Matematika na dubu

Matematická analýza pro informatiky 2 - ZS 2025/26

Cvičení k přednášce Matematická analýza 2  (NMAI055)
    (přednáší  prof. RNDr Aleš Pultr, DrSc)

Paralelka 03 - středa  15:40 - 17:10  v S10 

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz
SOS linka :  mobil 604 268 425

Stránka k přednáškám profesora Pultra v ZS 2020/21  zde
Sylabus a základní literatura  - SIS
 
Další vhodná  literatura:
  • A. Pultr: Skripta z matematické analýzy zde ; pokračování skript  zde  a ještě dále  zde  .
  • V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu;
  • skripta k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
  • FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných  - skripta jsou dostupná na stránce docenta Tišera zde.
  • FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných - skripta jsou dostupná na stránce docenta Tišera zde. 
Mnoho dalších příkladů můžete také najít
 
Pro opakování základních důležitých partií z Matematické analýzy 1 třeba poslouží (moje) cvičení z MA1 z LS 2019/20 ,  odkaz  zde  .

A třeba by se mohlo i hodit podívat se na stránky 

Konzultační hodiny během semestru:
    Konzultační hodiny: (zatím návrh) středa před cvičením na chodbě v 1. poschodí nebo ve 2.poschodí před KAM asi od 14:50, nebo též  po cvičení.
    Konzultovat můžeme i jindy "po dohodě" (osobní, emailem, telefonem).

Podmínky zápočtu - návrh (upřesníme na prvním cvičení):
      1.  Odevzdání aspoň sedmi domácích úkolů z těch, co budou zadány ke cvičením. 
      2.  Aspoň polovina bodů ze dvou zápočtových testů (nebo z jednoho testu závěrečného) - ještě dohodneme.

Příklady, probírané na cvičeních:

  • 1. cvičení (1.10.2025)  
    Úvodem návrh "organizace" cvičení (zvláště "sladění"cvičení s přednáškou), návrh konzultací a podmínky zápočtu; pak připomenutí, "o čem byla" Matematická analýza 1, opakování některých důležitých pojmů z MA1.
    Dále metrické prostory -  připomenutí definic základních pojmů: metrika, příklady metrik v prostorech Rn , spec. v R2 ; vlastnosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru,  příklady limit posloupností v prostorech Rn a zopakování, co jsou hromadné body množiny, hraniční body, uzávěr množiny a příklady k procvičení těchto nových pojmů.
    Výběr příkladů:  
        metrické prostory zde  - i k promyšlení a přípravě na příští cvičení.  
    Domácí úkol: 
         dú 0 - opakování MA1    "dobrovolný"  (ukázkový zápočtový test z MA1)
        (Domácí úkol můžete poslat e-mailem do pondělního rána (6.10.), pokud ho budete chtít mít "opravený" do příštího cvičení, nebo na příštím cvičení pak odevzdat.
         Ale můžete si opakovat  MA 1 i "pomaleji"  a  úkol odevzdat i později.)
        dú 1 - metrické prostory 
        (Tento domácí úkol můžete poslat emailem do pondělí 6.10., bude pak snad opravený do následujícího cvičení, nebo úkol pak můžete odevzdat na cvičení 8.10..
         A pokud budete mít nějaké otázky k řešení, probereme je na cvičení a úkol pak můžete vyřešit a poslat později.)

  • 2. cvičení (8.10.2025):
    Ještě pokračování opakování  metrických prostory, i dle přání posluchačů -  připomenutí definic základních pojmů: metrika, příklady metrik v prostorech Rn , spec. v R2 ; vlastnosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru, uzávěr množiny; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru,  příklady limit posloupností v prostorech Rn .
    Příklady z minulého cvičení.
    Dále reálné funkce více proměnných  ( f : Rm → R )  - opakování základních pojmů: definiční obor funkce, limita, spojitost funkce, na konci cvičení jen ukázka výpočtu parciálních derivací a připomenutí definice totálního diferenciálu funkce a jeho významu. 
    Výběr příkladů: 
         funkce více proměnných 1  (i pro cvičení 3)
    Domácí úkol:   
         dú2 - funkce více proměnných 1 , ale protože jsme neprobrali vše, zkuste si udělat  první dva příklady, výpočet parciálních derivací si tak zkuste sami. Další příklady z dú2 necháme ještě jako domácí úkol z příštího cvičení.

  • 3. cvičení (15.10.2025):
    Funkce více proměnných - výpočet limit, vyšetření spojitosti, výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Dle přání pana profesora, jsme si uvedli definici, existenci a užití diferenciálu funkce jedné proměnné, a dále jsme zopakovali definici toho, že funkce více proměnných má totální diferenciál, nutné a postačující podmínky pro "míti totální diferenciál", a příklady vyšetření existence TD funkce více proměnných. 
    Výběr příkladů: 
          Příklady z minulého cvičení funkce více proměnných 1   funkce více proměnných 1  , a i pro příští cvičení   funkce více proměnných 2.
    Domácí úkol: 
         Zůstává ještě   dú2 - funkce více proměnných 1  a můžete, chcete-li, řešit i "dobrovolný" domácí úkol 3:  dú 3 - funkce více proměnných 2 .

  • 4. cvičení (22.10.2025):
    Poznámky k řešení dú1 i dú2. Dále ještě výpočet limit, vyšetření spojitosti, výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů) funkcí více proměnných; příklady vyšetření existence TD funkce více proměnných. Nestihli jsme "počítání" s vektorovými funkcemi více proměnných a výpočet derivací složených funkcí více proměnných (řetězové pravidlo). 
    Domácí úkol: 
         Můžete ještě promýšlet "dobrovolný" domácí úkol 3:  dú 3 - funkce více proměnných 2 , další, 4.domácí úkol,  je zadán v příštím cvičení.

  • 5. cvičení (29.10.2025):
    Poznámky k řešení domácích úkolu dle případných dotazů posluchačů. Dále nalezení vzorce pro derivaci ve směru v bodě, kde má daná funkce totální diferenciál a odtud  výpočet derivace ve směru. Příklad výpočtu parciálních derivací (i vyšších řádů) složených funkcí užitím "řetězového pravidla". Opakování věty o implicitní funkci jedné proměnné a úvodní příklad aplikace této věty (k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně).
    Výběr příkladů:
         Funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  (i pro příští cvičení).
         A  zde je několik řešených příkladů: funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
    Domácí úkol:   
          dú 4 - funkce více proměnných 3  -  příklad 3, zkuste i příklad 4. , z příkladu 3. si, prosím, promyslete a sepište derivace aspoň dvou složených funkcí z těch v příkladu zadaných.
          A můžete už zkusit řešit i  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 19.11. .

  • 6. cvičení (5.11.2025) - plán:
    Ještě příklad výpočtu parciálních derivací (i vyšších řádů) složených funkcí užitím "řetězového pravidla". Limita, spojitost, parciální derivace i totální diferenciál funkcí f : Rm → Rn a "řetězové pravidlo" pro tyto funkce. Příklady užití věty o implicitní funkci jedné i více proměnných. Existence a vyšetření lokálních i globálních extrémů funkce  - úvodní příklady u funkcí dvou proměnných. Pokračovat ve vyšetřování extrémů funkcí více proměnných budeme na příštím cvičení. 
    Výběr příkladů:
            Příklady vyšetřování funkcí, definovaných implicitně, jsou v minulém cvičení, a dále, i pro další cvičení  - funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)   zde  .
        A několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
    Domácí úkol:   
          Zůstává  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do cvičení  19.11.;  
          a můžete  "dobrovolně"  zkusit třeba i  dú6 - funkce více proměnných 5   - tento "dobrovolný" úkol bude opět "počítán" (první příklad jsme vyřešili na cvičení), 
          a dále  můžete řešit i   dú7  - funkce více proměnných 6   - stačí odevzdat do  cvičení 26.12. .
          A další domácí úkol je  dú 8 - extrémy funkce   ,  tento úkol stačí odevzdat do (nebo na) cvičení 3.12. .