Rozšíření Matematiky A1 pro biochemiky LS 2023/24

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

 

Sylabus a literatura  - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto studenty "vytvořenému" předmětu, hlavním cílem "Rozšíření matematiky A1" je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností  a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice A1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii.  Na začátku semestru se ještě navíc rozšiřuje i lineární algebra z MA1 a znalost diferenciálních rovnic o řešení a aplikace lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty (užitečné ve fyzice, spec. v mechanice). A poslední část předmětu je věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů na cvičeních, Rozšíření matematiky A1 má od letošního akademického roku k přednášce i dvě hodiny cvičení. 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF   

 

A jak bude probíhat výuka"Rozšíření Matematiky A1" ? 
       První část semináře bude shrnutí a opakování látky, probrané v minulém semináři, pomocí řešení příkladů. Také bude výborné, když budete pomáhat naší výuce  i svými dotazy a náměty, co byste potřebovali vysvětlit znovu a třeba i podrobněji. V druhé části pak probereme další " nové" věci.
      Základní lliteraturou by mohla být  skripta, přístupná i na internetu:  D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde .
A můžete si také přečíst k tomu přednášky, které jsem psala  pro Matematiku A2 v  prvním "on-line" semestru - viz stránka MA2 2020/21 a "opravené" přednášky na stránce  MA2 2021/22  Snažila jsem se v "písemných přednáškách" vedle "přesných" formulací  definic a vět  i o jejich "lidovější" vysvětlení, tak by to mohlo být, doufám, čitelné i pro vás. Navíc, můžete sledovat i záznamy on-line přednášek MA2 z LS 2020/21.
      K hlavním partiím látky budou domácí úkoly s jednoduchými, ale "základními" důležitými příklady, a za jejich  řešení, které odevzdáte, získáte zápočet. K zadání domácích úkolů budete mít vždy i "moje" řešení, které jsem se snažila napsat podrobně, s návody a s výkladem - proč daný problém takto řešíme. Jako kdybychom příklady řešili spolu na cvičení, je to takové "písemné" cvičení.  A ještě poznámka k domácím úkolům - jednak vy je tak podrobně psát nemusíte (jako já) a za druhé, i když bude podrobné řešení zadaného domácího úkolu na "dubu" , tak vaše úkoly budou uznány. Předpokládám, že v matematice pokračujete ne kvůli zápočtu, ale proto, že chcete ještě něco více z matematiky znát, že věříte tomu, že se tím usnadní i pochopení mnohých věcí z fyziky i fyzikální chemie, a tak si nemyslím, že byste opisovali moje řešení a pak mi ho posílali, to by nemělo žádnou cenu.. Nechť je pro vás "moje řešení" domácích úkolů další studijní pomůckou a pomocí, a když budete chtít, tak k vašemu řešení příkladů v úkolu můžete připsat, kde jste potřebovali pomoc a zda vám to moje řešení trošku pomohlo. Tím byste zase hodně pomohli v "učení" také mně. A děkuji vám napřed. 
    A prosím, máte-li jakékoliv dotazy nebo připomínky, ptejte se na seminářích, nebo pište, budu se snažit vše číst a včas odpovídat a pomáhat vám s matematikou. A můžete též využít po domluvě  konzultace, a to i online pomocí Google Meet, kdykoliv budete potřebovat.

Záznamy online přednášek z MA2 i písemné materiály k přednáškám MA2 (LS 2020/21)  jsou zde 
Záznamy online  seminářů z letního semestru 2020/21, kdy výuka nemohla být prezenční  jsou  zde . 

Podmínky získání zápočtu:
        1.  účast na seminářích (tři absence mohou být neomluveny);
        2.  vypracování aspoň pěti ze zadaných domácích cvičení (na "dubu" nazvaných  "domácí úkoly"), jako splněný úkol se počítá i řešení nějakého problému během semináře "u tabule"; 
             vypracování domácích úkolů může být nahrazeno i závěrečným zápočtovým testem nebo pohovorem (zápočtem ústním), samozřejmě po dohodě.

Matematika  "po částech"  - plán pro Rozšíření MA1:

1. Lineární algebra - rozšíření lineární algebry z MA1:  

• Vektorové (lineární) prostory, zvláště pak Rⁿ  
• definice vektorového (lineárního) prostoru, příklady vektorových prostorů; 
• báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi a užití maticového počtu při nalezení souřadnic vektoru v Rⁿ.  
• Lineární zobrazení
• definice lineárního zobrazení vektorového prostoru, příklady nám známých lineárních zobrazení;
• lineární zobrazení prostoru Rⁿ do R^m, matice lineárního zobrazení prostoru Rⁿ do R^m, vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice;
• lineární rovnice - obecný návod pro řešení lineárních rovnic, příklady řešení nám již známých lineárních rovnic.

    Příklady k promyšlení a ke cvičení   LA příklady

    Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde.   
    Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde.

2. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu a soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  (s konstantními koeficienty): 

• lineární diferenciální rovnice 2. řádu 
• řešení OLDR 2.řádu "obecně";
• OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - shrnutí viz OLDR 2.řádu - poznámky  z předloňského roku;
• řešené příklady (cvičení)

          Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady  (zadání); 
          Domácí úkol 2.:   dú 2 OLDR 2.řádu  -  opět prosím, přečtěte si zadání a můžete psát dotazy. A zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  

           A můžete se i podívat na  zápisy přednášek z MA2 - OLDR 2.řádu :  poznámky k přednášce 2.3.20 a i  k přenášce 4.3.20  zde ;  poznámky k přednášce 9.3.20  zde  ,
           A snad se hodí i  "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
           Materiály pro MA2, ale i pro vás (jednodušší a vysvětlující):  OLDR 2.řádu - poznámky;  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část   . 

• soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu 
• soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - základní informace jsou ve druhé části přednášky  přednáška 11.3.20. - 2.část    a s příklady v přednášce přednáška 16.3.20 
• řešené příklady (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu 
  
  

 3. Diferenciální počet vektorových  funkce jedné proměnné a funkcí (i vektorových) dvou a tří proměnných.
     Co bychom chtěli probrat:

• vektorové funkce jedné reálné proměnné
• shrnutí - definice, limita, spojitost, derivace; 
• příklady řešené (cvičení);
• další příklady a domácí cvičení  dú3   - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné;
  a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení).
  
  
• reálné funkce více (dvou a tří) proměnných - přehled základních "věcí", co je "dobré" znát
•  definice, definiční obory, limita (jen velmi stručně);
•  parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde ; 
• derivace složené funkce a  příklady k procvičení - zadání zde;
• funkce definované implicitně a příklady k procvičení (i extémů funkcí) - zadání  zde;
• extrémy funkce dvou proměnných.

        Domácí úkoly (domácí cvičení)  (pro procvičení a kontrolu, snad i jako zdroj dotazů): 
                  dú4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných;
                            a zde je   řešení 4. domácího úkolu - první část;  a  řešení 4. domácího úkolu - druhá část;
                  dú5 - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných;
                           a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
                  dú6 - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných 
                           a "moje" dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);  dú 6 - řešení 2.část (extrémy).

        A můžete se podívat  na zápisy přednášek pro MA2 na tato témata: 

•  úvod, vzdálenost v Rⁿ , příklady funkcí dvou proměnných vektorové funkce jedné proměnné - přednáška 18.3.20 (první část)  ,  přednáška 18.3.20 (druhá část) ;
•  limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;
•  funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.3.20.; derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20.;  
•  vektorové funkce více proměnných - přednáška 1.4.20. ;
•  funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
•  extrémy funkcí dvou proměnných -  přednáška 15.4.20.
  
  

4. Dvojný a trojný integrál:

• připomenutí definice, existence a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné
• dvojný integrál Riemannův
  •  dvojný integrálu "přes" obdélník - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast a opět - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta; substituce do polárních souřadnic;
    a výběr příkladů k procvičení  zde
• trojný integrál Riemannův 
• trojný integrál - definice, aplikace, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta pro integrál trojný;
• substituce - souřadnice válcové a sferické;soubor ukázkových řešených příkladů "místo" cvičení;
  a výběr příkladů k procvičení  zde 

         Domácí úkol (domácí cvičení):  (opět pro procvičení a kontrolu, a i jako zdroj dotazů):
                   dú7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení
                   dú8 - integrál trojný (výpočet a aplikace) a "moje" řešení  dú 8 - řešení

         A přednášky pro MA2 - snažila jsem se zde o "srozumitelnost", tak snad mohou pomoci i v RMA1:

• opakování R - integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník  - přednáška 20.4.20 ;  a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů  zde  ;
• dvojný integrál přes měřitelnou oblast  - přednáška 22.4.20. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4.20.         
• trojný integrál - přednáška 29.4.20.  a  substituce do válcových, resp. sférických souřadnic - přednáška 4.5.20 - 1.část 

 

5. Křivkový integrál:

• křivkový integrál skalární funkce
  • definice křivky v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
  • příklady aplikací  a výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
     
• křivkový integrál vektorové funkce 
  • definice, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce; 
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál;
  • nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole;
• výběr příkladů k procvičení  křivkových integrálů  zde 

         Domácí úkol (domácí cvičení):
                   dú9 - křivkový integrál a  "moje" řešení  dú 9 - řešení

         A přednášky pro MA2  - snad se hodí i pro RMA1:

• úvod ke křivkovému integrálu přednáška 4.5.20 - 2.část; definice křivky, křivkového integrálu skalární funkce; 
• křivkový integrál funkce vektorové -  přednáška 6.5.20. ;  potenciální vektorová pole, potenciál -  přednáška 11.5.20.
  

6. Nevlastní Riemannův integrál.

7. Nekonečné řady.

Přednášky  a cvičení:

• Cvičení 19.2.2024: 
  Úvod  - "co"  a "jak" budeme studovat v Rozšíření MA1 a  návrh podmínek pro získání zápočtu (upřesnění příště) - účast na cvičeních a přednáškách, domácí cvičení pomocí zadaných domácích úkolů, a případně místo domácích úkolů tři testy, nebo, domácí úkol může být nahražen "referátem" na cvičení, kde bude ukázáno řešení zadaných příkladů či problémů.
  Dále  shrnutí a připomenutí pomocí řešení příkladů toho, co bylo probráno z maticového počtu v matematice A1. 
  Příklady k opakování a procvičení:  LA - příklady 1  - větší soubor příkladů z lineární algebry ( LA ), i pro další cvičení.
  
  
• Přednáška 20.2.2024:
  Doplnění maticového počtu o definici determinantu čtvercové matice, dále vlastnosti a výpočet determinantů a jejich užití.
  
  
• Cvičení 26.2.2024:
  Determinat matice - připomenutí definice a vlastností determinantu, příklady výpočtu determinantu, aplikace. Dále opakování řešení soustav lineárních rovnic (Gaussova eliminační metoda, užití inverzní matice) a souvislosti řešení soustavy s hodností matice soustavy. 
  Příklady z minulého cvičení  LA - příklady 1  .
  
  
• Přednáška 27.2.2024:
  Definice vektorového prostoru a podprostoru, specielně Rⁿ jako vektorový prostor, definici báze a dimenze vektorového prostoru Rⁿ, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi. Dále definice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m, co je matice lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m  a jak tuto matici daného zobrazení "najít";  příklady - transformace souřadnic v Rⁿ jako lineární zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a vlastností matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).
  Příklady dalších "pro nás" užitečných vektorových prostorů a příklady lineárních zobrazení v těchto prostorech.  Obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech.
  Stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice - vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlasních čísel matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla a navzájem různá.
  Příklady k promyšlení a ke cvičení   LA příklady
  Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde.   
  Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde.
  
  
• Cvičení 4.3.2024:
  Ještě opakování z MA1 -  řešení soustav lineárních rovnic (Gaussova a Gauss - Jordanova eliminační metoda. užití inverzní matice) a souvislost množiny řešení soustavy s hodností matice soustavy.
  Příklady báze prostorů Rⁿ .
  
  
• Přednáška 5.3.2024:
  Shrnutí vlastností prostorů Rⁿ a lineárních zobrazení z Rⁿ do R^m , a pak připomenutí zobecnění - definice "obecného" lineárního prostoru a lineárních zobrazení těchto prostorů; dále pak obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech.
  Vlastní čísla a vlastní vektory matice (stručně) - definice, "návod" pro  výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla a navzájem různá. A speciálně - má-li čvercová matice A řádu n vlastní čísla λ_i , i = 1,....n,  reálná a navzájem různá, pak vlastní vektory v_i , příslušné k λ_i , i = 1,....n, tvoří bázi Rⁿ  a diagonální matice Λ , kde diagonální prvky jsou vlastní čísla této matice,  je matice  zobrazení L(x) = A x  vzhledem k této bázi.
  Obyčejné lineární diferencální rovnice druhého řádu - stručný úvod.
  
  
• Cvičení 11.3.2024:
  K prostorům Rⁿ : příklady báze prostoru Rⁿ (n=2,3,4), souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi v těchto prostorech, transformace souřadnic vektoru při změně báze v Rⁿ .
  Lineární zobrazení vektorových prostorů - opakování definice a vlastností lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. Lineární zobrazení  Rⁿ do R^m - určení matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení s vlastnostmi matic těchto zobrazení (zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení). Vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduché příklady, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá. 
  
  
• Přednáška 12.3.2024:
  Obyčejné lineární diferencální rovnice druhého řádu - dva příklady (rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; dále aplikace "obecného návodu" z lineární algebry pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 a fundamentální systém řešení homogenní rovnice; návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních) a jednoduché příklady řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty; řešení nehomogenní OLDR 2.řádu  metodou variace konstant.
  A z "covidového" roku (z MA2): 
  Shrnutí v  OLDR 2.řádu - poznámky .
  Řešené příklady  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část  . 
  
  
• Cvičení 18.3.2024:
  Ještě k lineární algebře - ještě příklady k vlastnostem lineárních zobrazení, vlastní čísla a vlastní vektory matice - jednoduchý příklad, kdy vlastní čísla matice jsou reálná a navzájem různá.
   K řešení obyčejných diferenciálních rovnic 32. řádu jsme bohužel nestihli a "přesunuli" na přednášku. 
  
  
• Přednáška 19.3.2024:
  Shrnutí návodu na řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém, obecné řešení homogenní rovnice, řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant; "pokusy" o odhad partikulárního řešení, Dokončení výkladu o řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty:  metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady. I k této přednášce se hodí
  Shrnutí v  OLDR 2.řádu - poznámky  a dále
  Řešené příklady  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část  .  
  
  
• Cvičení 25.3.2024:
  Ještě řešení problémů z lineární algebry dle dotazů, dále řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty - fundamentální systém, obecné řešení homogenní rovnice, řešení počáteční úlohy pro homogenní rovnici. Nestihli jsme už řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant ani  odhad partikulárního řešení - budeme dělat na dalším cvičení. Řešení počáteční úlohy. 
  Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady 
  Domácí úkol 2.:   dú 2 OLDR 2.řádu  a zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  
  
  
• Přednáška 26.3.2024:
  Připomenutí zavedení a vlastností komplexních čísel a početních operací v oboru komplexních čísel.  Jen "stručně" zavedení komplexní exponenciely Stručné zopakování komplexních čísel a jejich vlastností, zavedení komplexní exponenciely.
  Snad se hodí i  "písemná" přednáška z MA2 - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
  Úvod k diferenciálnímu počtu vektorových funkcí jedné reálné proměnné - zavedení metriky v prostoru Rⁿ , pak limita, spojitost, derivace vektorové funkce jedné proměnné; derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; jednoduché příklady.
  A "písemná přednáška" z MA2:  přednáška 18.3.20 (první část)   -  vzdálenost v Rⁿ , příklady funkcí dvou proměnných, vektorové funkce jedné proměnné.
  
  
• Cvičení 1.4.2024 se nekonalo, bylo Velikonoční pondělí. 
  Můžeme, podle přání posluchačů, "prodloužit" některé úterní přednášky ( 2.4.2024 bohužel ne), a tak cvičení trošku nahradit.
  
  
• Přednáška 2.4.2024:
  1. Stručné zopakování zavedení komplexní exponenciely a pak užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice.
      A "písemná" přednáška z MA2 - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
  2. Řešení počáteční úlohy pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty (s příkladem řešení soustavy dvou rovnic).
      Základní informace jsou ve druhé části přednášky z MA2   přednáška 11.3.20. - 2.část  a  příklady v přednášce přednáška 16.3.20 
  3. Úvod k diferenciálnímu počtu reálných funkcí dvou a více proměnných - příklady jednoduchých funkcí dvou a tří proměnných, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor;  jednoduché
      příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných.
      A z přednášek z MA2 opět ještě přednáška 18.3.20 (první část)   a  přednáška 18.3.20 (druhá část)
     
• Cvičení 8.4.2024:
  Dle přání studentů (a potřeby užití v chemii) jsme "předběhli" přednášku a definovali (a pak též počítali) parciální derivace funkcí více proměnných. A dle přání druhého jsme si řekli aspoň "zhruba" o tom, jak je integrál Riemannův funkce jedné proměnné zobecněn na integrál z funkce dvou a tří proměnných - ukázali jsme si, co "je" integrál dvojnéhý, resp. trojný, a dále integrál křivkový funkce skalární i vektorové. Podrobněji to probereme později.
  A to, co je dále (co bylo plánováno na toto cvičení), probereme stručně na cvičení dalším.
  1. Příklady řešení počátečních úloh pro OLDR 2. řádu s konstantními koeficiety, i příklad užití komplexních exponenciel, i dle dotazů posluchačů. Výpočet partikulárního řešení nehomogenní rovnice
      metodou variace konstant i odhad partikulárního řešení pro speciální pravé strany.
      Zadání příkladů, příklady řešené a zadání domácího úkolu dú2 je ve cvičení 25.3.
  2. Příklady řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu dvou OLDR 1.řádu.
      Příklady řešené (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu .
  3. Dále příklady vektorových funkcí jedné proměnné, výpoče limit a derivací vektorových funkcí jedné proměnné.
      Příklady a domácí cvičení  dú3  - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné; a zde "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení). 
  
  
• Přednáška 9.4.2024:
     Reálné funkce více proměnných - úvodem připomenutí metriky a  konvergence v  Rⁿ , pak intuitivně limita a spojitost funkce více proměnných v bodě.
  Ale odtud otázky - co je třeba upřesnit, v jakých bodech můžeme uvažovat limity a spojitost funkce více proměnných? A tak trošku o množinách bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný (limitní) bod množiny, hraniční bod množiny, množina otevřená, množina uzavřená, vnitřek množiny, hranice množiny, uzávěr.
     Pak definice limity a spojitosti reálné funkce několika proměnných, jednoduché příklady výpočtu limity funkce více proměnných; zopakování (ze cvičení) a upřesnění definice parciální derivace reálné funkce několika proměnných, příklady výpočtu parciálních derivací funkce; parciální derivace vyšších řádů, záměnnost smíšených parciálních derivací, příklady.
       Úvodní poznámky  "před"  definicí  funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných). 
  A "písemné přednášky" z MA2 : 
     limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;  
     funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.5.20.;
   A jako pomůcka - řešené příklady:
   RMA 1 dú 4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4. dú - první část  a  řešení 4. dú - druhá část 
  
  
• Cvičení 15.4.2024:
  Nejdříve jen několik příkladů, co jsme nepočítali na minulém cvičení:
  1. Příklady řešení počátečních úloh pro OLDR 2. řádu s konstantními koeficiety, i příklad užití komplexních exponenciel, i dle dotazů posluchačů. Výpočet partikulárního řešení nehomogenní rovnice
      metodou variace konstant i odhad partikulárního řešení pro speciální pravé strany.
      Zadání příkladů, příklady řešené a zadání domácího úkolu dú2 je ve cvičení 25.3.
  2. Příklad řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu dvou OLDR 1.řádu.
      Příklady řešené (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu .
  3. Dále příklady vektorových funkcí jedné proměnné, výpoče limit a derivací vektorových funkcí jedné proměnné.
      Příklady a domácí cvičení  dú3  - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné; a zde "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení).
  Dále funkce dvou nebo tří proměnných - definiční obory a spojitost těchto funkcí, jednoduché limity, výpočet parciálních derivací i vyšších řádů. 
      Příklady k promyšlení a ke cvičení::  parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde ;  
  
  
• Přednáška 16.4.2024:
     Úvodní poznámky  "před"  definicí a pak definice funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných); funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá; gradient, rovnice tečné roviny ke grafu diferencovatelné funkce dvou proměnných a lineární aproximace reálné funkce dvou proměnných; má-li funkce dvou proměnných v bodě spojité obě parciální derivace 1.řádu, pak má v tomto bodě totální diferenciál; příklady. 
     Derivace funkce ve směru - definice, odvození vzorce pro výpočet derivace ve směru, význam gradientu funkce a jednoduché příklady; úvodní poznámky k derivování složené funkce více proměnných - "řetízkové pravidlo", jednoduché příklady.
  A "písemné přednášky" z MA2 :   
     funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.5.20.;
     derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20. .
     funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
   A jako pomůcka - řešené příklady:
      RMA 1 dú 4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4. dú - první část  a  řešení 4. dú - druhá část 
      dú5 - diferencovatelnost, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
  
  
• Cvičení 22.4.2024:
  Stihli jsme jen první část toho, co bylo v plánu probrat:
  Nejprve ještě řešení počátečních úloh pro OLDR 2. řádu s konstantními koeficiety - výpočet partikulárního řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant i odhad partikulárního řešení pro
  speciální pravé strany.
  Zadání příkladů a  příklady řešené jsou ve cvičení 25.3.. 
  
  
• Přednáška 23.4.2024:
  Co jsme nestihli na cvičení - připomenutí dosud probraných pojmů u funkcí více proměnných. příklad vyšetření existence totálního diferenciálu funkce, pak jeho určení a užití k lineární aproximaci funkce, rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných. Dále příklady výpočtu a aplikací derivace ve směru a derivace složené funkce více proměnných (řetízkové pravidlo), kde vnitřní vektorová funkce je funkce jedné proměnné. Pak odvození pravidla pro parciální derivace  složené funkce více proměnných (kde též vnitřní funkce jsou funkce více proměnných).
  Dále na závěr přednášky úvodní vysvětlení, co je funkce implicitně definovaná rovnicí F(x,y) = 0, a proč je užitečné něco znát o funkcích definovaných implicitně. 
  A ještě znovu vhodné "písemné přednášky" z MA2 :   
      funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.5.20.;
      derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20. .
      funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
   A jako pomůcka (pro "domácí cvičení") - řešené příklady:
      RMA 1 dú 4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4. dú - první část  a  řešení 4. dú - druhá část 
      dú5 - diferencovatelnost, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
  
  
• Cvičení 29.4.2024 - plán:
  Opakování dosud probraných pojmů u funkcí více proměnných (dle dotazů posluchačů), pak výpočet parciálních derivací funkcí dvou a tří proměnných, totálního diferenciálu funkce a jeho užití k lineární aproximaci funkce, rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných. Dále příklady výpočtu a aplikací derivace ve směru, pak formulace vzorce pro derivování složené funkce více proměnných (řetízkové pravidlo) a příklady užití řetízkového pravidla.
  Příklady ke cvičení:
      parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde ;
      derivace složené funkce a  příklady k procvičení - zadání zde;
  A jako pomůcka:
  Domácí úkoly:
      RMA1 dú4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4.dú - první část  a  řešení 4.dú - druhá část 
      RMA1 dú5 - diferencovatelnost, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných
                          a zde je (moje) řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
  
  
• Přednáška 30.4.2024 - plán:
  Připomenutí závěru minulé přednášky a pak formulace (s vysvětlením) věty o implicitní funkci jedné proměnné; dále implicitně definovaná funkce dvou proměnných a též věta o implicitní funkci dvou proměnných; výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně.
  Stručně o extrémech funkcí dvou proměnných, jednoduché příklady.
  Úvod k "zobecnění" určitého integrálu interálu Newtonova i Riemannova na dvojný a trojný Riemannův integrál, co tyto integrály "modelují", cesta k definicím.
  Pak "upřesnění" : dvojný integrálu "přes" obdélník - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta; pak zobecnění na dvojný integrál přes měřitelnou oblast a opět - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta. Jednoduché příklady.
  
  A přednášky pro MA2 (dřívější) - snažila jsem se zde o "srozumitelnost", tak snad mohou pomoci i v RMA1:
  funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ; 
  extrémy funkcí dvou proměnných -  přednáška 15.4.20.
  opakování R - integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník  - přednáška 20.4.20 ;  a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů  zde  ;
  dvojný integrál přes měřitelnou oblast  - přednáška 22.4.20. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4.20. 
  A před cvičením se už můžete podívat na příklady (a promyslet) z řešených domácích úkolů: 
  Domácí úkol (domácí cvičení) (řešené příklady pro procvičení, i jako zdroj dotazů)  
  dú6 - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných  a  "moje" dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);  dú 6 - řešení 2.část (extrémy).
  dú7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení