Matematika A1, cvičení - ZS 2021/22

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

"SOS" linka :  mobil 604 268 425

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348 

 

Matematika A1  -  Sylabus a literatura - SIS

 

Repetitorium matematiky A1:  pondělí 18:10 - tak dlouho, jak bude třeba
         Přednáška z Matematiky A1 je ještě doplněna Repetitoriem MA1. V minulých letech jsme v Repetitoriu MA1 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky A1 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo i ze cvičení.  Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi užitečné Repetitorium zachovat, dle vyjádření posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum MA1 užitečné a pomáhalo jim.  Byla by to taková "hromadná" konzultace z matematiky A1, loni pomocí Google Meet. Repetitoria MA1 se mohou účastnit i ti, co nejsou zapsáni, pokud budou potřebovat, a otázky k přednáškám i ke cvičením byste mohli posílat i předem. 

 

Matematika A1 - cvičení:     paralelka 06  -  pondělí   8:10 -  9:50  v G2    a   úterý 16:30 - 18:00 v G1
                                               paralelka 03  -  pondělí 11:30 - 13:00 v CH4  a   čtvrtek  10:40 - 12:10 v CH4

Konzultační hodiny ve zkouškovém období: 
         "Hromadné" konzultace  budou vždy v pátek od 13:00 v posluchárně G1, v budově Albertov 6, tak dlouho, jak bude třeba.
           Navíc bude i ve zkouškovém období  Repetitorium MA1, vždy v pondělí od 14:00  v posluchárně G1, Albertov 6, a opět, tak dlouho, jak bude třeba.
           Konzultace mohou být i po dohodě, a to i online (pomocí Google Meet), bude-li třeba.

 

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  zde 
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004  zde 
• skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 

Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.
  

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
•  J. Petáková: Matematika

Materiály, které dostali studenti na úvodním soustředění v Horním Poříčí:

• Opakovací "test" ze soustředění  zde   ( pdf );.
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde  ( pdf ) .
• Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky  - od paní doktorky Jany Rubešové zde .
• Dotazníček zde.  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

        1.   limita a spojitost funkce
        2.   průběh funkce - několik řešených příkladů
        3.    neurčitý integrál
        4.    diferenciální rovnice
A hodně řešených příkladů, i jednoduchých, vhodných i pro  "naši" matematiku, je na stránce ke cvičení z matematické analýzy 1 pro informatiky z LS 2019/20, prvního "koronavirového" online semestru, kde jsou "písemná cvičení" i podrobná řešení domácích úkolů:  Cvičení k přednášce Matematická analýza pro informatiky I .  Vhodné materiály přidám též vždy k příslušnému cvičení.

Záznamy přednášek a cvičení z Matematiky A1 z loňského online zimního semestru ( na Google disku )   - odkaz na Google disk zde 

Cvičení:

• 4.10.2021:  Informace o cvičení  a podmínky pro získání zápočtu: 
  Podmínky získání zápočtu po dobu prezenční výuky:   
  1.  účast na cvičeních nebude podmínkou pro udělení zápočtu;
  2.  získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru;
  3.  vypracování sedmi povinných domácích úkolů  - 1. a dále úkoly 3. - 8. , druhý ze zadaných domácích úkolů je nepovinný.

  Zadání příkladů, řešení příkladů, zadání a řešení domácích úkolů najdete zde na stránce v "zápisech" jednotlivých cvičení; a příslušné soubory budou též na Disku Google. 

  
  
  Cvičení začneme opakováním středoškolské matematiky, ne všeho, co jste probírali, ale těch partií, které budete potřebovat v matematice A1. Vše potřebné k opakování najdete v doporučených skriptech z VŠCHT  -  A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  i v dalších doporučených studijních materiálech  (viz literatura nahoře).
  A zde jsou materiály k opakování:
   předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde  ( pdf );
   příklady, které by vám mohly pomoci při "testování" potřebných znalostí ze středoškolské matematiky -
  opakovací test z úvodního soustředění v Horním Poříčí viz   opakovací test (pdf) a řešení  příkladů z první části opakovacího testu zde a řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis)
  Příklady 1 - opakování  -   soubor dalších příkladů jako inspirace k vaší práci a jako zdroj vašich otázek pro cvičení (zkuste z každé skupiny příkladů aspoň jeden vyřešit podrobně, na ostatní příklady ve skupině se aspoň podívejte, a promyslete, zda byste je uměli řešit). 
  A  opakování středoškolské matematiky:
   absolutní hodnota reálného čísla, řešení rovnic a nerovnic - zde je "můj" výběr příkladů pro 1.cvičení  a  "moje"   řešení těchto příkladů,  a ještě dodatek (příklady (*) ;
   funkce a jejich vlastnosti a grafy,  přehled známých elementárních funkcí, dále pak zvláště funkce složené, funkce monotonní na množině M, funkce inverzní k dané funkci;
   z analytické geometrie  - opakování rovnice přímky a roviny.
  A můžete si připravit na další cvičení či na konzultaci dotazy k tomu, co vám nebude jasné. 
• 5.10.2021 (p 06) a 7.10.2021 (p 03) :  pokračování v opakování důležitých partií ze středoškolské matematiky (dle otázek posluchačů).
  Příklady:  A zde je "můj" výběr příkladů pro cvičení,  plánovaný pro 2. cvičení  -  výběr příkladů pro 2.cvičení  a moje  řešení1.část  a  řešení 2.část   
  Domácí úkol: (termín odevzdání úkolů ještě dohodneme)  
  du1 - opakování   ( pdf )  a  řešení dú1  (omlouvám se za chybu ve výsledku 1. příkladu - má být x≠-1)  a 
  du2 - analytická geometrie  ( pdf )   (nepovinný - k opakování základních pojmů z analytické geometrie).
  Místo zadaného du1 můžete též vyřešit opakovací test (jednodušší nebo i ten náročnější)  z úvodního soustředění 1.ročníku chemiků v Horním Poříčí. 
  A můžete si třeba zkusit i   1.domácí  zápočtový testík  ( pdf)  - opakování středoškolské matematiky.
  A pro cvičení paralelky 03 , které je po až středeční přednášce, bude vždy ještě plán "navíc": 
  Limita funkce - cvičení "zápisu" i "čtení"  limit, limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí;   a výběr příkladů z loňského cvičení - limita funkce ("domácí")  .
• 11.10.2021: ještě (dle potřeby) opakování vlastností funkcí, pokusy o grafy funkcí, pak 
   limita funkce - cvičení "zápisu" i "čtení"  limit, limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí;  pak výpočet výpočet limit (aritmetika limit, limita složené funkce, věta o limitě sevřené funkce, neurčité výrazy). Spojitost funkce v bodě. 
  Příklady:  limita funkce  - úvod    a    limita funkce   (větší soubor vhodných příkladů)  a ještě  ( pdf ) ;
                   výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení zde  .
• 12.10.2021 (p06)  a 14.10.2021 (p03): ještě opakování (vlastnosti absolutní hodnoty, operace s množinami, vlastnost funkcí, užití  kvantifikátorů při formulaci a zápisu výroků); limity - intuitivně "druhy" limit (příklady z minulého cvičení).
• 18.10.2021: ještě opakování - inverzní funkce a pak rozšíření "tabulky" základních funkcí - definice a základní vlastnosti t.zv. funkcí cyklometrických, zváště funkcí arcsin x  a  arctg x , jejich vlastnosti a grafy zde (nestihli jsme v minulém cvičení) ,  a příklady k procvičení  příklady-cyklometrické funkce .  
  Dále pak výpočet  limit - aritmetika limit, limita složené funkce, věta o limitě sevřené funkce, neurčité výrazy (soubory příkladů i řešené příklady jsou ve cvičení 11.10.) .Spojitost funkce v bodě. 
• 19.10.2021 (p06) a 21.10.2021 (p03): Stále výpočet  limit - aritmetika limit, zvláště užití věty o limitě složené funkce a  věty o limitě sevřené funkce; vhodné "úpravy" v případech "neurčitých výrazů", spec.užití základních limit typu "0/0"  :  sinx/x   a  (e^x-1)/x  pro x→0,  a   lnx/(x-1)  pro x→1 .
  K  souboru  limita funkce    ( pdf ) jsou zde slíbené výsledky limit. 
  a navíc "příklady" ke cvičení z MAI1 (MFF): "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část    a   Domácí úkol 6.  ( pdf )  a  "moje"  řešení  dú 6  
• 25.10.2021: Ještě výpočet limity funkce (dle potřeby), spec. limity funkce f(x)^g(x) , důkazy neexistence limity funkce (užití Heineho věty); spojitost funkce a spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu; limita posloupnosti a (možná i) konvergence nekonečné řady (jednoduché příklady).
  V paralelce 06 ještě definice cyklometrických funkcí (příklady ve cvičení 18.10.). 
  Příklady:  Derivace funkce 1.  (větší soubor vhodných příkladů)  a ještě  ( pdf ) (i pro další cvičení) .
  Domácí úkol (povinný):   du3 - limita funkce   ( pdf ) (pokud možno, odevzdejte na cvičení v pondělí 1.11., nebo pošlete emailem). 
  A moje řešení dú 3  (můžete užít pro kontrolu nebo i jako "pomoc" při řešení, ale pak to, prosím, u příslušného příkladu poznamenejte).
• 26.10.2021 (p06) - plán: bude upřesněn dle toho, co probereme na cvičení v pondělí  25.10. a i dle pondělní přednášky, možná už budeme moci cvičit derivace funkce (příklady jsou v minulém cvičení).
• 28.10.2021 se cvičení paralelky 03 nekoná - státní svátek, ale můžete přijít na Repetitorium MA1 v pondělí 25.10. nebo i na cvičení paralelky 06 v úterý 26.10. v 16:30, posluchárna G1 v budově Albertov 6.)
• 1.11.2021: P 06 i P03:  výpočet limit funkcí - shrnutí návodů pro výpočet limit, zvláště výpočet i cvičení "zápisu" limit složených funkcí, dále stručně limita posloupnosti reálných čísel, a užití - důkaz neexistence limity funkce (dle Heinho věty); spojitost funkce - spojité dodefinování funkce v bodech, kde funkce není definována, ale kde má vlastní limitu.  jednoduché důkazy limit "z definice".
  Příklady z minulých cvičení a dle dotazů posluchačů.
  P 03: limity - jako v paralelce 06 a dále úvodní příklady výpočtu derivace funkce, pokud bude na přednášce definice derivace a pravidla pro výpočet derivace funkce. Příklady ve cvičení 25.10. . 
• 2.11.2021 (p 06): 1.testík  -  limita funkce;  opakování definice derivace a odvození derivace funkce ln(x) dle definice, také poznámka i derivaci funkce exp(x) a sin(x) v bodě a=0 (užití "tahákovách" limit), připomenutí "významu"  derivace funkce v bodě, .
  4.11.2021 (p 03): 1.testík  -  limita funkce;  dále vysvětlení řešení některých příkladů z testu (dle přání posluchačů); opakování definice derivace, připomenutí "významu"  derivace funkce v bodě, odvození derivace funkce √x dle definice, nevlastní derinace funkce v bodě. 
  
• 8.11.2021 P 06 i P03:  poznámky k řešení některých příkladů z testu na limity; dále ještě opakování výpočtu derivace funkce dle definice, pak hlavně počítání derivace funkce.
  Příklady:  Derivace funkce 1.   ( pdf )  - větší soubor vhodných příkladů, i pro další cvičení;  a ještě výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení  derivace funkce - řešené příklady . 
  A navíc "příklady" ke cvičení z MAI1 (MFF): "písemné" cvičení 7   a     Domácí úkol 7.   ( pdf )  a "moje"   řešení dú 7 
  A pokud už "umíte derivovat", tak už můžete řešit další domácí úkol (o termínu odevzdání se dohodneme podle toho, jak se bude "dařit" cvičení)
  Domácí úkol (povinný): du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace  ( pdf )  (do 22.11.)  a zde je "moje"  řešení dú 4  (pomoc při řešení, pokud potřebujete, nebo i pro kontrolu) .
• 9.11.2021 (p06): Výpočet derivací "složitějších" funkcí, i cyklometrických, derivací vyšších řádů a "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech (příklady ze cvičení 4.11.); dále aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce.
  11.11.2021 (p03):  také výpočet derivací "složitějších" funkcí, i cyklometrických, derivací vyšších řádů a "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech ; výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla.  
  Příklady  ze cvičení 8.11. a dále (příklady i pro několik dalších cvičení) - derivace funkce a užití derivace 2.  ( pdf ) 
• 15.11.2021: počítání "složitějších" derivací; "dopočítávání" derivace funkce ve "špatných" bodech; shnutí postupu při vyšetřování průběhu funkce a úvodní jednoduchý příklad  - zadání příkladů v minulém cvičení. A navíc řešení vybraných příkladů (pro "online" cvičení v loňském zimním semestru):  L´Hospitalovo pravidlo - řešené příklady   a   řešené příklady - "dopočítávání" derivací .
  A třeba se hodí i "příklady" ke cvičení z MAI1 (MFF): "písemné" cvičení 8 - 1.část , písemné cvičení - 2.část  ,  Domácí úkol 8.    ( pdf )  a "moje"   řešení dú 8  , a  "písemné" cvičení 9  . 
• 16.11.2021 (p06) a 18.11.2021 (p03):  výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla, vyšetřování průběhu funkce; dále pak aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití; 
  příklady ze souboru  derivace funkce a užití derivace 2.  ( pdf );  a zde jsou  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  .
  Domácí úkol (povinný): du5 - průběh funkce  ( pdf  )  (zkuste odevzdat do 29.11.);  a zde je "moje"  řešení dú5 -1.část ( z průběhů funkcí aspoň některé vybrané příklady).
• 22.11.2021 - plán: další příklady vyšetřování průběhu funkce; dále pak aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití; a podle toho , co bude odpřednášeno, Taylorův polynom a příklady vyšetřování extrémů funkce.
  Příklady derivace funkce a užití derivace 2.  ( pdf )  a  několik řešených úloh - extrémy funkcí .
• 23.11.2021 (p06)  a 25.11.2021 (p03):  ještě další příklady vyšetřování průběhu funkce; 
  a paralelka 03 - test z  derivací funkce, pak úvodní úvahy o Taylorově polynomu funkce.
• 29.11.2021:  Taylorův polynom funkce a jeho užití;  příklady vyšetřování extrémů funkce. Příklady derivace funkce a užití derivace 2.  ( pdf )  a  několik řešených úloh - extrémy funkcí .
  Dále úvodní příklady výpočtu primitivních funkcí (neboli neurčitých integrálů) -  jednoduché příklady výpočtu primitivních funkcí k ujasnění, co je primitivní funkce (neboli neurčitý integrál funkce); procvičení "tabulky" základních integrálů; dále primitivní funkce k násobku funkce a součtu funkcí.
  Příklady i pro další cvičení: Výběr příkladů - neurčitý integrál 1   ( pdf )  a "tahák" - shrnutí "návodů" k výpočtu neurčitých integrálů:  neurčitý integrál .
  A pro další cvičení   "písemné "cvičení s řešenými příklady   zde   a    výběr řešených příkladů 1  .
• 30.11. 2021 (p06): test z derivací funkce, ještě procvičení "tabulky integrálů";
  2.12.2021 (p03) : opakování způsobů výpočtu neurčitých integrálů (z přednášky), a jak si vybrat "správnou cestu" k integrálům "známým" a ukázky na řešených příkladech,  kdy lze užít substituci, kdy integraci per partes. Příklady z minulého cvičení.
• 6.12.2021:  primitivní funkce ( neurčitý integrál) - připomenutí (z přednášky): definice, existence, vlastnosti neurčitého integrálu; výpočet neurčitého integrálu užitím substituce i metododu per partes - zatím jednodušší příklady.
  Příklady z minulého cvičení a řešené příklady 2  ( str. 1-10 ).
• 7.12.2021 ( p06): stále ještě výpočet neurčitých integrálů a pak (podle přednášky) jednoduché příklady integrace racionální funkce a substitucí, vedoucích na integraci racionální funkce. 
  9.12.2021 ( p03): výpočet neurčitých integrálů - dle přání posluchačů a pak dále integrace jednoduchých racionálních funkcí. 
  Zadání příkladů (i pro paralelku 06, a jsou zde i "nepovinné" pro studenty "pokročilé" v integrování) -  neurčitý integrál 2   ( pdf ) , další soubor řešených příkladů  ( 2VS a integrace racionálních funkcí)  řešené příklady 2 a dále je zde  výběr příkladů , které by mohly býl "cílem" ve výpočtu neurčitých integrálů (příklady "podobné" těm zkouškovým z loňského ZS) a zde jsou jim "podobné" řešené příklady 3  , a ještě navíc řešené příklady 4 -  několik řešených příkladů z Repetitoria 14.12., kdy jsem zapomněla nahrávat.
  Domácí úkol (povinný):  dú6 - neurčitý integrál  ( pdf )  (pokuste se odevzdat do Vánoc) a zde je "moje"  řešení dú6 ;
  navíc si můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
  
• 13.12.2021: Ještě další příklady výpočtu neurčitých integrálů, zvláště užití  2.věty o substituci; dále příklady integrace racionální funkce a substitucí, vedoucích na integraci racionální funkce.
  
• 14.12.2021 (p06) a 16.12.2021 (p03):  ještě shrnutí výpočtu primitivních funkcí, zvláště užitím 2:VS, a racionálních funkcí; dále výpočet a aplikace určitého integrálu. 
  Výběr příkladů - určitý integrál.   a  řešení některých příkladů určitého integrálu - řešené příklady 1  a  řešené příklady 2  (trošku "těžší").
  Domácí úkol (povinný):  dú7 - určitý integrál   ( pdf )  (odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú7.  (úkol z MA1 v loňském ZS, kdy to byl domácí úkol 8)
• 21.12.2021: výpočet a aplikace určitého integrálu - příklady z minulého cvičení.
• 22.12.2021 (p06): ještě výpočet a aplikace určitého integrálu;  úvodní příklad řešení diferenciálních rovnic.
•  3.1.2022 - plán: diferenciální rovnice 1.řádu -  řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými i  lineárních (metoda variace konstant a odhad řešení pro speciální pravé strany);
  Výběr příkladů -  diferenciální rovnice - příklady  ( pdf )  a několik řešených příkladů  diferenciální rovnice - řešené  , další řešené příklady diferenciální rovnice  - cvičení řešené 1
  Domácí úkol (povinný): dú8 - diferenciální rovnice  ( pdf ) ( v loňském ZS dú7) (lze odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú8 .
• 4.1.2022 (p06) a 6.1.2022 (p03) - plán: Ještě řešení diferenciálních rovnic, se separovatelnými proměnnými i  lineárních (metoda variace konstant a odhad řešení pro speciální pravé strany); příklady z minulého cvičení.

 
Podmínky získání zápočtu - upřesnění:
        1.  účast na cvičeních není podmínkou pro udělení zápočtu, ale je polehčující okolností;
        2.  získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se psaly během semestru;
             při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí", které je pak nutné "obhájit" ústně (lze i online);
        3.  vypracování povinných domácích úkolů  - 1. a dále úkoly 3. - 8. (2.úkol zůstal nepovinným).