Matematika na dubu

Matematická analýza pro informatiky 2 - ZS 2024/25

Cvičení k přednášce Matematická analýza 2  (NMAI055)
    (přednáší  prof. RNDr Aleš Pultr, DrSc)

Paralelka 03 - středa  15:40 - 17:10  v S10   

Stránka k přednáškám profesora Pultra v ZS 2020/21  zde
Sylabus a základní literatura  - SIS
 
Další vhodná  literatura:
  • A. Pultr: Skripta z matematické analýzy zde ; pokračování skript  zde  a ještě dále  zde  .
  • V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu;
  • skripta k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
  • FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
  • FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
Mnoho dalších příkladů můžete také najít
 
Pro opakování základních důležitých partií z Matematické analýzy 1 třeba poslouží (moje) cvičení z MA1 z LS 2019/20 ,  odkaz  zde  .

A třeba by se mohlo hodit i podívat se na stránky 

Konzultační hodiny během semestru:
    Konzultační hodiny: středa před cvičením na chodbě v 1. poschodí nebo ve 2.poschodí před KAMi od 14:50, nebo též  po cvičení.
    Konzultovat můžeme i jindy "po dohodě" (osobní, emailem, telefonem).

Podmínky zápočtu:
      1.  Odevzdání aspoň sedmi domácích úkolů z těch, co budou zadány ke cvičením. 
      2.  Aspoň polovina bodů ze dvou zápočtových testů (nebo z jednoho testu závěrečného) - ještě dohodneme.

Příklady, probírané na cvičeních:

  • 1. cvičení (2.10.2024)  
    Úvodem návrh "organizace" cvičení (zvláště "sladění"cvičení s přednáškou), návrh konzultací a podmínky zápočtu; pak připomenutí, "o čem byla" Matematická analýza 1, opakování některých důležitých pojmů z MA1 a dále metrické prostory -  připomenutí definic základních pojmů: metrika, příklady metrik v prostorech Rn , spec. v R2 ; vlastnosti podmnožin metrických prostorů  - množina otevřená, resp. uzavřená v metrickém prostoru; limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru, ještě jsme nestihli příklady limit posloupností v prostorech Rn a zopakovat, co jsou hromadné body množiny, hraniční body, uzávěr množiny a příklady k procvičení těchto nových pojmů.
    Výběr příkladů:  
        metrické prostory zde  - i k promyšlení a přípravě na příští cvičení.  
    Domácí úkol: 
         dú 0 - opakování   "dobrovolný"  
        (domácí úkol můžete poslat e-mailem do pondělního rána (7.10.), pokud ho budete chtít mít "opravený" do příštího cvičení, nebo na příštím cvičení pak odevzdat.
         Ale můžete si opakovat  MAI 1 i "pomaleji"  a  úkol odevzdat i později.)
        dú 1 - metrické prostory 
        (tento domácí úkol můžete poslat emailem do pondělí 7.10., bude pak snad opravený do následujícího cvičení, nebo úkol pak můžete odevzdat na cvičení 9.10.,
         nebo, pokud budete mít nějaké otázky k řešení, vyřešit a poslat do pátku 11.10.).
  • 2. cvičení (9.10.2024):
    Dle přání posluchačů poznámky k řešení dú1 (metrické prostory). Dále ještě příklady konvergence posloupností v některých "dále užitečných" metrických prostorech a připomenutí definic -  hromadné body množiny, hraniční body, uzávěr množiny a  příklady k procvičení těchto pojmů. Příklady z minulého cvičení.
    Dále reálné funkce více proměnných  ( f : Rm → R )  - opakování základních pojmů: definiční obor funkce, limita, spojitost funkce, jen stručně na závěr cvičení - výpočet parciálních derivací a připomenutí definice totálního diferenciálu funkce a jeho významu.
    Výběr příkladů: 
         funkce více proměnných 1     zde (i pro cvičení 3)
    Domácí úkol:   
             dú2 - funkce více proměnných 1   
         Protoře jsme nestihli probrat na cvičení vše, co je v úkolu, úkol můžete poslat emailem kdykoliv do rána v úterý 22.10., nebo přinést na cvičení ve středu 16.10. i až 23.10..
         A navíc, řekli jsme si na cvičení, že stačí vyřešit z úkolu dva příklady, a kdo si vybere výpočet PD (příklad 2.), stačí zase vypočítat jen dva příklady ze čtyř zadaných.

  • 3. cvičení (16.10.2024):
    Dle případných dotazů poznámky k řešení dú1 i dú2. Dále (i dle dotazů posluchačů) funkce více proměnných -  výpočet limit, vyšetření spojitosti, výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů); co znamená, že funkce více proměnných má totální diferenciál, nutné a postačující podmínky pro "míti totální diferenciál", příklady. Vzhledem k tomu, že se před cvičením nekonala přednáška, jsme necvičili derivování složených funkcí více proměnných (řetězové pravidlo).
    Výběr příkladů: 
          Příklady z minulého cvičení funkce více proměnných 1  zde , a  funkce více proměnných 2 (i pro příští cvičení)  zde .
    Domácí úkol: 
         Zůstává ještě   dú2 - funkce více proměnných 1  a můžete, chcete-li, řešit i
         dobrovolný" domácí úkol 3:  dú 3 - funkce více proměnných 2 .
         Oba úkoly můžete poslat emailem do pondělí 21.10. nebo je můžete přinést i na cvičení 23.10., ten 3. domácí úkol můžete dále promýšlet a odevzdat i později. 

  • 4. cvičení (23.10.2024):
    Dle dotazů posluchačů k základním vlastnostem funkcí více proměnných ještě opakování a shrnutí základních pojmů o reálných funkcích více  proměnných  ( f : Rm → R ) - definiční obor funkce, limita, neexistence limity, vyšetření spojitosti funkce, výpočet parciálních derivací funkce; jak ukázat, zda funkce má totální diferenciál;  Dále zopakování pravidla derivování složených funkcí více proměnných (řetězového pravidla) a pak příklad výpočtu parciálních derivací složených funkcí.
    Omlouvám se, že cvičení bylo spíše "teoretické", cvičení příští bude "početní". 
    Výběr příkladů:
         Příklady z minulého cvičení -  funkce více proměnných 2.
    Domácí úkol: 
         Můžete ještě promýšlet dobrovolný 3. domácí úkol.  a dále "nový"  dú 4 - funkce více proměnných 3  -  stačí odevzdat do cvičení 6.11. .
         Z příkladu 3. si, prosím, promyslete a sepište derivace aspoň dvou složených funkcí z těch v příkladu zadaných.

  • 5. cvičení (30.10.2024):
    Limity funkcí více poměnných - příklady výpočtu limit; důkazy, že funkce v daném bodě limitu nemá. Výpočet parciálních derivací funkce (podle přání posluchačů), dále příklady vyšetření, zda funkce má v daném bodě totální diferenciál (např. řešení příkladů z 3.domácího úkolu). Potom, dle přednášky, možná ještě limita, spojitost, parciální derivace i totální diferenciál funkcí f : Rm → Rn a řetězové pravidlo pro tyto funkce a úvodní úvahy o funkcích zadaných implicitně. 
    Výběr příkladů:
        Funkce více proměnných 2.  zde  a i pro příští cvičení  funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde .
    Domácí úkol:   
        Stále ještě je  dú 4 - funkce více proměnných 3  -  stačí odevzdat až po příštím cvičení 6.11., neboť jsme nestihli více procvičit "řetězové pravidlo"
        a můžete už řešit i  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 20.11. .

  • 6. cvičení (6.11.2024):
    Poznámky k řešení 4. domácího úkolu dle případných dotazů posluchačů, dále výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů) složených funkcí užitím "řetězového pravidla". Limita, spojitost, parciální derivace i totální diferenciál funkcí f : Rm → Rn a "řetězové pravidlo" pro tyto funkce. Opakování věty o implicitní funci jedné proměnné a úvodní příklady k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně.
    Výběr příkladů:
         Funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  (i pro příští cvičení).
         A  zde je několik řešených příkladů: funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
    Domácí úkol:   
        Stále ještě je  dú 4 - funkce více proměnných 3  -  stačí odevzdat až do příštího cvičení 13.11., neboť jsme v minulém cvičení (30.10.) nestihli procvičit "řetězové pravidlo"
        a můžete už řešit i  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do  cvičení 27.11. .

  • 7. cvičení (13.11.2024):
    Ještě příklad na užití "řetězového pravidla". Dále ještě opakování věty o implicitní funkci jedné proměnné a více proměnných a užití této věty. Pak i opakování a shrnutí toho, co "víme" o existenci a hledání globálních extrémů funkce více  proměnných a úvodní příklad vyšetřování globálních i vázaných  extrémů funkce  dvou proměnných. 
    Výběr příkladů: 
         Funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  (z minulého cvičení) .
    Domácí úkol:   
          dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do cvičení 27.11. .

  • 8. cvičení (20.11.2024):  
    Příklady užití věty o implicitní funkci jedné proměnné - aproximace funkce jedné proměnné, definované implicitně, Taylorovým polynomem a dále odvození rovnice tečny ke křivce, dané rovnicí F(x,y)=0. Dále příklady užití věty o implicitní funkci  více proměnných (pro implicitní funkce dvou proměnných)  (příklady, i řešené, jsou v minulém cvičení).
    Pak připomenutí toho, co víme o existenci lokálních, globálních extrémů a vázaných extrémů funkcí více proměnných,  úvodní příklady vyšetřování globálních i vázaných  extrémů funkce dvou proměnných. 
    Výběr příkladů: 
         Funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  (z minulého cvičení)  a i pro další cvičení  - funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)  ( zde ) .
         A  zde je několik řešených příkladů: funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
         A třeba se "hodí" i několik řešených příkladů z matematiky pro studenty chemie  dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);  
         A dále několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
    Domácí úkol:   
          Zůstává  dú 5 - funkce více proměnných 4  -  stačí odevzdat do cvičení  27.11.;  
          a můžete  "dobrovolně"  zkusit třeba i  dú6 - funkce více proměnných 5   - tento "dobrovolný" úkol bude opět "počítán" (první příklad jsme vyřešili na cvičení), 
          a dále  můžete řešit i   dú7  - funkce více proměnných 6   - stačí odevzdat do  cvičení  4.12. .
          A další domácí úkol je  dú 8 - extrémy funkce   ,  tento úkol stačí odevzdat do (nebo na) cvičení 11.12. .

  • 9. cvičení (27. 11. 2024):
    Poznámky a dotazy k příkladům z domácího úkolu na implicitní funkce, pak ještě příklad funkce vektorové, definované implicitně soustavou rovnic. Dále vyšetřování globálních extrémů a vázaných extrémů funkce dvou, resp.tří proměnných užitím věty o Lagrangeových multiplikátorech, zopakování a "promyšlení" této věty. 
    Připomenutí  definice a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné, pak (dle přednášky) úvodní úvahy o Riemannově dvojném integrálu. a úvodní jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniho věty.
    Výběr příkladů: 
         (už v minulém cvičení) funkce více proměnných 4 (extrémy funkce)  zde  ,
          a několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady 
    Domácí úkol:
            Stále ještě dú 8 - extrémy funkce , tento úkol stačí odevzdat do (nebo na) cvičení 11.12. .  
        A  "jako" dú 9, k zápočtu ale povinný:   1."domácí" test  - shrnutí základních poznatků z diferenciálního počtu funkcí více proměnných,
        ( bylo by dobré "odevzdat" test "do" nebo "na" cvičení 18.12. nebo během Vánočních prázdnin).   
        
  • 10.cvičení (4.12.2024):
     Poznámky a dotazy k příkladům z domácího úkolu na vázané a globální extrémy funkcí, pak ještě příklady vyšetřování vázaných extrémů funkce dvou, resp.tří proměnných užitím věty o Lagrangeových multiplikátorech. Pak připomenutí definice a vlastností dvojného Riemannova integrálu, příklady užití dvojného integrálu a jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniovy věty.
    Výběr příkladů:
               dvojný integrál   a   trojný integrál  (i pro další cvičení)
    Domácí úkol:
         dú10 - dvojný integrál 1  (pokuste se odevzdat do (nebo na) cvičení 18.12. nebo alespoň během "Vánočních" prázdnin). 

    A třeba se "hodí"     i řešené příklady z domácích úkolů z matematiky pro studenty chemie na PřF:
          dú7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení
          dú8 - integrál trojný (výpočet a aplikace) a "moje" řešení  dú 8 - řešení

    nebo i příklady z bývalých přednášek pro Matematiku A2 (pro studenty chemie, snažila jsem se zde o "srozumitelnost"):
          opakování Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník  - přednáška 20.4.20 ;  a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů  zde  ;
          dvojný integrál přes měřitelnou oblast  - přednáška 22.4.20. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4.20.         
          trojný integrál - přednáška 29.4.20.  a  substituce do válcových, resp. sférických souřadnic - přednáška 4.5.20 - 1.část .

    11.cvičení (11.12.2024):
     Dle dotazů posluchačů poznámky k příkladům z domácího úkolu na vázané a globální extrémy funkcí.
     Pak další příklady výpočtu dvojných a trojných integrálů - užití Fubiniovy věty. a dále jednoduché příklady užití substituce v dvojném i trojném integrálu integrálu (k poznámkám o substituci z přednášky) -  souřadnice polární,válcové a sférické.
     Výběr příkladů:
               dvojný integrál   a   trojný integrál  (i pro další cvičení)
     Domácí úkol: stále ještě 
         dú10 - dvojný integrál 1  (pokuste se odevzdat do (nebo na) cvičení 18.12. nebo alespoň během "Vánočních" prázdnin). 

    12.cvičení (18.12.32024) - plán:
     Pak další příklady výpočtu dvojných a trojných integrálů - užití Fubiniovy věty a dále (dle poznámek o substituci v přednášce) jednoduché příklady užití substituce v dvojném i trojném integrálu integrálu   (souřadnice polární,válcové a možná i sférické).
     Výběr příkladů:
               dvojný integrál   a   trojný integrál 
     Domácí úkol: 
           dú11 - dvojný integrál 2   (stačí odevzdat "do zápočtu")  a
           dú12 - substituce ve dvojném a trojném integrálu  (dobrovolný) .