Matematika M2 b - přednáška

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

Přednáška z Matematiky M2b - středa 8:10 - 9:40 v CH1. 
Přednáška je ještě doplněna Repetitoriem M2 -  které je určeno k  opakování, a dle potřeby i k ujasnění látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím, je vždy v pondělí 16:30 - 18:00 (G2).  Náměty a otázky posluchačů jsou v Repetitoriu vítány 

Sylabus a literatura  - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto  pro studenty biochemie a medicinální chemie novému předmětu, hlavním cílem  Matematiky M2b je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností  a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice M1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii.  Na začátku semestru se navíc seznámíme se základy lineární algebry, trošku jiné, ale též užitečné partie matematiky a  rozšíříme to, co se probralo o diferenciálních rovnicích v M1, o řešení a aplikace lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty (užitečné ve fyzice, spec. v mechanice). A poslední část předmětu je pak věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů na cvičeních. 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
  
  
  

• 1. přednáška 18.2.2026:
• úvod do Matematiky M2b - co máme v MA2 probrat a v jakém smyslu to bude "rozšíření" matematiky M1;
• čím se zabývá lineární algebra -  úvod k první partii M2b;
• soustava lineárních rovnic  - opakování "středoškolských" metod řešení, a pak zápis soustavy pomocí matice;
• na příkladu (jako pokus) Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení (bylo probráno na cvičeních);
• shrnutí toho, co  bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - a odtud  otázky pro lineární algebru", týkající se řešitelnosti rovnic, proč potřebujeme definice "nových" pojmů;
• prostory R² a R³  , obecně prostor Rⁿ - definice a "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin);
• k "maticovému počtu": definice matice , spec. matice čtvercová,  horní trojúhelníková matice; 
  početní operace s maticemi - sčítání matic a násobení matice konstantou, lineární prostor matic typu (m,n);
  dále definice součinu matice a vektoru, definice součinu matic a vlastnosti násobení matic;
• "nový" zápis soustavy lineárních rovnic pomocí násobení matice a vektoru;
  a v "pokusném" příkladu řešení soustavy lineárních rovnic - řešení "zapsané" ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a odtud cesta k inverzní matici.
  
  A třeba se hodí zápis přednášky: lineární algebra - úvod  z LS 2020/21   zde .

• 2. přednáška 25.2.2026: 
• lineární (vektorový) prostor - definice, vlastnosti početních operací; příklady vektorových prostorů, speciálně prostor Rⁿ;
• lineární kombinace vektorů v lineárním (vektorovém) prostoru, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů;
• definice báze a dimense lineárního (vektorového) prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi, báze a dimense prostoru Rⁿ; 
• hodnost matice;  regulární a singulární  čtvercová matice; 
• ještě k pojmu báze vektorového prostoru Rⁿ  -  příklad výpočtu souřadnic vektoru vzhledem k "nové" bázi, zápis soustavy rovnic pro výpočet "nových" souřadnic pomocí násobení matice soustavy vektorem hledaných souřadnic, a "odhalení" inverzní matice;
  
  
• 3. přednáška 4.3.2026:
• nejprve stručné shrnutí minulých přednášek;
• pak ještě připomenutí - hodnost matice;  regulární a singulární  čtvercová matice;
• Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic; 
• definice matice inverzní, existence inverzní matice k matici regulární, pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice; 
  příklad užití inverzní matice - výpočet souřadnic vektoru vzhledem k "nové" bázi Rⁿ pomocí inverzní matice;
  A bude probráno na cvičení - nestihlo se na přednášce:
• determinant matice - úvodní "pokus": odvození determinantu čtvercové matice 2.řádu ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé;
• definice determinantu čtvercové matice řádu n  indukcí -  rozvojem determinantu podle řádku nebo sloupce;
• vlastnosti a výpočet  determinantu matice; příklady výpočtu determinantů;
• Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy n rovnic pro n neznámých;
• výpočet inverzní matice k regulární matici pomocí determinantů, a několik dalších užití determinantu.
  
  
• 4. přednáška 11.3.2026:
• připomenutí definice lineárního zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení;
• další příklady lineárních zobrazení:
  lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení );
  i další velmi "užitečný" příklad lineárního zobrazení v Rⁿ -  vyjádření  souřadnic vektoru z Rⁿ vzhledem k "nové" bázi v Rⁿ ; 
• stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice:
  vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlastních čísel matice;
  A doplníme na cvičení příklady - zatím jen matice, jejichž vlastní čísla jsou reálná a navzájem různá. Též ukážeme, že má-li čvercová matice A řádu n vlastní čísla λ_i , i = 1,....n,  reálná a navzájem různá, pak vlastní vektory v_i , příslušné k λ_i , i = 1,....n,  tvoří bázi Rⁿ  a diagonální matice Λ , kde diagonální prvky jsou vlastní čísla matice A,  je matice  zobrazení L(x) = A x  vzhledem k této bázi;
• obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech; 
• a jako příklad - obyčejná lineární diferenciální rovnice 1.řádu a připomenutí tvaru řešení ;
• další příklad - lineární rovnice L(x) = b, kde L je lineární zobrazení Rⁿ do R^m , tedy  L(x) = A x, kde A je matice typu (m,n) a x je vektor z Rⁿ , je vlastně soustava m lineárních rovnic pro n neznámých; souvislost množiny řešení lineární rovnice L(x) = b s vlastnostmi matice A; příklady řešení rovnice L(x) = b.
• Pak ještě úvod k obyčejným lineárním diferenciálním rovnicím 2. řádu: "co je" obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu (budeme dále značit OLDR 2.řádu) ; pak ukázáno, OLDR 2.řádu je vlastně příklad lineární rovnice ve vektorových prostorech a odtud pak ukázáno, jak se aplikuje "obecný návod" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu.
  
  A jako "studijní materiál"  k přednášce můžete použít i z MA2   dodatek k přednášce 24.2.2020  a  třeba se hodí i příklady k přednášce z 24.2.2020 . a  poznámky k přednášce 2.3.20   zde .
  A k této přednášce i k té další se snad hodí i shrnutí v  OLDR 2.řádu - poznámky  
  
  
• 5. přednáška 18.3.2026:
  
  • Jako doplnění úvodu k obyčejným lineárním diferenciálním rovnicím 2. řádu: dva příklady  - pohybové rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a harmonických kmitů hmotného bodu;
  • odtud pak obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; dále pak připomenutí, jak budeme aplikovat  "obecný návod" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu a formulace věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu (bez důkazu);
  • množina řešení homogenní OLDR 2.řádu je lineární prostor dimenze 2, fundamentální systém řešení homogenní rovnice; metoda variace konstant pro řešení nehomogenní OLDR 2.řádu;
  • návod k hledání fundamentálního systému řešení pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních) a jednoduché příklady řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty;
  • řešení nehomogenní OLDR 2.řádu  metodou variace konstant a metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady. 
    
    K této přednášce se snad "hodí":
    shrnutí v  OLDR 2.řádu - poznámky , poznámky k přednášce 2.3.20   zde ,  poznámky k přenášce (s příklady) ze 4.3.20   zde  
    a  "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciále a jejím užití,      
    a řešené příklady  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část  . 
    
    
    
• 6. přednáška 25.3.2026:
• připomenutí návodu pro řešení OLDR 2.řádu, pak metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady;
• zavedení komplexní exponenciály.
  
  A na cvičeních ještě přednášku doplníme o
  stručné zopakování komplexních čísel a jejich vlastností, pak zavedení komplexní exponenciály a užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty
  v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice a při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice.
  A k tomu se hodí  "písemná" přednáška z MA2 - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciále a jejím užití .
  
  
• 7. přednáška 1.4.2026 - plán:
• jen stručně o řešení počáteční úlohy pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty (s příklady řešení soustavy dvou rovnic):
        soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
        počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - formulace problému , maticový zápis soustavy;
        "návod" k řešení  - užití obecného návodu k řešení lineárních rovnic z lineární algebry;
        jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
        počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; příklady;
        převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu,
        a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
  jen poznámka - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu (bez důkazu);
        vektorový prostor řešení homogenní soustavy n lineárních  diferenciálních rovnic 1.řádu má dimenzi n (odvození naznačeno);
         obecné řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu  - zápis pomocí fundamentální matice, příslušné  dané soustavě;
         metoda variace konstant pro nehomogenní soustavu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - obecný "návod" .
• úvod do diferenciálního počtu vektorových funkcí jedné proměnné, reálných funkcí více proměnných, a obecně vektorové funkce více proměnných z Rⁿ do R^m , "definice" těchto funkcí.

              Písemné poznámky k této přednášce: 
                   přednáška 11.3.20. - 2.část   - úvod k řešení soustav diferenciálních rovnic 1.řádu s konstantními koeficienty
                   zápis první části přednášky z LS 2019/20  přednáška 16.3.20,  a k této přednášce bylo přidáno několik řešených příkladů  - příloha k přednášce 16.3.20  
                   a další řešené příklady soustav lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  -  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu
                   Dále   "Písemná" přednáška (LS 2019/20)  přednáška 18.3.2020 (první část)   a   přednáška 18.3.2020. (druhá část)       

               A třeba by se mohla hodit i "pomůcka" pro Rozšíření MA1 (pro biochemiky)
                   řešené příklady: RMA1 dú3 - opakování analytické geometrie,  vektorové funkce jedné proměnné a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu 
                  (i s návody a vysvětlením).

• 8. přednáška 8.4.2026 - plán:
• přopomenutí úvodu do diferenciálního počtu vektorových funkcí jedné proměnné, reálných funkcí více proměnných, a obecně vektorové funkce více proměnných z Rⁿ do R^m , "definice" těchto funkcí;
• prostory Rⁿ (spec. R² a R³ ) -  připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin) a pak velikost (norma) vektoru a   euklidovská vzdálenost v prostorech Rⁿ , tedy euklidovský prostor Rⁿ (Eⁿ) ; konvergence v  Rn;
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice limity, dále spojitost a  derivace vektorové funkce jedné proměnné; derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady vektorových funkcí jedné proměnné;
• reálná funkce dvou a více  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor, jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných; 
• pak intuitivně limita a spojitost funkce více proměnných v bodě, ale odtud otázky - co je třeba upřesnit, v jakých bodech můžeme uvažovat limity a spojitost funkce více proměnných? A tak trošku o množinách bodů v Rn - okolí bodu v Rn , vnitřní bod množiny, hromadný (limitní) bod množiny, hraniční bod množiny, množina otevřená, množina uzavřená, vnitřek množiny, hranice množiny, uzávěr.;
  pak definice limity a spojitosti reálné funkce několika proměnných, jednoduché příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
• definice parciální derivace reálné funkce několika proměnných, příklady výpočtu parciálních derivací funkce; parciální derivace vyšších řádů, záměnnost smíšených parciálních derivací, příklady;
• úvodní poznámky  "před"  definicí  funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných), pak definice funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných); funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá; gradient, rovnice tečné roviny ke grafu diferencovatelné funkce dvou proměnných a lineární aproximace reálné funkce dvou proměnných; má-li funkce dvou proměnných v bodě spojité obě parciální derivace 1.řádu, pak má v tomto bodě totální diferenciál; příklady. 
  
  A "písemné přednášky" z MA2 : 
  limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;  
  funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.3.20.;
  derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20. .
  A jako pomůcka - řešené "domácí úkoly" :
  RMA1 dú4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4.dú - první část  a  řešení 4.dú - druhá část 
  RMA1 dú5 - diferencovatelnost, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  
                       řešení 5. domácího úkolu  - druhá část