Matematika M2 b - přednáška

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

Přednáška z Matematiky M2b - středa 8:10 - 9:40 v CH1. 
Přednáška je ještě doplněna Repetitoriem M2 -  které je určeno k  opakování, a dle potřeby i k ujasnění látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím, je vždy v pondělí 16:30 - 18:00 (G2).  Náměty a otázky posluchačů jsou v Repetitoriu vítány. 

Sylabus a literatura  - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto  pro studenty biochemie a medicinální chemie novému předmětu, hlavním cílem  Matematiky M2b je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností  a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice M1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii.  Na začátku semestru se navíc seznámíme se základy lineární algebry, trošku jiné, ale též užitečné partie matematiky a  rozšíříme to, co se probralo o diferenciálních rovnicích v M1, o řešení a aplikace lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty (užitečné ve fyzice, spec. v mechanice). A poslední část předmětu je pak věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů na cvičeních. 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
  
  
  

• 1. přednáška 18.2.2026 - plán: 
• úvod do Matematiky M2b - co máme v MA2 probrat a v jakém smyslu to bude "rozšíření" matematiky M1;
• čím se zabývá lineární algebra -  úvod k první partii M2b;
• soustava lineárních rovnic  - opakování "středoškolských" metod řešení, a pak zápis soustavy pomocí matice;
• na příkladu (jako pokus) Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení (bylo probráno na cvičeních);
• shrnutí toho, co  bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - a odtud  otázky pro lineární algebru", týkající se řešitelnosti rovnic, proč potřebujeme definice "nových" pojmů;
• prostory R² a R³  , obecně prostor Rⁿ - definice a "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin);
• k "maticovému počtu": definice matice , spec. matice čtvercová,  horní trojúhelníková matice; 
  početní operace s maticemi - sčítání matic a násobení matice konstantou, lineární prostor matic typu (m,n);
  dále definice součinu matice a vektoru, definice součinu matic a vlastnosti násobení matic;
• "nový" zápis soustavy lineárních rovnic pomocí násobení matice a vektoru;
  a v "pokusném" příkladu řešení soustavy lineárních rovnic - řešení "zapsané" ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a odtud cesta k inverzní matici;
• definice matice inverzní, pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
• Zápis přednášky: lineární algebra - úvod  z LS 2020/21   zde .

• 2. přednáška 25.2.2026 - plán:
  • lineární (vektorový) prostor - definice, vlastnosti početních operací; příklady vektorových prostorů, speciálně prostor Rⁿ;
  • lineární kombinace vektorů v lineárním (vektorovém) prostoru, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů;
  • definice báze a dimense lineárního (vektorového) prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi, báze a dimense prostoru Rⁿ; 
  • hodnost matice;  regulární a singulární  čtvercová matice; 
  • Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic.
  • ještě k pojmu báze vektorového prostoru Rⁿ  -  příklad výpočtu souřadnic vektoru vzhledem k "nové" bázi, zápis soustavy rovnic pro výpočet "nových" souřadnic pomocí násobení matice soustavy vektorem hledaných souřadnic, a "odhalení" inverzní matice;
    
    
• 3. přednáška 4.3.2026 - plán:
• determinant matice - úvodní "pokus": odvození determinantu čtvercové matice 2.řádu ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé;
• definice determinantu čtvercové matice řádu n  indukcí -  rozvojem determinantu podle řádku nebo sloupce;
• vlastnosti a výpočet  determinantu matice; příklady výpočtu determinantů;
• Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy n rovnic pro n neznámých;
• výpočet inverzní matice k regulární matici pomocí determinantů, a několik dalších užití determinantu;
• definice lineárního zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; příklady lineárních zobrazení;
• obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech; jako příklad - připomenutí tvaru řešení lineární diferenciální rovnice 1.řádu;
• L(x) = A x, kde A je matice typu (m,n) a x je vektor z Rⁿ , je lineární zobrazení Rⁿ do R^m , a tedy  - soustava m lineárních rovnic pro n neznámých je lineární rovnice ve vektorových  prostorech Rⁿ do R^m; příklady zobrazení L(x) = A x.
• další velmi "užitečný" příklad lineárního zobrazení v Rⁿ -  vyjádření  souřadnic vektoru z Rⁿ vzhledem k "nové" bázi v Rⁿ ; 
• lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).
  
  
• 4. Přednáška 11.3.2026  - plán: