Matematická analýza 1 pro informatiky (2025/26)

Cvičení k přednášce Matematická analýza 1 (přednáší docent  RNDr. Vít Jelínek, Ph.D)
čtvrtek 15:40 v N6   (paralelka 01)

 

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz
SOS linka :  mobil 604 268 425

Konzultační hodiny během semestru:  konzultace mohou být  po čtvrtečním cvičení, pokud máte "volno", nebo po dohodě.

Podmínky pro získání zápočtu:
       pro získání zápočtu je třeba získat aspoň 100 bodů, a to

• aspoň 40 bodů ze závěrečného zápočtového testu (maximum je 80 bodů), v případě, že se zápočtový test nepodaří, je možné napsat test opravný;
           ukázkový zápočtový test (z loňského LS 2024/25)  zde 
• další body lze získat
• za řešení domácích úkolů  - bude zadáno 12 domácích úkolů po 8 bodech;
  Domácí úkoly budou zadány z každého cvičení, pokuste se je vypracovat a odevzdat do cvičení následujícího. Můžete je poslat v "čitelné " podobě emailem nebo přinést na cvičení. 
• za aktivitu na cvičeních (práce u tabule) .         
  
  

Z literatury, doporučené v SISu:

• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 -  tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
  
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde

Mnoho dalších příkladů můžete také najít

• u doc. M. Lopatkové (UFAL)
  
• ve sbírce KAM
• ve cvičeních dr. Roberta Šámala (IUUK)
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (předběžná verze, jak píše prof.L.Pick)

"Pomocné" materiály:

• nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
• limita a spojitost funkce - cvičení se řešenými příklady
• průběhy funkcí - několik řešených příkladů

 

Příklady, probírané na cvičeních:

• Cvičení 1. (19.2.2026) se nakonalo (nemoc) : 
  Původní plán:
  Trošku o tom, čím se zabývá matematická analýza; z úvodního opakování středoškolské matematiky připomeneme vlastnosti absolutní hodnoty, vzdálenost v R a zkusíme jednoduché důkazy několika vlastností absolutní hodnoty; doporučeno (budeme opakovat i na cvičení, bude-li třeba) připomenout si základy výrokového a množinového počtu, dále reálné funkce a jejich vlastnosti, pokusy o grafy; jednoduché důkazy, matematická indukce.
  Příklady:   Cvičení 1.   - výběr příkladů k opakování, i pro další cvičení (vlastnosti a grafy základních funkcí v části III., zvláště funkcí exp(x), ln(x), sin(x), cos(x), považujeme za "známé"). A zde je písemná verze cvičení z 19.3.2020:  "písemné" cvičení 5  , kde je řada řešených příkladů k opakování vlastností reálných funkcí. 
  Dále podle přednášky 19.2.  -  supremum a infimum množiny v R, vzdálnost v R, metrický prostor.  Spočetnost, resp. nespočetnost množin v R připomeneme až na dalším cvičení.
  Příklady (i dále pro 2.cvičení):  Cvičení 1. a 2. 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 1 - zatím spíše jako příprava na další cvičení (bude upřesněno podle toho, co na cvičení probereme) - stačí jen promyslet, ale chcete-li, abych váš dú prohlédla, pak můžete řešení domácího úkolu poslat emailem nebo přinést na cvičení 26.2. (opět, vlastnosti a grafy základních funkcí exp(x) a ln(x)  bereme jako "známé")

            Dohodneme se na tom, jak cvičení nahradíme, zatím aspoň pomůcka pro opakování funkcí (z doby covidu z  "písemných" cvičení):
            Písemná verze cvičení z 19.3.2020:  "písemné" cvičení 5  , kde je řada řešených příkladů k opakování vlastností reálných funkcí.
            A přidám ještě řešení dalších příkladů z těch zadaných pro cvičení.

           Hezké čtení (i o matematické analýze) pro zájemce:    
                     Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                    John D. Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)
                    John D. Barrow: Kniha o nekonečnu (Stručný průvodce světem bez hranic. počátku a konce) (Nakladatelství Paseka, 2007) 
                    Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011).

• Cvičení 2. (28.2.2025) - opět se ještě nekonalo ( pokračující nemoc) : 
  Původní plán: 
  Dle přednášky - posloupnosti reálných čísel a vyšetření jejich vlastností (omezenost, monotonie), dále opakování definice vlastní i nevlastní limity posloupnosti, důkazy limit několika "základních" posloupností z definice, shrnutí pravidel "aritmetiky limit a výpočet limit posloupností užitím aritmetiky limit, "neurčité výrazy" a aspoň několik návodů, jak takové limity řešit.
  Příklady:  ještě ze souboru Cvičení 1. a 2.   a dále  Cvičení 2. a 3.
  Domácí úkol:  Domácí úkol 2
  
  A třeba se hodí jako náhrada našeho cvičení při promýšlení limit posloupností materiály ze cvičení k MAI 1 z LS 2019/20 (cvičení se nekonala kvůli covidu):
  Cvičení 4. (12.3.2020) - náhradní písemná verze:   cvičení 4. - první část , a zde dodatek - cvičení 4. - 2.část   
                                                                                       A  přišla otázka - tak trošku podrobněji  návod k příkladu 3 .
  A snad se hodí ještě i  Domácí úkol 3 (MA1 19/20).  a  zde  Dú 3 MA1 19/20) - řešení   - (moje) řešení z prvního "covidového" semestru (LS 2019/20). Cvičení tehdy byla "písemná". A psala jsem  tehdy  studentům, a platí to i nyní: Můžete si vaše domácí úkoly tak sami zkontrolovat, opravit a případně opravit i moje chyby v řešení (a ty mi, prosím, laskavě ohlašte). Můžete použít jako přípravu na další cvičení.
  
  
• Cvičení 3. (5.3.2026):
  Ze cvičení minulého:
  Dle přednášky - posloupnosti reálných čísel a vyšetření jejich vlastností (omezenost, monotonie), dále opakování definice vlastní i nevlastní limity posloupnosti, důkazy limit několika "základních" posloupností z definice, shrnutí pravidel "aritmetiky limit a výpočet limit posloupností užitím aritmetiky limit, "neurčité výrazy" a aspoň několik návodů, jak takové limity řešit.
  A navíc:  ještě důkazy "z definice" některých "základních" a užitečných limit , výpočet limit i užitím věty o limitě sevřené funkce a její modifikace pro limitu nevlastní.
  Příklady:  ještě ze souboru  Cvičení 1. a 2.   a dále  Cvičení 2. a  3.   a    Posloupnosti - další příklady.  
  Domácí úkol:  Domácí úkol 3.
  
  
• Cvičení 4. (12.3..2026):
  Na cvičení jsme především probrali úvod do vyšetřování nekonečných číselných řad - zopakovali jsme definici nekonečné řady a definici konvergence, resp. divergence na příkladu geometrické řady a ukázali jsme si ještě několik jednoduchých příkladů vyšetření konvergence nekonečné řady, i užitím nutné podmínky konvergence. Jako příklad užití věty o konvergenci neklesající posloupnosti jsme dokázali srovnávací kriterium pro řady s nezápornými členy a užili toto i  kriterium v jednoduchých příkladech. 
  Dále jsme vyšetřili (a dokázali) konvergenci, resp. divergenci geometrické posloupnosti, což jsme potřebovali dříve při vyšetření konvergence geometrické řady.
  Příklady ještě ze cvičení 3
  Domácí úkol:  Domácí úkol 4  
   
• Cvičení 5. (19.3..2026): 
  1. Ještě limita posloupnosti (příklady i dle přání studentů) - ještě důkaz limity dle definice; dále užití věty o limitě monotonní posloupnosti pro výpočet limity posloupnosti definované rekurentně. 
  2. Ještě několik příkladů vyšetření konvergence nekonečné řady. Pak zopakování definice funkcí exp(x), sin(x), cos(x) nekonečnou mocninnou řadou. 
  3. Funkce reálné proměnné - na závěr cvičení na příkladech jednoduchých funkcí připomenutí základních vlastností funkcí, důkazy několika jednoduchých limit dle definice, a úvodní příklady výpočtu limity funkce.
  Příklady: stále ještě ze cvičení 3 a dále dále příklady  k opakování vlastností funkcí a k úvodu k limitám funkcí cvičení 4 - opakování funkcí  (i pro příští cvičení). 
                 a příklady k výpočtu limit funkce (hlavně pro další cvičení)   cvičení 5 a 6 .
                 A zde jsou písemné verze  cvičení MAI 1 z prvního covidového LS 2019/20:  "písemné" cvičení 5  ,  pro další cvičení "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část . 
  Domácí úkol: z úkolu  Domácí úkol 5  můžete zatím promyslet příklady 1 - 3, případně zkuste i promyslet příklady 4. a 5,  příklady 6. a 7. budou úkolem z cvičení příštího.
  
  
• Cvičení 6. (26.3..2026): 
  K limitám posloupností, třeba ještě k důkazům limity dle definice, k výpočtům limit "neurčitých výrazů" úpravami i užitím věty " strážnících" a  užití věty o limitě monotonní posloupnosti pro výpočet limity posloupnosti definované rekurentně, už nebyly žádné dotazy. 
  Reálné funkce a jejich vlastnosti - shrnutí vlastností "důležitých" elementárních funkcí, příklad definice a vlastnosti funkcí arcsin(x) a arctan(x). 
  Dále úvod k limitám funkcí - připomenutí limit některých "tabulkových" funkcí, jednoduché příklady výpočtu limit funkcí užitím "aritmetiky limit". Důkazy limity funkce "z definice". 
  
  Příklady: k opakování vlastností funkcí a k úvodu k limitám funkcí ještě z minulého cvičení  cvičení 4 - opakování funkcí  
                  a příklady i k dalším cvičením k výpočtu limit funkce  cvičení 5 a 6 .
  A zde je písemná verze dalšího cvičení k přednášce MAI 1 z LS 2019/20:  "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část . 
  Domácí úkol: z domácího úkolu Domácí úkol 5  můžete už promýšlet a řešit příklady 4. a 5., ostatní stačí udělat jako domácí úkol 6 (2.část dú 5) až po dalším cvičení.
  
  
• Cvičení 7. (2.4.2026): 
  Cvičení bylo "domácí" kvůli ambulantní operaci ve čtvrtek 2.4., bude nahrazeno prodloužením několika cvičení, jak budete přát.
  Procvičení definice limity funkce v bodě  - jednoduché důkazy limity "z definice"; dále výpočet limit funkcí - výpočet limit funkcí užitím aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě funkce sevřené.
  Užití vlastností funkce a limit v krajních bodech intervalů z definičního oboru k odhadu grafu funkce.
  Vyšetření spojitosti funkce v bodě i v intervalu. 
  Příklady z minulého cvičení k výpočtu limit funkce ze cvičení 5 a 6   a  další příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  cvičení 6 a 7. 
  A zde jsou "písemná" cvičení k přednášce MAI 1 z LS 2019/20:
       "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část .  (limity a spojitost funkce)
        a další cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7 -  zde je procvičena definice derivace a výpočet derivací (pro další cvičení i pro
        případné opakování výpočtu derivací).
  Domácí úkol:  zůstává   Domácí úkol 5  ,  a jako domácí úkol 6 bude počítán výpočet limit z příkladu 6  - hlavně "promyslete", stačí "spočítat" jen některé z nich, co si vyberete. 
  
  
• Cvičení 8. (9.4.2026):
  Ještě limity funkcí  - výpočet limit funkcí užitím aritmetiky limit, a hlavně věty o limitě složené funkce; příklady, kdy funkce v daném bodě limitu nemá. Vyšetření spojitosti funkce v bodě i v intervalu, příklady spojitého "dodefinování" funkce v bodě. 
  Dále příklady pro procvičení definice derivace - odvození derivace některých jednoduchých funkcí, derivace funkcí exp(x) a sin(x), pak výpočet derivací.
  
  Příklady ještě z minulého cvičení, další příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  cvičení 6 a 7 (i pro další cvičení)
  A zde je písemná verze cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7  -  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  Domácí úkol: můžete ještě řešit domácí úkol 5 (viz cvičení 2.4.) můžete začít i 
         Domácí úkol 7 - problémky ke spojitosti funkce a příklady pro trénink výpočtu derivací (můžete si vybrat příklady)   a "moje" řešení bývalého dú7 z LS 2019-20 -  řešení dú 7  .
  
  
• Cvičení 9. (16.4.2026):
  Dle přání studentů ještě příklady výpočtu limit funkcí - užití aritmetiky limit, při úpravách "neurčirých výrazů" užití i "tabulky základních limit" , užití věty o limitě složené funkce, věty o strážnících a Heineho věty pro důkaz, že funkce v daném bodě limitu nemá. 
  
  Příklady: příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  cvičení 6 a 7  (můžete si cvičit i derivace), 
          a zde je písemná verze cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7  -  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  Domácí úkol:  
          Domácí úkol 7 - problémky ke spojitosti funkce a příklady pro trénink výpočtu derivací (můžete si vybrat příklady  a "moje" řešení bývalého dú7 z LS 2019-20 -  řešení dú 7  .
          
• Cvičení 10. (23.4.2026):
  Odvození derivace několika základních funkcí nebo i některého "pravidla" pro výpočet derivace (třeba součinu, resp. podílu funkcí) a pak hlavně cvičení výpočtu derivace funkce, i vyšších řádů.
  Dále výpočet limit užitím L´Hospitalova pravidla a  "dopočítávání" derivace funkce jako limitu derivace v takových bodech, kde nelze užít "tabulku derivací základních funkcí a vzorců pro výpočet derivací (dle věty uvedené na přednášce).
  
  Příklady: příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  cvičení 6 a 7 a příklady i pro další cvičení  cvičení 7 a 8 .
          A zde je písemná verze cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7  -  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  Domácí úkol:  
          Domácí úkol 7 - problémky ke spojitosti funkce a příklady pro trénink výpočtu derivací (můžete si vybrat příklady)  a "moje" řešení bývalého dú7 z LS 2019-20 -  řešení dú 7  .
          Domácí úkol 8  a  můžete promyslet a řešit úlohy další ( bude počítán jako další domácí úkol) - Domácí úkol 8 (druhá část) 
  
  
• Cvičení 11. (30.4.2026):
  Příklady aplikací derivace - vyšetření lokálních extrémů funkce, užití derivace funkce k vyšetření monotonie funkce a konvexnosti, resp.konkávnosti funkce. A shrnutí  - příklad vyšetření průběhu funkce.  
  Dále ještě výpočet limit užitím L´Hospitalova pravidla a  "dopočítávání" derivace funkce jako limitu derivace v takových bodech, kde nelze užít "tabulku derivací základních funkcí a vzorců pro výpočet derivací (dle věty uvedené na přednášce).
  
  Příklady ke cvičení: cvičení 7 a 8  (z minulého cvičení) a  cvičení 10 - příklady.    
  A písemná verze cvičení opět z LS 2019-20 (tehdy to bylo 8. cvičení): "písemné" cvičení 8 - 1.část   , písemné cvičení 8 - 2.část  .
  A dále zde jsou  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  , a možná, že si přečtete rádi i několik řešených úloh - extrémy funkcí . Omlouvám se, je to pro přírodovědce, tak je tam i úloha z chemie, ale snad to nevadí (nemusíte to číst). 
  Domácí úkol:  jako úkol ze cvičení 10 zůstává druhá část úkolu ze cvičení 8 - Domácí úkol 8 (druhá část) a zde je "moje"  řešení dú 8   (je to řešení z LS 2019-20,  možná je řešení někdy příliš podrobně  vysvětlováno, ale je z doby on-line semestru
  a jako příprava na příští cvičení  písemná verze cvičení (tehdy 9.)  "písemné" cvičení 9   - Taylorův polynom a další aplikace derivace ( LS 2019-20) (a stále platí, pokud najdete někde chybu, prosím,
  upozorněte na ni); a též i pro příští cvičení příklady k Taylorovu polynomu a jeho užití  Taylorův polynom - příklady. .
  Domácí úkol: 
  zůstávají dú7 a dú8 (zadány v minulém cvičení)
  
  
• Cvičení 12. (7.5.2026):
  Příklady aplikací derivace v bodě: lineární aproximace funkce; Taylorův polynom funkce - připomenutí definice a užití.
  Primitivní funkce (výpočet neurčitých integrálů) - definice, existence, vlastnosti a výpočet primitivních funkcí (antiderivací)  - užití "tabulky" primitivních funkcí, jen úvodní příklady užití této "tabulky" a vět o integraci součtu a násobku funkcí.  vět o substituci a integrace "per partes"..  Pokud se hodí, zde je  "tahák" - neurčitý integrál  (z minulých let).
  
  Příklady ke cvičení:  cvičení 10, 11 - příklady integrál 1 ,  dále   cvičení 10,11 - příklady integrál 2   a   cvičení 11 - příklady integrál 3 ; 
                                    omouvám se, že v souborech příkladů jsou i těžší "integrály" z minulých let, které už nebudeme řešit (upřesníme).
  Domácí úkol: (z minulého cvičení)  Domácí úkol 12 (označen původně dú 11) a  "moje"   řešení dú 12   (dříve to byl dú 10).
  
  A písemná cvičení z neurčitého integrálu (z LS 2019-20):  
  "písemné" cvičení 10  a  opravená stránka 16 (integrace per partes); 
  "písemné" cvičení 11 - úvod  a další  příklady řešené 1.část:   a   příklady řešené 2.část    (a prosím, najdete-li chyby, napište; a chyba byla nalezena a zde opravená stránka 9 - př.4 );
  a dále (třeba se též hodí) řešené příklady (s výkladem) z přednášek pro MA1 pro chemiky:  20.11.19.,  25.11.19. , 2.12.19. ,  4.12.19. 
  
  
• Cvičení 13. (14.5.2026):.
  Ještě  příklady výpočtu neurčitého integrálu - užití věty o substituci a integrace "per partes" i kombinace substituce a integrace per partes u výpočtu integrálů,
  jednoduché příklady integrace racionálních funkcí a substitucí, které vedou na integraci funkce racionální.
  Dále pak určitý integrál Newtonův a Riemannův - shrnutí základních poznatků - existence, vlastnosti a aplikace, pak výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes).  
  
  Příklady ke cvičení: pro neurčitý integrál jsou v minulém cvičení12. ;                               
  Domácí úkol: zůstává úkol ze cvičení 12.
  
  
• Cvičení 14. (21.5.2026) - plán:
  Ještě  příklady vyšetření existence primitivní funkce, příklady výpočtu neurčitého integrálu - užití věty o substituci a integrace "per partes" i kombinace substituce a integrace per partes. 
  Dále pak určitý integrál Newtonův a Riemannův - shrnutí základních poznatků - existence, vlastnosti, pak výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes). a aplikace určitého integrálu. 
  Dle návrhů posluchčů příklady jako shrnutí partií, probraných v přednášce z Matematické analýzy 1.
  Příklady ke cvičení: pro neurčitý integrál jsou v minulém cvičení12. ;
                                    pro určitý integrál   cvičení 13 - příklady určitý integrál . 
  A cvičení písemné (opět z LS 2019 -20, kdy to bylo cvičení 12) :  "písemné" cvičení 12 - 1.část   a   "písemné"   cvičení 12 - 2.část 
  
  Domácí úkol (spíše už jen domácí cvičení):  Domácí úkol 13    a  "moje"  řešení úkolu  řešení dú 13  (tehdy dvanáctého) .
  
  Termíny zápočtových testů : (zatím, další etrmíny mohou být dle domluvy, bude-li třeba
       22.5.2026   od 14:00 , posluchárna N6
       28.5. 2026  od   9:00 ,  posluchárna N5
         4.6. 2026  od   9:00,  posluchárna N6
       11.6. 2026  od   9:00,  posluchárna N6
       18.6. 2026  od   9:00,  posluchárna N6