Matematická analýza 1 pro informatiky (2024/25)

Cvičení k přednášce Matematická analýza 1 (přednáší docent  RNDr. Vít Jelínek, Ph.D.)
pátek 10:40 v N3   (paralelka 11)

 

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz
SOS linka :  mobil 604 268 425

 

Konzultační hodiny:  po dohodě, a konzultace mohou být též např. v pátek před cvičením nebo i po cvičení, pokud máte "volno".

Podmínky pro získání zápočtu:
       pro získání zápočtu je třeba získat aspoň 100 bodů, a to

• aspoň 40 bodů ze závěrečného zápočtového testu (maximum je 80 bodů), v případě, že se zápočtový test nepodaří, je možné napsat test opravný;
           ukázkový zápočtový test (z loňského LS 2023/24)  zde 
• další body lze získat
• za řešení domácích úkolů  - bude zadáno 12 domácích úkolů po 8 bodech;
           Domácí úkoly budou zadány z každého cvičení, pokuste se je vypracovat a odevzdat do cvičení následujícího. Můžete je poslat v "čitelné " podobě emailem nebo přinést na cvičení.         
• za aktivitu na cvičeních (práce u tabule) .       

      

Z literatury, doporučené v SISu:

• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 -  tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
  
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde

Mnoho dalších příkladů můžete také najít

• u doc. M. Lopatkové (UFAL)
  
• ve sbírce KAM
• ve cvičeních dr. Roberta Šámala (IUUK)
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (předběžná verze, jak píše prof.L.Pick)

"Pomocné" materiály:

• nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
• limita a spojitost funkce - cvičení se řešenými příklady
• průběhy funkcí - několik řešených příkladů
  
  

Příklady, probírané na cvičeních:

• Cvičení 1. (21.2.2025): 
  O tom, čím se zabývá matematická analýza, z úvodního opakování středoškolské matematiky jsme připomněli vlastnosti absolutní hodnoty a vzdálenost v R a jednoduché důkazy několika vlastností absolutní hodnoty; doporučeno (budeme opakovat i na cvičení, bude-li třeba) připomenout si základy výrokového a množinového počtu, dále reálné funkce a jejich vlastnosti, pokusy o grafy; jednoduché důkazy, matematická indukce.
  Příklady:   Cvičení 1.   - výběr příkladů k opakování, i pro další cvičení (vlastnosti a grafy základních funkcí v části III., zvláště funkcí exp(x), ln(x), sin(x), cos(x), považujeme za "známé").
  Dále podle přednášky 20.2.  -  supremum a infimum množiny v R, vzdálnost v R, metrický prostor.  Spočetnost, resp. nespočetnost množin v R připomeneme na cvičení 3.
  Příklady (i dále pro 2.cvičení):  Cvičení 1. a 2.  
  
  Hezké čtení (i o matematické analýze) pro zájemce:   
                          Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                         John D. Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)
                         John D. Barrow: Kniha o nekonečnu (Stručný průvodce světem bez hranic. počátku a konce) (Nakladatelství Paseka, 2007) 
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
  
  Domácí úkol:  Domácí úkol 1 - zatím spíše jako příprava na cvičení (bude upřesněno podle toho, co na cvičení probereme) - stačí jen promyslet, ale chcete-li, abych váš dú prohlédla,
                           pak můžete řešení domácího úkolu poslat emailem nebo přinést na cvičení 28.2. (opět, vlastnosti a grafy základních funkcí exp(x) a ln(x)  bereme jako "známé") .
  
  
• Cvičení 2. (28.2.2025): 
  Dle přednášky - posloupnosti reálných čísel a vyšetření jejich vlastností (omezenost, monotonie), dále opakování definice vlastní i nevlastní limity posloupnosti, důkazy limit několika "základních" posloupností z definice, shrnutí pravidel "aritmetiky limit a výpočet limit posloupností užitím aritmetiky limit, "neurčité výrazy" a aspoň několik návodů, jak takové limity řešit.
  Příklady:  ještě ze souboru Cvičení 1. a 2.   a dále  Cvičení 2. a 3.
  Domácí úkol:  Domácí úkol 2
  
  A třeba se hodí při promýšlení MAI 1 i materiály ze cvičení k MAI 1 z LS 2019/20   Domácí úkol 3 (MA1 19/20).  a  zde  Dú 3 MA1 19/20) - řešení   - (moje) řešení z prvního "covidového" semestru (LS 2019/20). Psala jsem tehdy studentům, a platí to i nyní: Můžete si vaše domácí úkoly tak sami zkontrolovat, opravit a případně opravit i moje chyby v řešení (a ty mi, prosím, laskavě ohlašte). Můžete použít jako přípravu na další cvičení.
  
  
• Cvičení 3. (7.3..2025):
  Ještě stále vyšetřování limity posloupnosti - důkazy "z definice" některých "základních" a užitečných limit , výpočet limit, užití věty o limitě sevřené funkce a její modifikace pro limitu nevlastní. A dále (dle přednášky) opakování definice konvergence, resp. divergence nekonečné řady, jako příklad řada geometrická. Pak jako příklad vyšetřování konvergence nekonečných řad - užitím věty o limitě posloupnosti monotonní posloupnosti odvozeno srovnávací kriterium pro řady s nezápornými členy a ukázán příklad konvergence řady srovnáním s řadou geometrickou.
  A třeba se hodí k přemýšlení o posloupnostech řešené příklady z "doby covidové"
  Cvičení 4. (12.3.2020) - náhradní písemná verze:   cvičení 4. - první část , a zde dodatek - cvičení 4. - 2.část   A  přišla otázka - tak trošku podrobněji  návod k příkladu 3 .
  A  "naše"
  Příklady:   Cvičení 2. a 3.   a   Posloupnosti - další příklady.   
  Domácí úkol:  Domácí úkol 3.
  
  
• Cvičení 4. (14.3..2025):
  Ještě limita posloupnosti  - limita rekurentně dané posloupnosti; dále ještě trošku o nekonečných řadách  - připomenutí definice konvergence, resp. divergence řady, další jednoduché příklady vyšetření konvergence nekonečných řad - užití nutné podmínky konvergence řad a srovnávacího kriteria pro řady s nezápornými členy; dále jsme si ukázali konvergenci pro x>0 funkční řady, kterou byla definována funkce exp(x). Dále úvodní úvahy o reálných funkcích jedné reálné proměnné -  jednoduché příklady reálných funkcí a vyšetření jejich vlastností. 
  Příklady ze cvičení 3  a dále příklady  k opakování vlastností funkcí a k úvodu k limitám funkcí cvičení 4 - opakování funkcí  (i pro příští cvičení). 
  A zde je písemná verze cvičení z 19.3.2020:  "písemné" cvičení 5  , kde je řada řešených příkladů k opakování vlastností reálných funkcí. 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 4  .  
  
  
• Cvičení 5. (21.3..2025):
  Reálné funkce a jejich vlastnostii - shrnutí vlastností "důležitých" elementárních funkcí, příklad definice a vlastnosti funkcí arcsin(x) a arctan(x) bude na příštím cvičení.  Dále limity funkce - připomenutí limit některých "tabulkových" funkcí, jednoduché příklady výpočtu limit funkcí užitím "aritmetiky limit". Důkazy limity funkce "z definice". Větu o limitě složené funkce a větu o limitě funkce sevřené užijeme k výpočtu limit na příštím cvičení. Spojitosti funkce v bodě i "v intervalu". 
  Příklady  k opakování vlastností funkcí a k úvodu k limitám funkcí z minulého cvičení  cvičení 4 - opakování funkcí    a příklady k výpočtu limit funkce   cvičení 5 a 6 .
  A zde jsou písemné verze  cvičení (MAI 1 z LS 2019/20):  "písemné" cvičení 5  ,  "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 5  můžete zatím promyslet příklady 1 - 5, příklady 6. a 7. budou úkolem z cvičení příštího.
  
  
• Cvičení 6. (28.3..2025): 
  Ještě výpočet limit funkcí - výpočet limit funkcí užitím aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě funkce sevřené. Užití vlastností funkce a limit v krajních bodech intervalů z definičního oboru k odhadu grafu funkce. Vyšetření spojitosti funkce v bodě i v intervalu. Definice a vlastnosti funkce arcsin(x).  
  Příklady z minulého cvičení k výpočtu limit funkce ze cvičení 5 a 6   a  další příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  cvičení 6 a 7. 
  A zde je písemná verze cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7  -  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  Domácí úkol:  zůstává   Domácí úkol 5  ,  limity z příkladu 6 hlavně "promyslete", stačí "spočítat" jen některé z nich, co si vyberete.
  
  
• Cvičení 7. (4.4.2025):
  Ještě výpočet limit funkcí - výpočet limit funkcí užitím aritmetiky limit, a hlavně věty o limitě složené funkce. Vyšetření spojitosti funkce v bodě i v intervalu. Příklady pro procvičení definice derivace - odvození derivace funkcí exp(x) a sin(x), pak výpočet derivací. Příklad užití l´Hospitalova pravidla. 
  Příklady ještě z minulého cvičení,  další příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  cvičení 6 a 7 a příklady i pro další cvičení  cvičení 7 a 8
  A zde je písemná verze cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7  -  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  Domácí úkol:  
   Domácí úkol 7 - problémky ke spojitosti funkce a příklady pro trénink výpočtu derivací (můžete si vybrat příklady)  a "moje" řešení bývalého dú7 z LS 2019-20 -  řešení dú 7  .
   A můžete si vybrat i příklady z dalšího úkolu Domácí úkol 8 .
  
  
• Cvičení 8. (11.4.2025):
  Ještě výpočet limit, hlavně užitím věty o limitě sevřené funkce a příklady, kdy funkce v daném bodě limitu nemá. Trošku o spojitosti funkce v bodě i v intervalu - spojité "dodefinování" funkce v bodě. Ještě příklady pro procvičení výpočtu derivací. Hlavně pak užití derivace - výpočet limit užitím L´Hospitalova pravidla; "dopočítávání" derivace ve "špatných " bodech (tj. kde nejde použít  "vzorce" na výpočet derivace). Příklad vyšetření  průběhu funkce. 
  Příklady z minulých cvičení:  limity cvičení 5 a 6 , výpočet derivací  cvičení 6 a 7 a příklady užití derivace  cvičení 7 a 8
  Domácí úkol:  Domácí úkol 8  a pak i můžete promyslet a řešit úlohy další - Domácí úkol 8 (druhá část)
  
  
• Cvičení 9. (18.4.2025) se nekonalo, neboť byl státní svátek  - Velký pátek.
  
  
• Cvičení 10. (25.4.2025) - plán:
  Ještě užití derivace - (dle přání studentů) příklady výpočtu limit užitím L´Hospitalova pravidla; "dopočítávání" derivace ve "špatných " bodech (tj. kde nejde použít  "vzorce" na výpočet derivace),  vyšetření průběhu funkcí (i takových, které nemají derivace v nějakém bodě). Vyšetřování extrémů funkce a Taylorův polynom funkce a jeho užití při aproximaci hodnot funkce a i při výpočtu limit.
  Výpočet promitivních funkcí procvičíme na cvičení příštím.
  Příklady ke cvičení: cvičení 7 a 8  (z minulého cvičení) a  cvičení 10 - příklady.    
  A písemná verze cvičení opět z LS 2019-20 (tehdy to bylo 8. cvičení): "písemné" cvičení 8 - 1.část   , písemné cvičení 8 - 2.část  .
  A dále zde jsou  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  , a možná, že si přečtete rádi i několik řešených úloh - extrémy funkcí . Omlouvám se, je to pro přírodovědce, tak je tam i úloha z chemie, ale snad to nevadí (nemusíte to číst). 
  Taylorův polynom a další aplikace derivace ( LS 2019-20)  - písemná verze cvičení (tehdy 9.):  "písemné" cvičení 9  . A stále platí, pokud najdete někde chybu, prosím, upozorněte na ni.
  Domácí úkol:  zůstává druhá část úkolu ze cvičení 8 - Domácí úkol 8 (druhá část) a "moje"  řešení dú 8   (je to řešení z LS 2019-20,  možná je řešení někdy příliš podrobně vysvětlováno, ale je z doby on-line semestru) .
  
  
• Cvičení 11. (2.5.2025) - plán:
  Primitivní funkce (výpočet neurčitých integrálů) - definice, existence, vlastnosti a výpočet primitivních funkcí (antiderivací)  - užití "tabulky" primitivních funkcí, vět o substituci a integrace "per partes"..        Pokud se hodí, zde je "tahák" - neurčitý integrál  (z minulých let).
  Příklady ke cvičení:  cvičení 10, 11 - příklady integrál 1 
  A písemná cvičení z neurčitého integrálu (z LS 2019-20):  "písemné" cvičení 10  a  opravená stránka 16 (integrace per pares);  "písemné" cvičení 11 - úvod ; 
  další  příklady řešené 1.část:   a   příklady řešené 2.část    (a prosím, najdete-li chyby, napište; a chyba byla nalezena a zde opravená stránka 9 - př.4 );
  a dále řešené příklady (s výkladem) z přednášek pro MA1 pro chemiky:  20.11.,  25.11. , 2.12. ,  4.12.  . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 11  a  "moje"  řešení dú 11    (dříve dú 10).