Matematika A1, ZS 2013/14

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348

Moodle

Sylabus a literatura - SIS

Požadavky ke zkoušce

Ukázka zkouškového testu

Některé vhodné texty, přístupné na internetu:

A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT zde
D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 zde
J. Veselý: Základy matematické analýzy I zde
Texty z VŠB-TUO
Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý; L.Hermann; R.Mařík

Příklady můžete čerpat také zde:

N.Krylová, M.Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky.
VŠCHT - Mgr.L.Heřmánek a kol.: Sbírka příkladů z matematiky I
Sbírka KAM MFF UK .
EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
Sbírka VŠB Ostrava.
VUT Brno.

Přednáška - pondělí 8:10 - 9:40 a středa 11:30 - 13:00.
Konzultační hodiny: pondělí 9:45 - 10:30 v CH8, středa 10:00 -11:00 v mé pracovně a podle potřeby také po přednášce 13:00 - 13:50 v CH1, nebo i jindy po dohodě.
Konzultační hodiny ve zkouškovém období: v pondělí 13.1., 20.1., 27.1., 3.2. - 10:00-12:00 v posluchárně CH7, v pátek 7.2. 15:00-17:00 v CH7, nebo po dohodě.

2.10.2013 :
- Úvod - proč studovat matematiku, matematika jako jazyk přírodních věd (Galileo Galilei, Issak Newton, Gottfried Leibniz);
  hezké čtení:
    Alfred Rényi: Dialogy o matematice
      John.D.Barrow: Pí na nebesích (O počítání, myšlení a bytí)
      Keith Devlin: Jazyk matematiky (Jak zvládnout neviditelné)
- Stručně o obsahu přednášky - čím se zabývá matematická analýza a lineární algebra, jejichž základy budeme studovat.
- Jak je výuka organizována - přednáška, cvičení, konzultace; o zápočtu a zkoušce.

7.10.2013 :
Ještě několik poznámek k obsahu přednášky - trošku podrobněji, čím se budeme zabývat v lineární algebře a také poznámky o "záludnosti" limit a nekonečna .Dále , co je třeba dobře znát ze středoškolské matematiky - stručné připomenutí těch partií, které budeme potřebovat (podrobněji na cvičeních):
- jazyk matematiky - výrok, definice, matematická věta a její důkaz, metody důkazů;
- základní poznatky z množinového počtu;
- číselné obory N, Z, Q a R;
- reálná funkce jedné reálné proměnné - základní pojmy:definiční obor a obor hodnot funkce; funkce lichá, sudá, periodická, monotonní; funkce prostá a funkce inverzní k prosté funkci; funkce složená; grafy funkcí; elementární funkce;
- R podrobněji - supremun a infimum podmnožiny v R, vzdálenost v R, okolí bodu v R;

9.10.2013 :
Kvantifikárory, příklady jejich užití.
Zobrazení obecně, zobrazení prosté a "na" množinu, inverzní zobrazení.
Posloupnost; limita posloupnosti :

nejprve intuitivně limita jednoduchých posloupností ( {1/n}, {(n+1)/n},geometrické posloupnosti apod.);
příklady posloupností, jejichž limita "není vidět";
pojem posloupnost konvergentní, resp.divergentní; definice vlastní a nevlastní limity posloupnosti a příklad - dle definice důkaz nulovosti limity posloupnosti {1/n} a posloupnosti { 1, 3/2, 1/3, 3/4, 1/5, 3/6, 1/7, 3/8, .....}.
přehled základních limit posloupností;
aritmetika limit posloupností (tj. pravidla pro výpočet limit), neurčité výrazy ( tj. na co pravidla nejsou); věta o limitě sevřené posloupnosti; příklady výpočtu limit, co "dělat" s " neurčitými výrazy"

14.10.2013 :
- posloupnost konvergentní, resp.divergentní; definice vlastní a nevlastní limity posloupnosti a příklad - dle definice důkaz nulovosti limity posloupnosti {1/n} a posloupnosti { 1, 3/2, 1/3, 3/4, 1/5, 3/6, 1/7, 3/8, .....}.
- přehled limit základních posloupností;
- věta o limitě vybrané posloupnosti; jak lze ukázat, že daná posloupnost limitu nemá, příklady;
- věta o limitě sevřené posloupnosti;
- aritmetika limit posloupností (tj. pravidla pro výpočet limit), neurčité výrazy ( tj. na co pravidla nejsou);
16.10.2013 :
- dokončení aritmetiky limit posloupností ; neurčité výrazy ( tj. na co pravidla nejsou);
- příklady výpočtu limit;
- limita monotonní posloupnosti (poznámka o supremu a infimu podmnožiny R) ; příklady užití;
21.10.2013:
- jak se "vypořádat" s limitou posloupnosti a jak limity počítat - shrnutí toho, co jsme si o limitě posloupnosti řekli;
- stručně o nekonečných řadách, jednoduché příklady;
- limita funkce - intuitivně .
23.10.2013:
- limita funkce - dokončení úvodního příkladu ( limity funkce f(x)=exp(1/x) ); pokus - limity funkce a graf funkce;
- definice vlastní, resp. nevlastní limity ve vlastním , resp.nevlastním bodě - formulace , jak se "dojde" k definicím, jednoduché příklady; jednostranné limity;
- spojitost funkce v bodě ;
- jak se ukáže pomocí jednostranných limit, že funkce v daném bodě limitu nemá, nebo že v daném bodě není spojitá.
28.10.2013:
Státní svátek.
30.10.2013:
- Heineho věta a jak se užije k důkazu , že funkce v daném bodě limitu nemá, nebo že v daném bodě není spojitá;
- "pravidla" pro výpočet limit - 1. věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu; 2. aritmetika limit; limita složené funkce; 3. "neurčité výrazy" - jak na ně;
- příklady výpočtu limit;
- definice derivace funkce v bodě ;
  několik (pro výpočet derivací) základních limit - užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu limit funkcí sin x / x, ln(1+x) / x, ( exp x - 1 ) / x v bodě x₀=0.
4.11.2013:
- limity a spojitost elementárních funkcí ( tahák pro výpočet limit); funkce cyklometrické;
- spojitost součtu, součinu a podílu funkcí, spojitost složené funkce a funkce inverzní;
- další příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a složených funkcí;
- užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu limity funkce lnx / (x-1) v bodě x₀=1 ( tedy i limita ln(1+x) / x v bodě x₀=0) , odtud limita funkce ( exp x - 1 ) / x v bodě x₀=0;
6.11.2013:
- příklady výpočtu derivace; derivace inverzní funkce a pak odvození derivací cykometrických funkcí;
- připomenutí definice derivace funkce v bodě, derivace jako funkce, a pak odvození derivací elementárních funkcí;
- pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu a podílu funkcí, derivace funkce složené;
- věta o souvislosti vlastní derivace a spojitosti funkce;
- příklady výpočtu derivace.
11.11.2013 :
- užití derivace funkce v bodě - tečna ke grafu funkce, diferenciál funkce; lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; příklady;
- derivace vyšších řádů;
- užití derivace při vyšetřování vlastností funkce - souvislost znaménka derivace a monotonie funkce v intervalu; lokální extrém funkce, nutná podmínka lokálního extrému, postačující podmínky pro lokální extrém; užití derivace druhého řádu při vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body).
13.11.2013:
- ještě k užití derivace funkce v bodě - tečna ke grafu funkce, diferenciál funkce;
- pokus o vyšetření funkce f(x)= x² e^-x , co "umíme" a co ne;
- l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí; příklady užití l´Hospitalova pravidla.
18.11.2013:
- užití derivace při vyšetřování vlastností funkce v intervalu - souvislost znaménka derivace a monotonie funkce v intervalu; lokální extrém funkce, nutná podmínka lokálního extrému, postačující podmínky pro lokální extrém; užití derivace druhého řádu při vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body);
- shrnutí vyšetřování průběhu funkce, doplnění o asymptoty grafu; příklady : dokončení vyšetření funkce f(x)= x² e^-x , dále průběh funkce f(x)= x³/(x-2)² a f(x)= exp(1/x).
- vyšetřování globálních extrémů funkce, příklady ;
- Lagrangeova věta o střední hodnotě a její důsledky - důkaz věty o souvislosti znaménka derivace a monotonie funkce na intervalu; "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech;
20.11.2013 :
- Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a a Taylorova věta;
- chování zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, Lagrangeův tvar zbytku;
- příklad - Taylorův polynom n-tého stupně v bodě a=0 funkce exp(x); odhad chyby v aproximaci exp(1).
25.11.2013 - plán:
- Vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, limita, spojitost, derivace, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky.
- Reálná funkce dvou a tří proměnných - příklady, stručné seznámení se základními pojmy - definiční obor, limita, spojitost, parciální derivace; odvození rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných v bodě (x₀,y₀, f(x₀,y₀) ) a lineární aproximace funkce f v okolí bodu (x₀,y₀) , má-li daná funkce v bodě (x₀,y₀) spojité parciální derivace; totální diferenciál, gradient funkce.
27.11.2013:
- Úvod do integrálního počtu : příklady užití "antiderivování" - odvození vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu, harmonických kmitů; souvislost "antiderivování" s "plochou" pod grafem funkce;
- definice primitivní funkce k dané funkci , přehled základních primitivních funkcí.

věta o existenci primitivní funkce (bez důkazu), množina primitivních funkcí k dané funkci na intervalu, spojitost primitivní funkce, neurčitý integrál;
věty o integraci součtu funkcí a násobku funkce; integrace per partes; věty o substituci v neurčitém integrálu; příklady.

2.12.2013:
- ještě příklady užití integrace partes;
- formulace věty o substituci v neurčitém integrálu, druhý způsob užití věty o substituci, příklady;
- integrace racionálních funkcí - úvodní poznámky (příklad, kde po substituci dostaneme integrál z raionální funkce);
4.12.2013:
- integrace racionálních funkcí - rozklad racionální funkce na jednoduché zlomky, integrace jednoduchých zlomků, příklady;
- integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních;
9.12.2013:
- diferenciální rovnice prvního řádu,počáteční úloha; jednoduché příklady;
- rovnice se separovatelnými proměnnými, obecné řešení, řešení počáteční úlohy; kdy nastávají "skluzy" řešení; příklady;
- lineární diferenciální rovnice 1.řádu - úvodní poznámky
11.12.2013:
- o aplikaci diferenciálních rovnice prvního řádu,další příklady;
- poznámky k metodě separace proměnných; příklady;
- lineární diferenciální rovnice 1.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy( bez důkazu); rovnice bez pravé strany; řešení rovnice s pravou stranou metodou variace konstant; příklady.
16.12.2013:
- diferenciální rovnice 1.řádu - směrové pole diferenciální rovnice, izokliny; příklady;
- počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - jen stručně, jak se dá úloha řešit, jednoduché příklady.
- určitý integrál - problémy, vedoucí k definici integrálu Riemannova , definice Riemannova integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence;
  Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;
18.12.2013:
- určitý integrál - opakování definice Riemannova integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence;
  Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;
  základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita,odhady; věta o střední hodnotě integrálního počtu;
- integrace per partes a substituce v případě určitého integrálu;
- integrál s proměnnou horní mezí a základní věta analýzy; poznámka o Newtonově integrálu; Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu.
- aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady; fyzikální aplikace - velikost dráhy pohybu při proměnné rychlosti, práce proměnné síly.
- úvod k poslední části probírané látky - čím se zabývá lineární algebra;
18.12.2013 (prodloužená přednáška pro zájemce):
- počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - jen stručně, jak se dá úloha řešit, jednoduché příklady.
6.1.2014 - plán:
- soustavy lineárních rovnic - na příkladech Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy; příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení;
- na jednoduchém příkladu odvození zápisu soustavy pomocí násobení matice vektorem ( a pak definice násobení matice a vektoru, násobení matic); nalezení řešení soustavy ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a tedy nalezení inverzní matice ke čtvercové matici a pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
- nakonec obecné shrnutí toho, co bylo ukázáno na příkladech - definice uvedených pojmů a otázky, týkající se řešitelnosti rovnic;
- vektorový prostor, spec. n-rozměrný aritmetický prostor Rⁿ, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů, base a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k basi, base a dimense prostoru Rⁿ;
8.1.2013: - plán:
- ještě matice - sčítání a násobení matic. ekvivalentní úpravy matice, hodnost matice, regulární a singulární čtvercová matice;
- Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;
- lineární zobrazení R_n do R_ma jeho vyjádření pomocí matice;
- determinant čtvercové matice - definice a vlastnosti, rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce, výpočet determinantu;
- Cramerovo pravidlo pro řešení čtvercové soustavy rovnic.

Cvičení - pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

limita a spojitost funkce
průběh funkce - několik řešených příkladů
neurčitý integrál
diferenciální rovnice

Cvičení - paralelka 05 a 06

2.10.2013 : Informace o cvičení, podmínky pro získání zápočtu - účast na cvičeních ( 4 absence mohou být neomluvené); vypracování domácích úkolů v dohodnutém termínu;
    získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru.
          Opakování středoškolské matematiky -  výběr příkladů - opakování 1  a opakování 2 .
domácí úkol :   1.a  nebo 1.b
7.10.2013 : Ještě opakování - funkce a jejich vlastnosti, absolutní hodnota, řešení rovnic a nerovnic (příklady z minulého cvičení) .
9.10.2013 : Stále ještě opakování - příklady ze cvičení 1 .
14.10.2013 : Ještě opakování - analytická geometrie ( počítání s vektory, vyjádření přímky, rovnice roviny, rovnice kružnice); limita posloupnosti - úvodní příklady .
domácí úkol : du - analytická geometrie
21.10.2013: Ještě opakování - problémy, které se objevily při řešení domácích úkolů; analytická geometrie - zvláště skalární a vektorový součin vektorů, vyjádření přímky v rovině i v prostoru, rovnice -i parametrické vyjádření roviny.
23.10.2013: Stále ještě opakování; limita posloupnosti; limita funkce.
28.10.2013: Státní svátek.
30.10.2013: Limita posloupnosti, limita funkce - příklady .
domácí úkol : du - limita funkce
4.11.2013: ještě počítání limit funkcí - příklady z minulého cvičení .
6.11.2013: ještě limity funkcí, dále pak výpočet a užití derivací - výběr příkladů : derivace funkce, užití derivace .
domácí úkol: du - derivace funkce a některé aplikace derivace
11.11. a 13.11.2013: derivace funkce - příklady viz minulé cvičení.
18.11.2013: test z výpočtu limit; užítí derivace funkce - rovnice tečny, užití diferenciálu, lineární aproximace funkce, L´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit .
20.11.2013: užití derivace - ještě L´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit , Taylorův polynom.
domácí úkol: du - průběh funkce
25.11.2013 : Průběh funkce a ještě Taylorův polynom, bude-li třeba. příklady viz. předchozí cvičení. Vektorové funkce jedné proměnné.
27.11.2013: Neurčitého integrál - základní jednoduché úlohy.
2.12.2013: Test - derivace; neurčitý integrál -integrace per partes i pomocí substituce.
4.12.2013: Integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce.
domácí úkol: du - neurčitý integrál
9.12.2013: Ještě výpočet integrálů ; diferenciální rovnice - jednoduché příklady na metodu separace proměnných.
11.12.2013: Neurčitý integrál - další příklady, pokud bude třeba; diferenciální rovnice 1.řádu - rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1.řádu.
domácí úkol: du - diferenciální rovnice
16.12.2013: Lineární diferenciální rovnice 1.řádu.
18.12.2013: Určitý integrál - výpočet, aplikace.
Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
6.1.2014: Aplikace určitého integrálu; řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou;
8.1.2014: Lineární algebra : vektorový prostor, závislost a nezávislost vektorů, báze; matice, inverzní matice; determinant matice .
                     lineární algebra - nepovinný domácí úkol ( výběr příkladů, které byste měli zvládnout)