Rozšíření Matematiky A1 pro biochemiky LS 2024/25

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

 

Sylabus a literatura  - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto studenty "vytvořenému" předmětu, hlavním cílem "Rozšíření matematiky A1" je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností  a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice A1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii.  Na začátku semestru se ještě navíc rozšiřuje i lineární algebra z MA1 a znalost diferenciálních rovnic o řešení a aplikace lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty (užitečné ve fyzice, spec. v mechanice). A poslední část předmětu je věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů na cvičeních, Rozšíření matematiky A1 má od loňského akademického roku k přednášce i dvě hodiny cvičení. 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
  
• sbírka KAM MFF

      

A jak bude probíhat výuka"Rozšíření Matematiky A1" ? 
       První část semináře bude shrnutí a opakování látky, probrané v minulém semináři, pomocí řešení příkladů. Také bude výborné, když budete pomáhat naší výuce  i svými dotazy a náměty, co byste potřebovali vysvětlit znovu a třeba i podrobněji. V druhé části pak probereme další " nové" věci.
      Základní lliteraturou by mohla být  skripta, přístupná i na internetu:  D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde .
A můžete si také přečíst k tomu přednášky, které jsem psala  pro Matematiku A2 v  prvním "on-line" semestru - viz stránka MA2 2020/21 a "opravené" přednášky na stránce  MA2 2021/22  Snažila jsem se v "písemných přednáškách" vedle "přesných" formulací  definic a vět  i o jejich "lidovější" vysvětlení, tak by to mohlo být, doufám, čitelné i pro vás. Navíc, můžete sledovat i záznamy on-line přednášek MA2 z LS 2020/21.
      K hlavním partiím látky budou domácí úkoly s jednoduchými, ale "základními" důležitými příklady, a za jejich  řešení, které odevzdáte, získáte zápočet. K zadání domácích úkolů budete mít vždy i "moje" řešení, které jsem se snažila napsat podrobně, s návody a s výkladem - proč daný problém takto řešíme. Jako kdybychom příklady řešili spolu na cvičení, je to takové "písemné" cvičení.  A ještě poznámka k domácím úkolům - jednak vy je tak podrobně psát nemusíte (jako já) a za druhé, i když bude podrobné řešení zadaného domácího úkolu na "dubu" , tak vaše úkoly budou uznány. Předpokládám, že v matematice pokračujete ne kvůli zápočtu, ale proto, že chcete ještě něco více z matematiky znát, že věříte tomu, že se tím usnadní i pochopení mnohých věcí z fyziky i fyzikální chemie, a tak si nemyslím, že byste opisovali moje řešení a pak mi ho posílali, to by nemělo žádnou cenu.. Nechť je pro vás "moje řešení" domácích úkolů další studijní pomůckou a pomocí, a když budete chtít, tak k vašemu řešení příkladů v úkolu můžete připsat, kde jste potřebovali pomoc a zda vám to moje řešení trošku pomohlo. Tím byste zase hodně pomohli v "učení" také mně. A děkuji vám napřed. 
    A prosím, máte-li jakékoliv dotazy nebo připomínky, ptejte se na přednáškách či cvičeních, nebo pište, budu se snažit vše číst a včas odpovídat a s matematikou vám pomáhat.. A můžete též využít po domluvě  konzultace, a to i online pomocí Google Meet, kdykoliv budete potřebovat.

Záznamy online přednášek z MA2 i písemné materiály k přednáškám MA2 (LS 2020/21)  jsou zde 
Záznamy online  seminářů z letního semestru 2020/21, kdy výuka nemohla být prezenční  jsou  zde . 

Podmínky získání zápočtu:
        1.  účast na cvičeních (tři absence mohou být neomluveny);
        2.  vypracování aspoň pěti ze zadaných domácích cvičení (na "dubu" nazvaných  "domácí úkoly"), jako splněný úkol se počítá i řešení nějakého problému během cvičení "u tabule"; 
             vypracování domácích úkolů může být nahrazeno i závěrečným zápočtovým testem nebo pohovorem (zápočtem ústním), samozřejmě po dohodě.
        3.  získání aspoň poloviny možných bodů ze dvou zápočtových testů, psaných během semestru; při neúspěchu v testech lze napsat testy opravné, případně napsat testy "domácí",
             které je pak nutné  "obhájit" ústně.

 

Matematika  "po částech"  - plán pro Rozšíření MA1:

1. Lineární algebra - rozšíření lineární algebry z MA1:  

• Vektorové (lineární) prostory, zvláště pak Rⁿ  
• definice vektorového (lineárního) prostoru, příklady vektorových prostorů; 
• báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi a užití maticového počtu při nalezení souřadnic vektoru v Rⁿ.  
• Lineární zobrazení
• definice lineárního zobrazení vektorového prostoru, příklady nám známých lineárních zobrazení;
• lineární zobrazení prostoru Rⁿ do R^m, matice lineárního zobrazení prostoru Rⁿ do R^m, vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice;
• lineární rovnice - obecný návod pro řešení lineárních rovnic, příklady řešení nám již známých lineárních rovnic.

    Příklady k promyšlení a ke cvičení   LA příklady

    Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde.   
    Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde.

    Přednášky  a cvičení:

• Cvičení 17.2.2025: 
  Úvod  - "co"  a "jak" budeme studovat v Rozšíření MA1 a  návrh podmínek pro získání zápočtu (upřesnění příště) - účast na cvičeních a přednáškách, domácí cvičení pomocí zadaných domácích úkolů, a případně místo domácích úkolů tři testy, nebo, domácí úkol může být nahražen "referátem" na cvičení, kde bude ukázáno řešení zadaných příkladů či problémů.
  Dále  shrnutí a  pomocí řešení příkladů připomenutí toho, co bylo probráno z maticového počtu v matematice A1. 
  Příklady k opakování a procvičení:  LA - příklady 1  - větší soubor příkladů z lineární algebry ( LA ), i pro další cvičení.
  A ještě řešené příklady z domácího úkolu v MA1  dú9 - lineární algebra  -  a zde je "moje"   řešení dú9 - LA   .
  
  
• Přednáška 18.2.2025:
  Definice vektorového prostoru a podprostoru, specielně Rⁿ jako vektorový prostor, definici báze a dimenze vektorového prostoru Rⁿ, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi. Dále definice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m, "co je" matice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m  a jak tuto matici daného zobrazení "najít";  příklady - transformace souřadnic v Rⁿ jako lineární zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a vlastností matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).Příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů a příklady lineárních zobrazení v těchto prostorech.  Obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech.Stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice - vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlastních čísel matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla a navzájem různá.
  
  
• Cvičení 19.2.2024:
  Stejně jako ve cvičení 17.2.  - "co"  a "jak" budeme studovat v Rozšíření MA1 a  návrh podmínek pro získání zápočtu (upřesnění příště). 
  Dále  shrnutí a připomenutí  toho, co bylo probráno z maticového počtu v matematice A1. 
  Příklady k opakování a procvičení viz cvičení 17.2.2025 a navíc třeba i další příklady k opakování LA z domácího testu  Domácí test z LA
  
  
• Cvičení 24.2.2025:
  Ještě opakování maticového počtu, řešení soustav lineárních rovnic, existence inverzní marice k matici regulární s "pokus"  s nalezením inverzní matice a pak výpočet inverzní matice Gauss - Jordanovou metodou. Zopakování návodů k výpočtu determinantů.
  A stejně jako ve cvičení19.2. :
  Příklady k opakování a procvičení viz cvičení 17.2.2025 a navíc třeba i další příklady k opakování LA z domácího testu  Domácí test z LA
  
  
• Přednáška 25.2.2025:
  Definice vektorového prostoru a podprostoru, příklady "pro nás" užitečných vektorových prostorů, specielně Rⁿ jako vektorový prostor. Definice báze a dimenze vektorového prostoru Rⁿ, příklady báze prostoru Rⁿ (n=2,3,4). Souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi, transformace souřadnic vektoru v Rⁿ při změně báze. Dále definice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m, "co je" matice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m . Pak obecně lineární zobrazení vektorových prostorů - definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. 
  Dále lineární rovnice ve vektorových prostorech a obecný "návod" pro řešení lineárních rovnic.
  Problémky pro cvičení -  jak matici daného lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m  "najít"; transformace souřadnic v Rⁿ jako lineární zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a vlastností matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).
  Dále příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů Dále lineární zobrazení vektorových prostorů - definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. 
  Dále příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů a příklady lineárních zobrazení v těchto prostorech.  Obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech.
  
  
• Cvičení 26.2.2025 a 3.3.2025 - plán:
  K prostorům Rⁿ : příklady báze prostoru Rⁿ (n=2,3,4), souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi v těchto prostorech, transformace souřadnic vektoru při změně báze v Rⁿ .
  Lineární zobrazení vektorových prostorů - opakování definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení.
  Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení).
  Transformace souřadnic vektoru při změně báze v Rⁿ jako příklad lineárního zobrazení. Řešení soustav lineárních rovnic z pohledu obecného návodu pro řešení lineárních rovnic. 
  Příklady k promyšlení a ke cvičení (i pro další cvičení)  LA příklady
  Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde  (stačí řešení úkolu přinést nebo poslat emailem za týden po cvičení)
  Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde  (zatím jsme probrali jen látku k příkladům  z 1. stránky, pokud si tento úkol vyberete, stačí jej vypracovat až po příští přednášce).
  
  
• Přednáška 4.3.2025:
  Ještě trošku k lineární algebře: 
  Shrnutí toho, co jsme si říkali o lineárních zobrazeních vektorových prostorů, další příklady lineárních zobrazení - isomorfismus n-dimenzionálních vektorových prostorů a Rⁿ , transformace souřadnic vekroru při změně báza v prostorech Rⁿ . Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení). Dále stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice - vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlastních čísel matice; příklady - jen reálná vlastní čísla a navzájem různá. A speciálně - má-li čvercová matice A řádu n vlastní čísla λ_i , i = 1,....n,  reálná a navzájem různá, pak vlastní vektory v_i , příslušné k λ_i , i = 1,....n,  tvoří bázi Rⁿ  a diagonální matice Λ , kde diagonální prvky jsou vlastní čísla této matice,  je matice  zobrazení L(x) = A x  vzhledem k této bázi.
  A jako "studijní materiál"  k přednášce můžete použít i z MA2   dodatek k přednášce 24.2. 
  Pak ještě úvod k obyčejným lineárním diferenciálním rovnicím 2. řádu: dva příklady  - pohybové rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a harmonických kmitů hmotného bodu a odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; dále pak,  jak budeme aplikovat  "obecný návod" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu a formulace věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu. 
  
  
• Cvičení 5.3.2025 a 10.3.2025  - plán:
  Ještě k lineární algebře:  lineární zobrazení vektorových prostorů - opakování definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení).  Vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduchý příklad, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá.
  A třeba se hodí i příklady k přednášce z 24.2.2020 . 
  
  

2. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu a soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  (s konstantními koeficienty): 

• lineární diferenciální rovnice 2. řádu 
• řešení OLDR 2.řádu "obecně";
• OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - shrnutí viz OLDR 2.řádu - poznámky  z předloňského roku;
• řešené příklady (cvičení)

            Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady  (zadání); 
            Domácí úkol 2.:   dú 2 OLDR 2.řádu  -  opět prosím, přečtěte si zadání a můžete psát dotazy. A zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  

           A můžete se i podívat na  zápisy přednášek z MA2 - OLDR 2.řádu :  poznámky k přednášce 2.3.20 a i  k přenášce 4.3.20  zde ; 
           poznámky k přednášce 9.3.20  zde  . A snad se hodí i  "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
           Materiály pro MA2, ale i pro vás (jednodušší a vysvětlující): 
            OLDR 2.řádu - poznámky;  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část   . 

• soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu 
• soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - základní informace jsou ve druhé části přednášky  přednáška 11.3.20. - 2.část    a s příklady v přednášce přednáška 16.3.20 
• řešené příklady (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu 
  
  

Přednášky  a cvičení:

• Přednáška 11.3.2025 - plán:
  Obyčejné lineární diferencální rovnice druhého řádu - dva příklady (rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; dále aplikace "obecného návodu" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 a fundamentální systém řešení homogenní rovnice; návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních) a jednoduché příklady řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty; řešení nehomogenní OLDR 2.řádu  metodou variace konstant a metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady. 
  K této přednášce se snad hodí shrnutí v  OLDR 2.řádu - poznámky  a dále
  Řešené příklady  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část  . 
  Dále ještě stručné zopakování komplexních čísel a jejich vlastností, zavedení komplexní exponenciely a pak užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice.
  A k tomu se snad hodí i  "písemná" přednáška z MA2 - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
  
  
•  Cvičení 12.3.2025 a 17.3.2025 - plán:
  Řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém, obecné řešení homogenní rovnice, řešení počáteční úlohy pro homogenní rovnici. Řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant, řešení počáteční úlohy. A podle toho, co probereme na přednášce, možná i odhad partikulárního řešení.  
  Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady 
  Domácí úkol 2.:   dú 2 OLDR 2.řádu  a zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  
  
  
  
  
  

 3. Diferenciální počet vektorových  funkce jedné proměnné a funkcí (i vektorových) dvou a tří proměnných.

     Co bychom měli probrat:

• vektorové funkce jedné reálné proměnné
• shrnutí - definice, limita, spojitost, derivace; 
• příklady řešené (cvičení);
• další příklady a domácí cvičení  dú3   - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné;
  a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení).
  
  
• reálné funkce více (dvou a tří) proměnných - přehled základních "věcí", co je "dobré" znát
•  definice, definiční obory, limita (jen velmi stručně);
•  parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde ; 
• derivace složené funkce a  příklady k procvičení - zadání zde;
• funkce definované implicitně a příklady k procvičení (i extémů funkcí) - zadání  zde;
• extrémy funkce dvou proměnných.

        Domácí úkoly (domácí cvičení)  (pro procvičení a kontrolu, snad i jako zdroj dotazů): 
                  dú4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných;
                            a zde je   řešení 4. domácího úkolu - první část;  a  řešení 4. domácího úkolu - druhá část;
                  dú5 - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných;
                           a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
                  dú6 - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných 
                           a "moje" dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);  dú 6 - řešení 2.část (extrémy).

        A můžete se podívat  na zápisy přednášek pro MA2 na tato témata: 

•  úvod, vzdálenost v Rⁿ , příklady funkcí dvou proměnných vektorové funkce jedné proměnné - přednáška 18.3.20 (první část)  ,  přednáška 18.3.20 (druhá část) ;
•  limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;
•  funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.3.20.; derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20.;  
•  vektorové funkce více proměnných - přednáška 1.4.20. ;
•  funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
•  extrémy funkcí dvou proměnných -  přednáška 15.4.20.
  
  

4. Dvojný a trojný integrál:

• připomenutí definice, existence a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné
• dvojný integrál Riemannův
  •  dvojný integrálu "přes" obdélník - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast a opět - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta; substituce do polárních souřadnic;
    a výběr příkladů k procvičení  zde
• trojný integrál Riemannův 
• trojný integrál - definice, aplikace, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta pro integrál trojný;
• substituce - souřadnice válcové a sferické;soubor ukázkových řešených příkladů "místo" cvičení;
  a výběr příkladů k procvičení  zde 

         Domácí úkol (domácí cvičení):  (opět pro procvičení a kontrolu, a i jako zdroj dotazů):
                   dú7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení
                   dú8 - integrál trojný (výpočet a aplikace) a "moje" řešení  dú 8 - řešení

         A přednášky pro MA2 - snažila jsem se zde o "srozumitelnost", tak snad mohou pomoci i v RMA1:

• opakování R - integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník  - přednáška 20.4.20 ;  a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů  zde  ;
• dvojný integrál přes měřitelnou oblast  - přednáška 22.4.20. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4.20.         
• trojný integrál - přednáška 29.4.20.  a  substituce do válcových, resp. sférických souřadnic - přednáška 4.5.20 - 1.část 

 

5. Křivkový integrál:

• křivkový integrál skalární funkce
  • definice křivky v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
  • příklady aplikací  a výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
     
• křivkový integrál vektorové funkce 
  • definice, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce; 
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál;
  • nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole;
• výběr příkladů k procvičení  křivkových integrálů  zde 

         Domácí úkol (domácí cvičení):
                   dú9 - křivkový integrál a  "moje" řešení  dú 9 - řešení

         A přednášky pro MA2  - snad se hodí i pro RMA1:

• úvod ke křivkovému integrálu přednáška 4.5.20 - 2.část; definice křivky, křivkového integrálu skalární funkce; 
• křivkový integrál funkce vektorové -  přednáška 6.5.20. ;  potenciální vektorová pole, potenciál -  přednáška 11.5.20.
  

6. Nevlastní Riemannův integrál.

7. Nekonečné řady.