k této bázi.
• další příklady  řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - připomenutí návodu k řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém řešení, obecné řešení homogenní rovnice; řešení nehomogenní rovnice metodou odhadu;
  
  Příklady a zadání domácích úkolů z LA jsou v minulých cvičeních.
  A ještě znovu ( je už v minulém cvičení)
  Domácí úkol 2.:   dú 3 OLDR 2.řádu  a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu  , (dříve to byl úkol 2 pro RMA1) ale zadání prvního příkladu v dú 3 (dříve dú 2)  je nyní trošku lepší, než je uvedeno v  řešení, přidám i řešení těch příkladů "nových".  
  
  
• 30.3.2026:
• 1. zápočtový test - 2 příklady z lineární algebry;
• další příklady  řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty, zvláště řešení nehomogenní rovnice metodou odhadu;
• stručné opakování komplexních čísel - zavedení komplexních čísel, početní operace s komplexními čísly;
• příklad užití komlexní exponenciály při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty;
• úvodní příklady řešení soustav dvou lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.
  
  Příklady a zadání domácího úkolu jsou v minulém cvičení.
  
  
• 1.4.2026:
• poznámky a dotazy k řešení 1. domácího testu;
• zopakování a shrnutí "návodu" k řešení soustav dvou lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty;
• jednoduché příklady řešení soustavy  dvou lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. .
  
  
• 8.4.2026 - plán:
  • ještě (zatím jsme "nestihli") stručné opakování komplexních čísel - zavedení komplexních čísel, početní operace s komplexními čísly;
  • zopakování definice komplexní exponenciály; 
  • příklad užití komlexní exponenciály při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty;
  • vektorové funkce jedné proměnné - jednoduché příklady vektorových funkcí jedné proměnné, limity, spojitost a derivace, užití vektorových funkcí jedné proměnné jako parametrizace křivek a k popisu trajektorie pohybu;
  • dále úvodní příklady funkcí dvou a tří proměnných - definiční obory, intuitivně limita a spojitost.
    
    Příklady ke cvičení: 
    Příklady a domácí cvičení  dú3  - opakování analytické geometrie, vektorové funkce jedné proměnné; a zde "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení).
    Dále funkce více proměnných (i pro další cvičení) - definiční obory, limita, spojitost,  parciální derivace, diferencovatelnost funkce   zde .