Matematická analýza pro informatiky 2 - ZS 2021/22

Cvičení k přednášce Matematická analýza 2  (NMAI055) (čtvrtek 15:40 - 17:10 v S11)                

A třeba by se mohlo hodit i podívat se na stránky 

• PřF  - LS  - Matematika A2
• PřF -  LS  - Rozšíření matematiky A1

Konzultační hodiny

• před cvičením ve čtvrtek po dohodě od 14:30 nebo i dříve, na chodbě KAM (2.poschodí), nebo pak po cvičení v S11  
• nebo i jindy po dohodě  ( e-mailem krylova@kam.mff.cuni.cz   nebo  krylova@natur.cuni.cz  nebo na 604 268 425)

Probírané příklady na cvičeních:

• Cvičení 1. (30.9.2021) :  úvod - návrh "organizace" cvičení, podmíny zápočtu vyhlásíme na příštím cvičení;
  dále dle přání posluchačů opakování některých důležitých pojmů z MA1, krátký úvod do analýzy funkcí více proměnných a potřebnosti metriky (jako příklad v prostorech Rⁿ , spec. v R² ). Zatím byly "rozdány" příklady k úvodu diferenciálního počtu funkcí více proměnných z MA2 z roku 2018/19   funkce více proměnných 1 ( pdf ). Připravím ještě výběr příkladů a problémků k přemýšlení o metrice, metrických prostorech a vlastnostech množin v metrických prostorech - můžete si vybrat a zkusit vyřešit dvě úlohy jako domácí úkol (úkol "navíc", úkoly budou zadávány od cvičení příštího).
  Domácí úkol:  dú 1  - opakování  ( pdf ) nepovinný - a stačí odevzdat, vzhledem k pozdnímu zadání, až do cvičení 3 .
  Domácí úkoly, zadané na cvičení, můžete poslat e-mailem, nejlépe do úterní půlnoci, pokud je budete chtít mít opravené do příštího cvičení, nebo aspoň na příštím cvičení pak odevzdat.
• Cvičení 2. (7.10.2021): metrické prostory - metrika, vlastosti podmnožin metrických prostorů, limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru, spojitost zobrazení;
  výběr příkladů: metrické prostory zde ( pdf ) - budeme cvičit na příštím cvičení (probírali jsme dle otázek posluchačů hlavně totální difrenciál funkce více proměnných); 
  funkce více proměnných  ( i obecněji  f : R^m → Rⁿ ) a opakování základních pojmů -  limity, spojitost, parciální derivace, hlavně pak jsme mluvili o  totálním diferenciálu a jeho významu a užití; 
  výběr příkladů: funkce více proměnných 1 zde ( pdf ) ( i pro cvičení 3).
  Domácí úkol:  dú 2 - funkce více proměnných 1  ( pdf ) 
• Cvičení 3. (14.10.2021): Metrické prostory - zatím jen připomenutí definic základní pojmů: metrika, vlastosti podmnožin metrických prostorů, limita posloupnosti bodů v metrickém prostoru.
  výběr příkladů: metrické prostory zde ( pdf ) - zde k promyšlení, řešit budeme ve cvičení příštím.
  Dále pak funkce více proměnných - limity, vyšetření spojitosti funkce, výpočet parciálních  derivací; 
  výběr příkladů: funkce více proměnných 1 ve cvičení 2 . 
  Domácí úkol: zůstává ještě dú 2 - funkce více proměnných-1  ( pdf )  a  můžete zkusit promyslet řešení vybraných příkladů k metrickým prostorům:  dú 3 - metrické prostory  ( pdf ) 
• Cvičení 4. (21.10.2021):  ještě výpočet parciálních  derivací,  totální diferenciál funkce více proměnných a jeho užití; opakování i charakterizace podmnožin metrického prostoru.
  Výběr příkladů:  funkce více proměnných 2 (i pro příští cvičení)   zde  ( pdf ).
  Dále ještě metrické prostory - výběr příkladů: metrické prostory zde ( pdf ) 
  Domácí úkol: dú4 - funkce více proměnných 2  ( pdf ) (promiňte, prosím, opožděné zadání) .
• Cvičení 28.10.2021 se nekoná - státní svátek. 
• Cvičení 5. (4.11.2021): připomenutí věty o derivaci složených funkcí více proměnných ("řetízkové pravidlo") , dále úvodní příklady k pochopení toho, "co je"  funkce, definovaná implicitně. 
  Výběr příkladů:  Funkce více proměnných 2  zde  ( pdf )   a   funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)  zde  ( pdf ) (i pro další cvičení) .
  A  zde je několik řešených příkladů - funkce, definované implicitně:  funkce, definované implicitně - řešené příklady 1  ; funkce, definované implicitně  - řešené příklady 2 . 
  Domácí úkol: (jako příprava na příští cvičení): dú5 - funkce více proměnných-3  ( pdf ) .
  A slíbené jednoduché domácí úkoly "pro chemiky" a jejich "komentované řešení" (třeba pomohou na začátku přemýšlení o dané partii)
       dú 5 (pro chemiky PřF) ( pdf ) - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných;
                a řešení úkolu pro chemiky: řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
       dú 6  (pro chemiky PřF) ( pdf ) - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných 
                a "moje" řešení úkolu pro chemiky:  dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce);    dú 6 - řešení 2.část (extrémy).
• Cvičení 6. (11.11.2021) : ještě, pokud bude třeba, vyšetřování diferencovatelnosti funkce  - problémky z domácího úkolu a "protipříklady";  vektorové funkce více proměnných  - limita, spojitost, diferenciál; pak výpočet derivací složených funkcí více proměnných(řetízkové pravidlo) .Dále implicitní funkce -  příklady z minulého cvičení 4.11.. 
  Domácí úkol: pokud jste neřešili, tak zůstává   dú5 - funkce více proměnných-3  ( pdf ) ;
  a pokud už tento úkol máte, pak můžete "dobrovolně"  zkusit třeba i dú6 - funkce více proměnných-4  ( pdf )
• Cvičení 7. (18.11.2021):   systémy funkcí, definovaných implicitně soustavou rovnic - příklady:  funkce více proměnných 3 ("implicitní" funkce)   zde  ( pdf ) ; 
  úvodní příklad vyšetřování extrémů funkcí dvou  proměnných - výběr příkladů:  funkce více proměnných 4 (extrémy funkce) zde  ( pdf ) .
  A zde je několik řešených příkladů vyšetřování lokálních i globálních extrémů  extrémů funkcí více proměnných:  extrémy funkce - řešené příklady  .
  Domácí úkol: dú7  - funkce více proměnných 5  ( pdf )
• Cvičení 8. (25.11.2021): jen opakování vyšetřování vázaných extrémů funkcí více proměnných - na příkladech funkcí dvou proměnných ( zde i obecně metoda Lagrangeových multiplikátorů) - výběr příkladů je v minulém cvičení, spolu s několika příklady řešenými .
  Domácí úkol: 1. "domácí" test    ( pdf )  - shrnutí základních poznatků z diferenciálního počtu (funkcí více proměnných) ( bylo by dobré "odevzdat" test do pondělí 6.12.) 
• Cvičení 9. (2.12.2021): ještě opakování hledání vázaných extrémů - řešili a promýšleli jsme podrobně příklad 6. ze souboru řešených příkladů extrémy funkce - řešené příklady Dále jsme trošku opakovali Riemannův integrál funkce jedné proměnné - definice, existence, vlastnosti,  výpočet, základní věta analýzy a výpočet integrálu pomocí Newton-Leibnizovy formule; 
  Domácí úkol: zůstává 1.domácí test (z minulého cvičení). 
• Cvičení 10. (9.12.2021): ještě další aplikace Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a připomenutí základní věty analýzy a Newton-Leibnizovy formule; opakování definice, vlastností a příklady užití dvojného integrálu,  úvodní jednoduché příklady výpočtu dvojného integrálu užitím Fubiniovy věty, a i jednoduchý příklad výpočtu integrálu trojného. A dle přednášky možná i substituce v dvojném integrálu.
  Výběr příkladů:  dvojný integrál   ( pdf ) ;   trojný integrál    ( pdf )   
  a "navíc" k nahlédnutí - domácí úkoly "pro chemiky PřF" a jejich "komentované řešení": 
       dú 7  (pro chemiky( ( pdf ) - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení   dú 7 - řešení 
       dú 8  (pro chemiky) - trojný integrál  a  řešení   dú 8 - řešení  .
  A můžete se podívat, pokud byste si chtěli zopakovat Riemannův integrál funkcí jedné proměnné, na cvičení z matematické analýzy 1 v LS 2019/20
  a zkusit si opakování na jejich domácím úkolu 12:
        Cvičení 12  - MAI 1 ("písemné", místo cvičení 14.5.2020): Určitý integrál Newtonův a Riemannův - výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes),
        vlastnosti určitého integrálu a aplikace.
        Příklady k tomuto cvičení z MAI 1:  cvičení 12 - příklady určitý integrál  ( pdf ) 
        A cvičení "písemné" z MAI 1:  "písemné" cvičení 12 - 1.část   a    "písemné" cvičení 12 - 2.část  a  k tomu domácí úkol:  Domácí úkol 12.  ( pdf )  a  "moje"  řešení dú 12  .
  A "naše"
  Domácí úkoly: 1.  na cvičení jsme se dohodli na druhém domácím testu  - z metrických prostorů:  2."domácí " test  ( pdf ) (stačí poslat po Vánocích);
                            2. dú8 - dvojný integrál 1  (pdf )
• Cvičení 11. (16.12.2021): Ještě příklady výpočtu a užití dvojného a trojného integrálu; substituce v dvojném integrálu - polární souřadnice (příklady z minulého cvičení).
  Domácí úkol:  dú9 - integrál 2  ( pdf ) nepovinný, ale můžete poslat při příprave na zkoušku ke kontrole, pokud příklady budete řešit. 
• Cvičení 12.  (6.1.2022):  ještě příklady výpočtu dvojného a trojného integrálu substitucí - příklady z domácího úkolu 9 (z minulého cvičení).