Rozšíření Matematiky A1 pro biochemiky LS 2024/25

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

 

Sylabus a literatura  - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto studenty "vytvořenému" předmětu, hlavním cílem "Rozšíření matematiky A1" je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností  a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice A1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii.  Na začátku semestru se ještě navíc rozšiřuje i lineární algebra z MA1 a znalost diferenciálních rovnic o řešení a aplikace lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty (užitečné ve fyzice, spec. v mechanice). A poslední část předmětu je věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů na cvičeních, Rozšíření matematiky A1 má od loňského akademického roku k přednášce i dvě hodiny cvičení. 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
  
• sbírka KAM MFF

      

A jak bude probíhat výuka"Rozšíření Matematiky A1" ? 
       První část semináře bude shrnutí a opakování látky, probrané v minulém semináři, pomocí řešení příkladů. Také bude výborné, když budete pomáhat naší výuce  i svými dotazy a náměty, co byste potřebovali vysvětlit znovu a třeba i podrobněji. V druhé části pak probereme další " nové" věci.
      Základní lliteraturou by mohla být  skripta, přístupná i na internetu:  D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde .
A můžete si také přečíst k tomu přednášky, které jsem psala  pro Matematiku A2 v  prvním "on-line" semestru - viz stránka MA2 2020/21 a "opravené" přednášky na stránce  MA2 2021/22  Snažila jsem se v "písemných přednáškách" vedle "přesných" formulací  definic a vět  i o jejich "lidovější" vysvětlení, tak by to mohlo být, doufám, čitelné i pro vás. Navíc, můžete sledovat i záznamy on-line přednášek MA2 z LS 2020/21.
      K hlavním partiím látky budou domácí úkoly s jednoduchými, ale "základními" důležitými příklady, a za jejich  řešení, které odevzdáte, získáte zápočet. K zadání domácích úkolů budete mít vždy i "moje" řešení, které jsem se snažila napsat podrobně, s návody a s výkladem - proč daný problém takto řešíme. Jako kdybychom příklady řešili spolu na cvičení, je to takové "písemné" cvičení.  A ještě poznámka k domácím úkolům - jednak vy je tak podrobně psát nemusíte (jako já) a za druhé, i když bude podrobné řešení zadaného domácího úkolu na "dubu" , tak vaše úkoly budou uznány. Předpokládám, že v matematice pokračujete ne kvůli zápočtu, ale proto, že chcete ještě něco více z matematiky znát, že věříte tomu, že se tím usnadní i pochopení mnohých věcí z fyziky i fyzikální chemie, a tak si nemyslím, že byste opisovali moje řešení a pak mi ho posílali, to by nemělo žádnou cenu.. Nechť je pro vás "moje řešení" domácích úkolů další studijní pomůckou a pomocí, a když budete chtít, tak k vašemu řešení příkladů v úkolu můžete připsat, kde jste potřebovali pomoc a zda vám to moje řešení trošku pomohlo. Tím byste zase hodně pomohli v "učení" také mně. A děkuji vám napřed. 
    A prosím, máte-li jakékoliv dotazy nebo připomínky, ptejte se na přednáškách či cvičeních, nebo pište, budu se snažit vše číst a včas odpovídat a s matematikou vám pomáhat.. A můžete též využít po domluvě  konzultace, a to i online pomocí Google Meet, kdykoliv budete potřebovat.

Záznamy online přednášek z MA2 i písemné materiály k přednáškám MA2 (LS 2020/21)  jsou zde 
Záznamy online  seminářů z letního semestru 2020/21, kdy výuka nemohla být prezenční  jsou  zde . 

Podmínky získání zápočtu:
        1.  účast na cvičeních (tři absence mohou být neomluveny);
        2.  vypracování aspoň pěti ze zadaných domácích cvičení (na "dubu" nazvaných  "domácí úkoly"), jako splněný úkol se počítá i řešení nějakého problému během cvičení "u tabule"; 
             vypracování domácích úkolů může být nahrazeno i závěrečným zápočtovým testem nebo pohovorem (zápočtem ústním), samozřejmě po dohodě.
       

 

Matematika  "po částech"  - plán pro Rozšíření MA1:

1. Lineární algebra - rozšíření lineární algebry z MA1:  

• Vektorové (lineární) prostory, zvláště pak Rⁿ  
• definice vektorového (lineárního) prostoru, příklady vektorových prostorů; 
• báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi a užití maticového počtu při nalezení souřadnic vektoru v Rⁿ.  
• Lineární zobrazení
• definice lineárního zobrazení vektorového prostoru, příklady nám známých lineárních zobrazení;
• lineární zobrazení prostoru Rⁿ do R^m, matice lineárního zobrazení prostoru Rⁿ do R^m, vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice;
• lineární rovnice - obecný návod pro řešení lineárních rovnic, příklady řešení nám již známých lineárních rovnic.

    Příklady k promyšlení a ke cvičení   LA příklady

    Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde.   
    Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde.

    Přednášky  a cvičení:

• Cvičení 17.2.2025: 
  Úvod  - "co"  a "jak" budeme studovat v Rozšíření MA1 a  návrh podmínek pro získání zápočtu (upřesnění příště) - účast na cvičeních a přednáškách, domácí cvičení pomocí zadaných domácích úkolů, a případně místo domácích úkolů tři testy, nebo, domácí úkol může být nahražen "referátem" na cvičení, kde bude ukázáno řešení zadaných příkladů či problémů.
  Dále  shrnutí a  pomocí řešení příkladů připomenutí toho, co bylo probráno z maticového počtu v matematice A1. 
  Příklady k opakování a procvičení:  LA - příklady 1  - větší soubor příkladů z lineární algebry ( LA ), i pro další cvičení.
  A ještě řešené příklady z domácího úkolu v MA1  dú9 - lineární algebra  -  a zde je "moje"   řešení dú9 - LA   .
  
  
• Přednáška 18.2.2025:
  Definice vektorového prostoru a podprostoru, specielně Rⁿ jako vektorový prostor, definici báze a dimenze vektorového prostoru Rⁿ, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi. Dále definice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m, "co je" matice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m  a jak tuto matici daného zobrazení "najít";  příklady - transformace souřadnic v Rⁿ jako lineární zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a vlastností matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).Příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů a příklady lineárních zobrazení v těchto prostorech.  Obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech.Stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice - vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlastních čísel matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla a navzájem různá.
  
  
• Cvičení 19.2.2024:
  Stejně jako ve cvičení 17.2.  - "co"  a "jak" budeme studovat v Rozšíření MA1 a  návrh podmínek pro získání zápočtu (upřesnění příště). 
  Dále  shrnutí a připomenutí  toho, co bylo probráno z maticového počtu v matematice A1. 
  Příklady k opakování a procvičení viz cvičení 17.2.2025 a navíc třeba i další příklady k opakování LA z domácího testu  Domácí test z LA
  
  
• Cvičení 24.2.2025:
  Ještě opakování maticového počtu, řešení soustav lineárních rovnic, existence inverzní marice k matici regulární s "pokus"  s nalezením inverzní matice a pak výpočet inverzní matice Gauss - Jordanovou metodou. Zopakování návodů k výpočtu determinantů.
  A stejně jako ve cvičení19.2. :
  Příklady k opakování a procvičení viz cvičení 17.2.2025 a navíc třeba i další příklady k opakování LA z domácího testu  Domácí test z LA
  
  
• Přednáška 25.2.2025:
  Definice vektorového prostoru a podprostoru, příklady "pro nás" užitečných vektorových prostorů, specielně Rⁿ jako vektorový prostor. Definice báze a dimenze vektorového prostoru Rⁿ, příklady báze prostoru Rⁿ (n=2,3,4). Souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi, transformace souřadnic vektoru v Rⁿ při změně báze. Dále definice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m, "co je" matice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m . Pak obecně lineární zobrazení vektorových prostorů - definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. 
  Dále lineární rovnice ve vektorových prostorech a obecný "návod" pro řešení lineárních rovnic.
  Problémky pro cvičení -  jak matici daného lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m  "najít"; transformace souřadnic v Rⁿ jako lineární zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a vlastností matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).
  Dále příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů Dále lineární zobrazení vektorových prostorů - definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. 
  Dále příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů a příklady lineárních zobrazení v těchto prostorech.  Obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech.
  
  
• Cvičení 26.2.2025 a 3.3.2025 - plán:
  K prostorům Rⁿ : příklady báze prostoru Rⁿ (n=2,3,4), souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi v těchto prostorech, transformace souřadnic vektoru při změně báze v Rⁿ .
  Lineární zobrazení vektorových prostorů - opakování definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení.
  Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení).
  Transformace souřadnic vektoru při změně báze v Rⁿ jako příklad lineárního zobrazení. Řešení soustav lineárních rovnic z pohledu obecného návodu pro řešení lineárních rovnic. 
  Příklady k promyšlení a ke cvičení (i pro další cvičení)  LA příklady
  Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde  (stačí řešení úkolu přinést nebo poslat emailem za týden po cvičení)
  Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde  (zatím jsme probrali jen látku k příkladům  z 1. stránky, pokud si tento úkol vyberete, stačí jej vypracovat až po příští přednášce).
  
  
• Přednáška 4.3.2025:
  Ještě trošku k lineární algebře: 
  Shrnutí toho, co jsme si říkali o lineárních zobrazeních vektorových prostorů, další příklady lineárních zobrazení - isomorfismus n-dimenzionálních vektorových prostorů a Rⁿ , transformace souřadnic vekroru při změně báza v prostorech Rⁿ . Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení). Dále stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice - vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlastních čísel matice; příklady - jen reálná vlastní čísla a navzájem různá. A speciálně - má-li čvercová matice A řádu n vlastní čísla λ_i , i = 1,....n,  reálná a navzájem různá, pak vlastní vektory v_i , příslušné k λ_i , i = 1,....n,  tvoří bázi Rⁿ  a diagonální matice Λ , kde diagonální prvky jsou vlastní čísla této matice,  je matice  zobrazení L(x) = A x  vzhledem k této bázi.
  A jako "studijní materiál"  k přednášce můžete použít i z MA2   dodatek k přednášce 24.2. 
  Pak ještě úvod k obyčejným lineárním diferenciálním rovnicím 2. řádu: dva příklady  - pohybové rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a harmonických kmitů hmotného bodu a odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; dále pak,  jak budeme aplikovat  "obecný návod" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu a formulace věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu. 
  
  
• Cvičení 5.3.2025 a 10.3.2025:
  Ještě k lineární algebře:  lineární zobrazení vektorových prostorů - opakování definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení).  Vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduchý příklad, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá.
  A třeba se hodí i příklady k přednášce z 24.2.2020 . 
  
  

2. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu a soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  (s konstantními koeficienty): 

• lineární diferenciální rovnice 2. řádu 
• řešení OLDR 2.řádu "obecně";
• OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - shrnutí viz OLDR 2.řádu - poznámky  z předloňského roku;
• řešené příklady (cvičení)

            Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady   
           
           A můžete se i podívat na  zápisy přednášek z MA2 - OLDR 2.řádu :  poznámky k přednášce 2.3.20 a i  k přenášce 4.3.20  zde ;  poznámky k přednášce 9.3.20  zde  .
           A snad se hodí i  "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
           Materiály pro MA2, ale i pro vás (jednodušší a vysvětlující): 
            OLDR 2.řádu - poznámky;  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část   . 

• soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu 
• soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - základní informace jsou ve druhé části přednášky  přednáška 11.3.20. - 2.část    a s příklady v přednášce přednáška 16.3.20 
• řešené příklady (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu 
  
  

Přednášky  a cvičení:

• Přednáška 11.3.2025:
  Obyčejné lineární diferencální rovnice druhého řádu - dva příklady (rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; dále aplikace "obecného návodu" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 a fundamentální systém řešení homogenní rovnice; návod k hledání fundamentálního systému řešení pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních) a jednoduché příklady řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty; řešení nehomogenní OLDR 2.řádu  metodou variace konstant a metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady. 
  K této přednášce se snad hodí shrnutí v  OLDR 2.řádu - poznámky  
  
  
•  Cvičení 12.3.2025 a 17.3.2025:
  Ještě k lineární algebře:  lineární zobrazení vektorových prostorů -  ještě příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení).  Vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduchý příklad, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá.
  Řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém řešení, obecné řešení homogenní rovnice; řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant, řešení počáteční úlohy. A podle toho, co probereme na přednášce, možná i odhad partikulárního řešení.  
  Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady 
  Řešené příklady zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část  . 
  
  Domácí úkol 2.:   dú 2 OLDR 2.řádu  a zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  , ale zadání prvního příkladu v dú 2 je nyní trošku lepší, než je uvedeno v  řešení, přidám i řešení těch příkladů "nových".
  
  
• Přednáška 18.3.2025:
  Obyčejné lineární diferencální rovnice druhého řádu - pokračování:  shrnutí "obecného návodu" (z lineární algebry) pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 a fundamentální systém řešení homogenní rovnice a odtud i návodu k hledání fundamentálního systému řešení pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních) a  příklady řešení  OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty homogenní i řešení nehomogenní OLDR 2.řádu  metodou variace konstant, dále i metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady.
  
  
• Cvičení 19.3.2025 a 24.3.2025: 
  Příklady řešení počátečních úloh pro OLDR 2. řádu s konstantními koeficiety,  Výpočet partikulárního řešení nehomogenní rovnic metodou variace konstant i úvodní úvahy o odhadu partikulárního řešení pro speciální pravé strany.
  Zadání příkladů, příklady řešené a zadání domácího úkolu dú2 je ve cvičení minulém.
  
  
• Přednáška 25.3.2025: 
  1. Stručné zopakování komplexních čísel a jejich vlastností, pak zavedení komplexní exponenciely a užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě
      komplexních kořenů charakteristické rovnice a při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice.
      A k tomu se snad hodí i  "písemná" přednáška z MA2 - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
  2. Počáteční úloha pro soustavu  lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty - řešení ukázáno na soustavě dvou lineárních rovnic 1. řádu.
      Základní informace jsou ve druhé části přednášky z MA2   přednáška 11.3.20. - 2.část  a  příklady v přednášce přednáška 16.3.20 
  
  
  
• Cvičení 26.3.2025 a 31.3.2025:
  Ještě řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - metoda odhadu partikulárního řešení, příklad užití komplexní exponenciely při řešení rovnice homogenní i při odhadu řešení partikulárního.
  Příklady řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu dvou OLDR 1.řádu.
  Příklady řešené (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu .
  
  

 

 3. Diferenciální počet vektorových  funkce jedné proměnné a funkcí (i vektorových) dvou a tří proměnných.

     Co bychom měli probrat:

• vektorové funkce jedné reálné proměnné
• shrnutí - definice, limita, spojitost, derivace; 
• příklady řešené (cvičení);
• další příklady a domácí cvičení  dú3   - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné;
  a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení).
  
  
• reálné funkce více (dvou a tří) proměnných - přehled základních "věcí", co je "dobré" znát
•  definice, definiční obory, limita (jen velmi stručně);
•  parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde ; 
• derivace složené funkce a  příklady k procvičení - zadání zde;
• funkce definované implicitně a příklady k procvičení (i extémů funkcí) - zadání  zde;
• extrémy funkce dvou proměnných.

        Domácí úkoly (domácí cvičení)  (pro procvičení a kontrolu, snad i jako zdroj dotazů): 
                  dú4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných;
                            a zde je   řešení 4. domácího úkolu - první část;  a  řešení 4. domácího úkolu - druhá část;
                  dú5 - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných;
                           a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
                  dú6 - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných 
                           a "moje" dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);  dú 6 - řešení 2.část (extrémy).

        A můžete se podívat  na zápisy přednášek pro MA2 na tato témata: 

•  úvod, vzdálenost v Rⁿ , příklady funkcí dvou proměnných vektorové funkce jedné proměnné - přednáška 18.3.20 (první část)  ,  přednáška 18.3.20 (druhá část) ;
•  limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;
•  funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.3.20.; derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20.;  
•  vektorové funkce více proměnných - přednáška 1.4.20. ;
•  funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
  extrémy funkcí dvou proměnných -  přednáška 15.4.20.

 

Přednášky  a cvičení:

• Přednáška 1.4.2025:
  Úvod k diferenciálnímu počtu vektorových funkcí jedné reálné proměnné - zavedení metriky v prostoru Rⁿ , pak limita, spojitost, derivace vektorové funkce jedné proměnné; derivace jako tečný vektor
  ke křivce, dané parametricky; jednoduché příklady. 
  Dále příklady reálných funkcí dvou a tří proměnných, jak si představit jejich definiční obory a grafy funkcí dvou proměnných. 
  A "písemná přednáška" z MA2:  přednáška 18.3.20 (první část)   -  vzdálenost v Rⁿ , příklady funkcí dvou proměnných, vektorové funkce jedné proměnné. Příklady jednoduchých vektorových funkcí          funkcí dvou a tří proměnných, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor;
  limita, spojitost, derivace vektorové funkce jedné proměnné.  Dále příklady reálných funkcí dvou a tří proměnných, jak si představit jejich definiční obory a grafy funkcí dvou proměnných.  
  A z bývalých přednášek z MA2 opět ještě   přednáška 18.3.20 (druhá část) .
  
  
• Cvičení 2.4. 2025 a 7.4.2025:
  Vektorové funkce jedné proměnné - jednoduché příklady vektorových funkcí jedné proměnné, limity, spojitost a derivace, užití vektorových funkcí jedné proměnné jako parametrizace křivek a k popisu trajektorie pohybu; dále úvodní příklady funkcí dvou a tří proměnných - definiční obory, intuitivně limita a spojitost.
  A uděláme později, bude-li čas ještě u OLDR 2.řádu užití komplexní exponenciály a několik jednoduchých příkladů řešení homogenní soustavy dvou OLDR 1. řádu s konstatntími koeficienty, souvislost soustavy dvou OLDR 1.řádu s OLDR  2. řádu. 
  Příklady a domácí cvičení  dú3  - opakování analytické geometrie, vektorové funkce jedné proměnné; a zde "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení). 
  Příklady ke cvičení: funkce více proměnných (i pro další cvičení) - definiční obory, limita, spojitost,  parciální derivace, diferencovatelnost funkce   zde .
  
  
• Přednáška 8.4.2025:
  Reálné funkce více proměnných - úvodem připomenutí metriky a  konvergence v  Rⁿ , pak intuitivně limita a spojitost funkce více proměnných v bodě.
  Ale odtud otázky - co je třeba upřesnit, v jakých bodech můžeme uvažovat limity a spojitost funkce více proměnných? A tak trošku o množinách bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný (limitní) bod množiny, hraniční bod množiny, množina otevřená, množina uzavřená, vnitřek množiny, hranice množiny, uzávěr.
  Pak definice limity a spojitosti reálné funkce několika proměnných, jednoduché příklady výpočtu limity funkce více proměnných; zopakování (ze cvičení) a upřesnění definice parciální derivace reálné funkce několika proměnných, příklady výpočtu parciálních derivací funkce; parciální derivace vyšších řádů, záměnnost smíšených parciálních derivací, příklady.
  Úvodní poznámky  "před"  definicí  funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných), pak definice funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných); funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá; gradient, rovnice tečné roviny ke grafu diferencovatelné funkce dvou proměnných a lineární aproximace reálné funkce dvou proměnných; má-li funkce dvou proměnných v bodě spojité obě parciální derivace 1.řádu, pak má v tomto bodě totální diferenciál; příklady. 
  Derivace funkce ve směru - definice, odvození vzorce pro výpočet derivace ve směru, význam gradientu funkce a jednoduché příklady. Derivace složené funkce více proměnných , kde vnitřní vektorová funkce je funkce jedné proměnné - "řetízkové pravidlo". Pak odvození pravidla pro parciální derivace  složené funkce více proměnných (kde též vnitřní funkce jsou funkce více proměnných). Jednoduché příklady.
  A "písemné přednášky" z MA2 : 
  limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;  
  funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.3.20.;
  derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20. .
  A jako pomůcka - řešené "domácí úkoly" (viz následující cvičení).
  
  
• Cvičení 9.4.2025 a 14.4.2025 - plán:
  Opakování dosud probraných pojmů u funkcí více proměnných (dle dotazů posluchačů), pak výpočet parciálních derivací funkcí dvou a tří proměnných, totálního diferenciálu funkce a jeho užití k lineární aproximaci funkce, rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných. Dále definice a příklady výpočtu a aplikací derivace ve směru, pak formulace vzorce pro derivování složené funkce více proměnných (řetízkové pravidlo) a příklady užití řetízkového pravidla.
  Příklady ke cvičení:
  parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde ;
  derivace složené funkce a  příklady k procvičení - zadání zde;
  Domácí úkoly : (i jako pomůcka (pro "domácí cvičení") 
  RMA1 dú4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4.dú - první část  a  řešení 4.dú - druhá část 
  RMA1 dú5 - diferencovatelnost, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
  
  
• Přednáška 15.4.2025 - plán:
  Připomenutí dosud probraných pojmů u funkcí více proměnných, derivace funkce ve směru a derivace složené funkce více proměnných (řetízkové pravidlo), kde vnitřní vektorová funkce je funkce jedné proměnné. Pak odvození pravidla pro parciální derivace  složené funkce více proměnných (kde též vnitřní funkce jsou funkce více proměnných).
  Dále úvodní vysvětlení, co je funkce implicitně definovaná rovnicí F(x,y) = 0, a proč je užitečné něco znát o funkcích definovaných implicitně, pak formulace věty o implicitní funkci jedné proměnné; dále implicitně definovaná funkce dvou proměnných a též věta o implicitní funkci dvou proměnných; výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně.
  Stručně o extrémech funkcí dvou proměnných, jednoduché příklady.
  A ještě znovu vhodné "písemné přednášky" z MA2 :   
  derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20. .
  funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
  extrémy funkcí dvou proměnných -  přednáška 15.4.20.
  
  

 

4. Dvojný a trojný integrál:

• připomenutí definice, existence a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné
• dvojný integrál Riemannův
  •  dvojný integrálu "přes" obdélník - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast a opět - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta; substituce do polárních souřadnic;
    a výběr příkladů k procvičení  zde
• trojný integrál Riemannův 
• trojný integrál - definice, aplikace, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta pro integrál trojný;
• substituce - souřadnice válcové a sferické;soubor ukázkových řešených příkladů "místo" cvičení;
  a výběr příkladů k procvičení  zde 

         Domácí úkol (domácí cvičení):  (opět pro procvičení a kontrolu, a i jako zdroj dotazů):
                   dú7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení
                   dú8 - integrál trojný (výpočet a aplikace) a "moje" řešení  dú 8 - řešení

         A přednášky pro MA2 - snažila jsem se zde o "srozumitelnost", tak snad mohou pomoci i v RMA1:

• opakování R - integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník  - přednáška 20.4.20 ;  a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů  zde  ;
• dvojný integrál přes měřitelnou oblast  - přednáška 22.4.20. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4.20.         
• trojný integrál - přednáška 29.4.20.  a  substituce do válcových, resp. sférických souřadnic - přednáška 4.5.20 - 1.část 

 

5. Křivkový integrál:

• křivkový integrál skalární funkce
  • definice křivky v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
  • příklady aplikací  a výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
     
• křivkový integrál vektorové funkce 
  • definice, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce; 
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál;
  • nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole;
• výběr příkladů k procvičení  křivkových integrálů  zde 

         Domácí úkol (domácí cvičení):
                   dú9 - křivkový integrál a  "moje" řešení  dú 9 - řešení

         A přednášky pro MA2  - snad se hodí i pro RMA1:

• úvod ke křivkovému integrálu přednáška 4.5.20 - 2.část; definice křivky, křivkového integrálu skalární funkce; 
• křivkový integrál funkce vektorové -  přednáška 6.5.20. ;  potenciální vektorová pole, potenciál -  přednáška 11.5.20.
  

6. Nevlastní Riemannův integrál.

7. Nekonečné řady.