Matematika A2, LS 2020/21

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz 

SOS linka :  mobil 604 268 425

Sylabus a literatura  -  SIS

Konzultační hodiny:  zatím online (pomocí Google Meet) po dohodě.
Navíc, v úterý 8:10 - 9:40 se koná online (z posluchárny G1 (budova Albertov6)) Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování, a dle potřeby i ujasnění, látky, 
probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím. Náměty a otázky posluchačů jsou vítány.

Zkoušky : 

• Požadavky ke zkoušce z MA2  - zde  ( pdf )
  
• Ukázkové příklady zkouškového  testu  - zde  ( pdf ) 
  
• Ukázkový test   zde  ( pdf )  a řešení příkladů z ukázkového testu  zde

 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Mocninné a Fourierovy řady  zde

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

 

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2018/2019:
Příklady z lineární algebry 1 ;  Příklady z lineární algebry 2 ;  Cvičení-komplexní čísla.    OLDR 2.řádu a soustavy OLDR 1.řádu. ;  
Funkce více proměnných 1.  ;  Funkce více proměnných 2. ;  Funkce více proměnných 3.  ;   Dvojný integrál  ;   Trojný integrál ;  Křivkový integrál 1. ;  Křivkový integrál 2. 
a do "budoucna" jsou zde  i  Nevlastní integrál  a  Nekonečné řady .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2018/2019 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky): 

Dú1 - lineární algebra 1 ;  Dú2 - lineární algebra 2 ;   Dú3 - koplexní čísla ;   Dú4  - OLDR 2.řádu ;  Dú 5 - soustavy OLDR 1.řádu;  1."domácí" zápočtový test  ; 
Dú 6 - vektorové funkce jedné proměnné, definiční obory funkcí dvou proměnných a  Dú 7 - diferenciální počet funkcí více proměnných 1;  Dú 8 (derivace složené funkce); 
Dú 9  (funkce, definované implicitně);  Dú 10 (extrémy funkcí dvou proměnných);  Dú11 (dvojný a trojný integrál);  Dú 12 (křivkový integrál);  Dú 13 (nevlastní integrály) ; 
Dú 14 (nekonečné řady). 

 

Přednáška (zatím stále online) -  pondělí 10:40 - 12:10  a středa 8:10 - 9:40 :  

•  1.3.2021:

  • úvod - o obsahu přednášky z Matematiky A2;
  • lineární algebra podruhé - shrnutí a zopakování základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1;
  • lineární zobrazení vektorových prostorů a  lineární rovnice  - úvodní myšlenky;
  • soustavy lineárních rovnic  - zápis soustavy rovnic pomocí násobení matice a "vektoru neznámých" jako příklad "obecné" lineární rovnice;  řešení soustavy užitím inverzní matice - příklad inverzního zobrazení.
•  3.3.2021: 
•  připomenutí definice a vlastností vektorového (lineárního) prostoru a i připomenutí příkladů "pro nás" užitečných vektorových prostorů;
• definice lineárního zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení;
• příklady lineárních zobrazení;
• obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech;
•  8.3.2021:
• ještě řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech; jako příklad - připomenutí tvaru řešení lineární diferenciální rovnice 1.řádu;
• L(x) = A x, kde A je matice typu (m,n) a x je vektor z Rⁿ , je lineární zobrazení Rⁿ do R^m , a tedy  - soustava m lineárních rovnic pro n neznámých je lineární rovnice ve vektorových  prostorech Rⁿ do R^m
• příklady zobrazení L(x) = A x, na těchto příkladech ukázána souvislost vlastností tohoto zobrazení s vlastnostmi příslušné matice A;
• a další příklad lineárního zobrazení v Rⁿ - výpočet souřadnic vektoru z Rⁿ vzhledem k "nové" bázi v Rⁿ . 
• 10.3.2020 se přednáška nekonala, náhradní přednáška byla odpoledne 17.3. . 
• 15.3.2021:
• další velmi "užitečný" příklad lineárního zobrazení v Rⁿ -  vyjádření  souřadnic vektoru z Rⁿ vzhledem k "nové" bázi v Rⁿ ; 
• lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení;
• jako příklad -  nalezení matice "otočení" rovinného vektoru  o daný úhel; daného lineárního zobrazení Rⁿ do R^m ;
• souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení );
• příklady vyšetření vlastností lineárních zobrazení Rⁿ do R^m .
• 17.3.2021:
• vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  
• "návod" pro  výpočet vlasních čísel matice;
• a  příklady -  jen reálná vlastní čísla a navzájem různá.
• 17.3.2021  - náhradní přednáška za 10.3.:
• a speciálně - má-li čvercová matice A řádu n vlastní čísla λ_i , i = 1,....n,  reálná a navzájem různá, pak vlastní vektory v_i , příslušné k λ_i , i = 1,....n, tvoří bázi Rⁿ ; a Λ matice tohoto zobrazení;
• lineární rovnice druhého řádu - dva příklady  ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů),  odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
• lineární rovnice druhého řádu  - "obecný návod"  pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic ).
  K této i následující přednášce se hodí poznámky a příklady z LS 2019/20 k přednášce MA2 2.3.20  zde  (zde jsou ještě příklady i k poslední části LA).
• 22.3.2021:
• aplikace "obecného návodu" pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení homogenní rovnice;
• řešení nehomogenní rovnice metodou  variace konstant;
• návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních).
  K této a i příští přednášce se opět "hodí" poznámky a příklady z 2.3.2020  zde . 
• 24.3.2021:
  • opakování a shrnutí "návodu na řešení OLDR 2.řádu;
  • řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty  a s nulovou pravou stranou -  jednoduché příklady pro všechny tři případy řešení charakteristické rovnice, tj. kdy charakteristická rovnice má dva  různé reálné kořeny, resp. dvojnásobný kořen , resp. kořeny komplexní); 
  • OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty -  příklad výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant;
  • úvodní příklad k metodě odhadu partikulárního řešení pro jednoduchou pravou stranu, a odtud odtud i úvodní úvahy o metodě odbadu partkulárního řešení. 
    K této přednášce a i k přednášce následující se "hodí" poznámky k loňské přenášce (s příklady) ze 4.3.20   zde   .
• 29.3.2021:
• metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), obecně a pak příklady; 
  a poznámky k přednáškám o OLDR 2.řádu - OLDR 2.řádu - poznámky,  které by mohly třeba také pomoci v pochopení způsobu řešení OLDR 2.řádu ("uděláno" diky dotazu vašeho kolegy z loňského LS).
  A navíc shrnutí - "domácí cvičení" z lineáních diferenciálních rovnic 2.řádu -  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu , řešení 1.část  , řešení 2.část  .
• opakování základních poznatků o komplexních číslech - úvodní poznámky.
  A omlouvám se za to, že jsme kvůli technickým problémům v posluchárně CH1 neprobrali, co bylo plánováno, snad to "doženeme".
• 31.3.2021:
• opakování základních poznatků o komplexních číslech;
• komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; 
• zavedení komplexní exponenciely;
• užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice;
• příklady užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice - viz písemná ;
• užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklad.
  Loňská "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.  
• 7.4.2021 - přednáška měla být  místo středy 7.4. v úterý 6.4. v 10:40. , ale konala se i středeční přednáška , kde byla látka z úterní přednášky shrnuta, a doplněna dalšími příklady. 
• soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
• počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - formulace problému , maticový zápis soustavy, "návod" k řešení ;
• jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
• počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; příklady;
• a dále jen stručně: o řešení soustavy OLDR 1.řádu v případě vícenásobných a komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladech řešení soustav dvou lineárních rovnic1.řádu; o metodě variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy;
• převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu  a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu;
  Písemné poznámky k přednášce z 11.3.20 (původně k přednášce 9.3.20): přednáška 11.3.20. - 2.část   - úvod k řešení soustav diferenciálních rovnic 1.řádu s konstantními koeficienty a zápis první části loňské přednášky - přednáška 16.3.20 , a k této přednášce bylo přidáno několik řešených příkladů  - příloha k přednášce 16.3.20.  
  Další řešené příklady soustav lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  -  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu 
• 12.4.2021:
  Přednáška bude k dispozici v rozvrhovaném čase, ale bude v sobotu odpoledne od 13:30 a nahrána, pokud byste chtěli přednášku sledovat. 
• úvod do diferenciálního počtu vektorových funkcí  jedné proměnné, reálných funkcí více proměnných (obecně vektorové funkce více proměnných z Rⁿ do R^m ), "definice" a příklady těchto funkcí;
• příklady vektorových funkcí jedné proměnné; 
• reálná funkce dvou a více  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor;  jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných. 
   "Písemná" přednáška (LS 2019/20):  přednáška 18.3.2020 (první část)   a  přednáška 18.3.2020. (druhá část) .  
  A třeba by se mohla hodit i "pomůcka" pro Rozšíření MA1 (pro biochemiky) - řešené příklady:
  RMA1 dú 3  ( pdf ) - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu (i s návody a vysvětlením).
• 14.4.2021:
  • prostory Rⁿ (spec. R² a R³ ) -  připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin) a pak hlavně  euklidovský prostor Rⁿ (Eⁿ) - velikost ( norma) vektoru,  euklidovská vzdálenost v prostorech Rⁿ ;
  • vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice limity, dále spojitost a  derivace vektorové funkce, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady.
  • množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod množiny;  
  • limita a spojitost reálné funkce několika proměnných - definice.
    "Písemná" přednáška (LS 2019/20):   přednáška 18.3.2020. (druhá část)   a  přednáška 23.3.2020. 
• 19.4.2021:
• limita a spojitost reálné funkce několika proměnných - připomenutí definice, dále aritmetika limit a spojitosti, limita a spojitost složené funkce více proměnných; Věta o limitě sevřené funkce;
• příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných - definice; příklady výpočtu parciálních derivací funkce;
• úvodní poznámky  "před"  definicí funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných).
  "Písemná" přednáška (LS 2019/20):  přednáška 23.3.2020  a   přednáška 25.3.2020 .
  A jako pomůcka - řešené příklady (pro Rozšíření MA1): 
  RMA 1 dú 4 ( pdf ) - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4. dú - první část;   a  řešení 4. dú - druhá část 
• 21.4.2021:
  • parciální derivace vyšších řádů; příklady;
  • záměnnost smíšených parciálních derivací vyšších řádů; 
• funkce dvou proměnných, diferencovatelná v bodě a její lineární aproximace v okolí tohoto bodu;
• rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných a lineární aproximace reálné funkce dvou proměnných; příklady; 
• funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá; 
• "Písemná" přednáška (LS 2019/20): přednáška 23.3.2020  a  přednáška 25.3.2020 .
• 26.4.2021 - plán:
• připomenutí definice diferencovatelné funkce dvou proměnných a příklady funkcí dvou proměnných, které nemají totální diferenciál;
• a obecně - funkce n-proměnných diferencovatelná v bodě , totální diferenciál funkce - definice a "význam"; gradient funkce n-proměnných; poznámka o jednoznačnosti totálního diferenciálu;
• derivace ve směru - definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce, příklady výpočtu derivace ve směru;
• věta o derivaci složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné;
• příklady výpočtu derivací  složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné (i derivace vyšších řádů) - budou "počítány" na Repetitoriu MA2 v úterý 27.4.;
  Písemná" přednáška:  přednáška 25.5.2020  a  přednáška 30.3.2020 
  A jako pomůcka - řešené příklady (pro Rozšíření MA1) : 
  RMA1 dú 5 ( pdf ) - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných  a  řešení 5. dú - první část  a  řešení 5. dú - druhá část 
• 28.4.2021:
  • věta o parciální derivaci složené funkce více proměnných ( kde vnitřní funkce je vektorová funkce nekolika proměnných);
  • příklady výpočtu derivací (i vyšších řádů) složených funkcí více proměnných;
    a pak na Repetitoriu MA2 v úterý 4.5. (je "nahráno"):
  • další příklady výpočtu derivací složených funkcí více proměnných; 
  • užití věty o derivování složené funkce více proměnných - transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (a odtud nalezení řešení příslušné parciální diferenciální rovnice);
  • ještě další příklad - vlnová rovnice v jedné dimenzi;
    "Písemná" přednáška:  přednáška 30.3.2020 
    a nakonec byl jen úvod k části příští přednášky.
• 3.5.2021:
  • jen stručně - vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m )  - limita, spojitost, parciální derivace těchto funkcí;
  • diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice;
  • derivace složené vektorové funkce, příklady;
    "Písemná" přednáška:   přednáška 1.4.2020.   
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - úvodní úvahy a příklady, vedoucí k pojmu funkce, definované implicitně v okolí bodu; 
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné - definice, věta o implicitní funkci, výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady.
    "Písemná" přednáška:   přednáška 6.4.2020. 
• 5.5.2021:
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné - opakování definice funkce implicitně definované, věta o implicitní funkci jedné proměnné;
• výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady;
• zobecnění - implicitně definovaná funkce více proměnných - definice a věta o implicitní funkci více proměnných, příklad; 
  a na Repetitoriu MA2 v úterý 11.5. budou
• příklady užití věty o imlicitních funkcích ( implicitně definované funkce jedné a dvou proměnných); 
• a možná trošku o systému implicitně definovaných funkcí - vysvětlení na jednoduchém příkladu;
   "Písemná" přednáška:  přednáška 8.4.2020.  
   A ještě několik příkladů ze zkouškových  "písemek" z minulých let (jako odměna pro čtenáře za "čtení písemných přednášek z matematiky")  - příklady implicitní fce:  zadání  a  řešení  .
  a  jako další "pomůcka" - řešené příklady (domácí úkoly, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1, se shrnutím látky a s návody) RMA1 dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);
• 10.5.2021:
• připomenutí věty o implicitně definované funkci více proměnných a příklad užití této věty (implicitně definovaná funkce dvou proměnných);
• úvodní poznámky o systému implicitně definovaných funkcí;
• množiny bodů v Rⁿ - vnitřek množiny, hraniční bod množiny a hranice množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ;
• extrémy funkcí více proměnných -úvod; omlouvám se, že jsem více na přednášce nestihla, probereme vše  na repetitoriu 11.5.: 
• Repetirorium MA2 11.5.2021 - aspoň  stručně:
• extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů, příklady;
• věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
• lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu;
• druhý diferenciál, diferenciály vyšších řádů a Taylorův polynom pro funkce  více proměnných;
• postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice, Hessián).
• příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců
  Podrobně je vše uvedeno v loňské "písemné" přednášce  "Písemná" přednáška:  přednáška 15.4.2020. 
  A  je zde i loňský komentář, asi se hodí i nyní:   "Než začnete číst, chci se omluvit, že "dnešní přednáška" je hodně obsáhlá, jako dvě přednášky dohromady, a opět není pro čtenáře "jednoduchá" (zvláště část o kvadratických formách je navíc, píšu - pro "zájemce" -  nemusíte číst). A pro základní návod na vyšetření lokálních extrémů stačí až "konec" vyšetřování, pomocí Hessiánu dané funkce. Pro úplnost jsem napsala do přednášky vše důležité a snad i užitečné."
  a  jako další "pomůcka" - řešené příklady (domácí úkoly, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1, se shrnutím látky a s návody)   RMA1 dú 6 - řešení 2.část (extrémy)
• 12.5.2021:
• opakování definice a základních vlastností jednorozměrného Riemannova integrálu - pro "osvěžení" toho, co jsme probrali v MA1;
• a pak to nejjednodušší zobecnění - pomocí příkladu ukázána "cesta" k definici dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, pak definice dvojného integrálu přes obdélník;
• podmínka nutná  a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu (naznačení "proč", ale  bez důkazů) - linearita, aditivita, uspořádání,věta o střední hodnotě;
• několik aplikací;
• výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník; příklady;
  "Písemná" přednáška:  přednáška 20.4.2020.  a 
   dodatek k přednášce - ještě několik příkladů k přednášce 20.4.2020 zde , další příklady budou řešeny na Repetitoriu v úterý 18.5..
• 17.5.2021:
  • ještě poznámky k výpočtu dvojného integrálu přes obdélník, příklady;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, podmíny existence, výpočet  - Fubiniova věta;
    "Písemná" přednáška:   přednáška 22.4.2020. 
• Repetitorium 18.5.2021 ("v CH1") - plán:
• příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
• substituce ve dvojném integrálu do polárních souřadnic;
• příklady aplikací dvojného integrálu a výpočtu dvojných integrálu pomocí substituce do polárních souřadnic.
  "Písemná" přednáška:   přednáška 22.4.2020.   a    přednáška 27.4.2020.
• 19.5.2021:
  • substituce ve dvojném integrálu do polárních souřadnic;
• vysvětlení "cesty ke obecnému vzorci pro substituci ve dvojném integrálu;
• definice trojného Riemannova integrálu, podmínky existence a vlastnosti trojného integrálu; 
• výpočet trojného Riemannova integrálu - Fubiniova věta; 
• příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů;
• "Písemná" přednáška:   přednáška 27.4.2020.  a  přednáška 29.4.2020    
  A jako pomůcka - řešené příklady (domácí úkoly, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1) : 
   RMA1 dú 7  - dvojný integrál   a    dú 7 - řešení
   RMA1 dú 8  - trojný integrál     a     dú 8 - řešení  (pomůcka i k následující přednášce)
• 24.5.2021:
  • substituce v trojném integrálu - úvodní příklad a "cesta" k substituci do válcový souřadnic v trojném integrálu;
  • substituce v trojném integrálu -  válcové souřadnice a  sférické souřadnice; příklady;
    "Písemná přednáška:   přednáška 29.4.2020    a   přednáška 4.5.2020. - 1.část 
• křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
• "odvození" definice křivkového integrálu skalární funkce;
• upřesnění  - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
• existence křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skalární funkce.
  "Písemná" přednáška:   přednáška 4.5.2020. - 2.část    a  přednáška 6.5.2020.

• 26.5.2021:
  • příklady parametrizace křivek;
  • příklady výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
  • křivkový integrál vektorové funkce jako práce vektorového pole po cestě, dané křivkou;
  • příklady aplikací křivkových integrálů. 
  • vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce;  příklady výpočtu křivkového integrálu vektorové funkce.
    "Písemná" přednáška:   přednáška 6.5.2020.   
• Přednáška "navíc"  - 27.5.2021:
  • příklady výpočtu křivkového integrálu vektorové funkce;
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě -  potenciální pole, poteciál, příklady;
  • nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole, příklady;
  • poznámka - Greenova věta; operátory rotace a divergence a jejich význam.
    "Písemná" přednáška:   přednáška 6.5.2020.   a    přednáška 11.5.2020
    A třeba pomůže i  řešení domácího úkolu "z křivkového integrálu"  (se shrnutím a s návody)  pro Rozšíření MA1: RMA1 dú 9 - řešení
    
    
• Přednáška "navíc"  - 28.5.2021:
  Jen stručně:
  • nevlastní  integrál přes neomezený interval - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
  • vyšetřování konvergence nevlastního integrálu přes neomezený interval: 
    srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
  • absolutní konvergence nevlastních integrálů.
  • nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
  • vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady. 
  • absolutní konvergence nevlastních integrálů;
  • nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
  • vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady. 
    "Písemná přednáška:  přednáška 13.5.2020   
      a "tahák"  (nebo-li stručné shrnutí "dlouhé" přednášky) i s dalšími příklady -  nevlastní integrál ;
    
    Moc se omlouvám, že jsme nestihli probrat aspoň základní informace o nekonečných řadách, a tak aspoň v této přednášce "navíc"
• Přednáška "navíc" 1.6.2021 ve 14:00  (v CH1 - v Microsoft Teams) - 
     trošku o nekonečných řadách ( k písemným přednáškám 18.5. a 20.5.2020 ), a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět:  
  
  • nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
  • nutná podmínka konvergence řady;
  • kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
  • a jen stručně:  absolutní a neabsolutní konvergence řady;
  • řady funkcí  - obecně, jen sručné úvodní poznámky;
  • mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad;
  • mocninná  řada je Taylorovou  řadou svého součtu;
  • a jen velmi stručně o Fourierových řadách.
    
    A pro zájemnce jsou zde dvě závěrečné "písemné" přednášky o nekonečných řadách z loňské matematiky A2 .
A nekonečné řady můžeme také  probrat v následujícím zimním semestru ve výběrové přednášce   "Vybrané partie z matematiky".

•  "Písemná" přednáška 18.5.2020:   přednáška 18.5.2020 
  • nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
  • nutná podmínka konvergence řady;
  • kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
  • a jen stručně:  absolutní a neabsolutní konvergence řady;
    a  dodatek k přednášce 18.5.2020 - důkazy některých kriterií konvergence (nepovinné - je to pro zájemce).
    
    
•  "Písemná" přednáška 20.5.:   přednáška 20.5.2020 a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět:
  • řady funkcí  - obecně, jen sručné úvodní poznámky;
  • mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad;
  • mocninná  řada je Taylorovou  řadou svého součtu;
  • a jen velmi stručně o Fourierových řadách.
    
    A  ještě třeba bude užitečné:  
           nekonečné řady - "tahák"    a     nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady.