Matematika A1, ZS 2020/21

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

 

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348 

 

Zkoušky: 
    Termíny zkoušek jsou v SISu, zatím  je možné konat  zkoušky prezenčně, pokud se zkoušky účastní v jeden čas nejvýše 10 osob a  budou dodržena všechna protiepidemické opatření. 
    Dosud měla zkouška z matematiky A1 písemnou i ústní část, nyní bude zkouška písemná s tím, že bude možné zkoušku "vylepšit" i ústní částí "online", pokud si to budete přát. 

    Požadavky ke zkoušce   (upřesněné)   ( pdf )

    A zde je   ukázka zkouškového testu. 

Konzultační hodiny ve zkouškovém období  budou upřesněny podle okolností, zatím  jsou konzultace možné online po dohodě (mailem, ale i telefonem  - mobil 604 268 425). 

 

 

Sylabus a literatura - SIS

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  zde 
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004  zde 
• skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 

Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
•  J. Petáková: Matematika

 

Materiály, které dostali studenti na úvodním soustředění v Horním Poříčí:

• Opakovací "test" ze soustředění  zde   ( pdf );.
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde  ( pdf ) .
• Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky  - od paní doktorky Jany Rubešové zde .
• Dotazníček zde.  

 

Přednáška - při prezenční výuce by měla být dle rozvrhu v pondělí  9:50 - 11:20  a ve středu  10:40 - 12:10  (vždy v posluchárně CH1, Hlavova 8).
Vzhledem k současné situaci přednáška může být, a tedy zatím i bude, pouze online, měla by být v rozvrhovaném čase, a měla by se i nahrávat, aby bylo možné se na přednášku podívat i jindy, pokud to budete potřebovat. Nová potřebná technika pro přednášky online se v posluchárnách Chemického ústavu instaluje, a  jakmile budu vědět, kdy se  přednášky online budou konat a jak se přednášky účastnit, vše pro vás potřebné zde bude napsáno (a bude to i  v SISu), snad to bude brzy. Ke každé přednášce budete mít i její stručný zápis, který se pokusím dát na web vždy před přednáškou. 

Repetitorium matematiky A1
Přednáška je ještě doplněna Repetitoriem MA1. V minulých letech jsme v Repetitoriu MA1 znovu probírali a vysvětlovali z matematiky A1 to, co si posluchači přáli, co jim nebylo jasné z přednášek nebo i ze cvičení.  Děkuji všem, co se na Repetitotium zapsali i letos, je asi užitečné Repetitorium zachovat, dle vyjádření  posluchačů z minulých ročníků bylo Repetitorum MA1 užitečné a pomáhalo jim. Repetirium bychom také měli online, zatím je předběžně rozvrhováno na pondělí večer od 18:10. Byla by to taková "hromadná" konzultace z matematiky A1, pomocí Google Meet, mohli by se účastnit i ti,co nejsou zapsáni, pokud by potřebovali, a otázky k přednáškám i ke cvičením byste mohli posílat i předem.

Konzultační hodiny (v semestru do začátku zkouškového období):  konzultace zatím  budou online ( pomocí Google Meet) v době, kterou upřesním, jakmile to bude možné, nebo i po dohodě, též online.
  

Přednášky:

•  5.10.2020:
• úvod - proč studovat matematiku, matematika jako jazyk přírodních věd (Galileo Galilei, Issak Newton, Gottfried Leibniz);
• hezké čtení:    Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                         John.D.Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)   
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
                         Ian Stewart: Matematika života (Odkrývání tajemství bytí) (Academia 2014, edice Galileo)
• stručně o obsahu přednášky - čím se zabývá diferenciální počet,  integrální počet a dále lineární algebra, jejíž  základy také budeme studovat;
• a co si zopakovat do příští přednášky;  
• jak je výuka organizována - přednáška, cvičení, repetitorium MA1, konzultace; 
• o zápočtu a zkoušce.
  Zápis přednášky zde - bude, omlouvám se, že zatím není.
•  7.10.2020: 
    Díky potížím s užíváním MS teams na začátku přednášky jsme probrali méně, než jsme plánovali, snad to "doženeme" co nejdříve. 
  • několik poznámek k doporučené literatuře a k online přednáškám a Repetitoriu Matematiky A1;
  • trošku o tom, jak se půjde po naší  "cestě" matematikou": základní "kroky" - definice, věta, důkaz, aplikace ;
  • ještě stručné připomenutí  partií ze středoškolské matematiky, které budeme potřebovat  (podrobněji na  cvičeních nebo na repetitoriu MA1):
             základní poznatky z množinového počtu;
             reálná funkce jedné reálné proměnné -  základní pojmy: definiční obor a obor hodnot funkce; funkce lichá, sudá, periodická, monotonní;
             funkce prostá a  funkce inverzní k prosté funkci; funkce složená; grafy funkcí; elementární funkce;
• úvodní úvahy o limitě funkce, k čemu mohou pomoci limity funkce.
  Zápis přednášky zde - bude, omlouvám se, že zatím není.
• 12.10.2020:
• úvodem "příklady" k minulé přednášce: 1) příklad definice - ryze monotonní funkce;  2) tři tvrzení o monotonii funkce a ukázka důkazu; 3) a užití; 
• intuitivně  "druhy" limit pomocí grafů známých elementárních funkcí - pojmenování a označení limit ; jednostranné limity; 
• spojitost funkce v bodě (stále ještě pomocí intuitivně chápané limity); příklad funkce nespojité v bodě;
  Zápis přednášky zde  , od strany 13 probereme v přednášce příští; 
• 14.10.2020:
• ještě další pokusy - grafy funkcí pomocí "odhadu" limit;
• shrnutí  - k čemu můžeme limity užít -  pokus o graf funkce exp(1/x) (úspěšný);
• úvod k další přednášce - o pravidlech pro výpočet limit funkcí;
  Zápis přednášky zde  , od strany 13. 
• 19.10.2020:
• "pravidla" pro výpočet limit - aritmetika limit : věta o limitě součtu, součinu a podílu funkcí, příklady; 
• "neurčité výrazy"  (stále ještě intuitivně)  a  příklady;
  Zápis přednášky (už letošní)   zde  , stihli jsme do strany 8, dokončíme v příští přednášce.

• 21.10.2020:
  • příklady výpočtu limit  - aritmetika limit, zvláště limity "neurčitých výrazů"; 
  • věta o limitě absolutní hodnoty funkce ;
  • připomenutí pokusu o graf funkce exp(1/x) a pak věta o limitě složené funkce;
• ještě další příklady výpočtu limit - limity funkcí typu  f(x)^g(x) (další "neurčité výrazy") ;
• a možná, jak se "dojde" k definicím limit; vzdálenost v R;
  Zápis přednášky   zde  (od strany 9)  .
• 26.10.2020:
  • věta o limitě sevřené funkce (pro vlastní i nevlastní limity); 
  • další příklady výpočtu limit  - užití vět o limitě složené funkce a o limitě sevřené funkce;
  • připomenutí definice spojitosti funkce v bodě (stále ještě intuitivně), a pak  spojitost součtu, součinu a podílu funkcí (z aritmetiky limit), a věta o spojitosti složené funkce;
• jak se "dojde" k definicím limit; vzdálenost v R;
  a nestihla jsem už (omlouvám se)
• definice nevlastní limity, resp. v nevlastním bodě a  jednoduchý příklad důkazu limity dle definice;
• definice vlastní limity v nevlastním bodě, příklad důkazu takové limity dle definice;
• pokračování v definicích limit - definice nevlastní limity ve vlastním bodě a  vlastní limity ve vlastním bodě (i jednostranných limit),
• definice limit s užitím okolí bodu.
• posloupnost reálných čísel; limita posloupnosti; jednoduché příklady.
• Zápis celé plánované přednášky je zde , definice limit  nevlastních i vlastních, ve vlastních i nevlastních bodech s příklady (str. 8-13) probereme (pro zájemce buď  na "dobrovolné" přednášce ve středu 28.10., nebo pak na  Repetitoriu  MA1 v pondělí 2.11.. 
• 28.10.2020 - státní svátek,
          ale byla "nepovinná"  přednášku online a probrali jsme to, co zbývalo z minulé přednášky  - definice limit  nevlastních i vlastních, ve vlastních i nevlastních bodech s příklady
          (str. 8-13 minulé přednášky):
  • definice nevlastní limity, resp. v nevlastním bodě a  jednoduchý příklad důkazu limity dle definice;
  • definice vlastní limity v nevlastním bodě, příklad důkazu takové limity dle definice;
  • pokračování v definicích limit - definice nevlastní limity ve vlastním bodě a  vlastní limity ve vlastním bodě (i jednostranných limit),
  • definice limit s užitím okolí bodu.
    V zápisu minulé přednášky (26.10.)  -  str. 8-13.
•   2.11.2020:
  • ještě další příklady výpočtu limit - limity funkcí typu  f(x)^g(x) (další "neurčité výrazy")  - jen poznámka, výpočet limit na cvičeních a též na Repetitoriu MA1 dnes;
  • a ještě dodatek k limitě funkce - uspořádání limit; limita monotonní funkce;
  • (jen stručně) posloupnost reálných čísel; limita posloupnosti a  jednoduché příklady limity posloupnosti;
• (opět jen stručně) "co je" nekonečná řada - konvergentní, resp. divergentní řada, jednoduché příklady;
• jak se ukáže, že funkce limitu v daném bodě limitu nemá,  nebo že funkce  není v daném bodě spojitá - souvislost  limity  a limit jednostranných a Heineho věta;
• derivace funkce v bodě: definice derivace v bodě, odvození derivací některých elementárních funkcí;   
• Zápis přednášky - zde   .
•  4.11.2020:
  • připomenutí definice derivace a ještě odvození derivací některých dalších elementárních funkcí;  
  • derivace jako funkce; "tabulka" derivací základních funkcí;
  • pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu a podílu funkcí, derivace funkce složené; 
• příklady výpočtu derivací; 
• Zápis přednášky - zde  .
•  9.11.2020:
• příklady výpočtu derivací; derivace funkce složené z více než dvou funkcí a derivace funkce f(x)^g(x);
• věta o derivaci inverzní funkce, jako příklad odvození vzorce pro derivaci funkce arctg(x) nebo arcsin(x) ;
• "dopočítávání" derivací funkce pomocí definice derivace v bodech, kde nelze derivovat "dle pravidel"  výpočtu derivací.
• derivace vyšších řádů, příklad;
• ukázka důkazů - důkaz pravidla pro derivování součtu a součinu dvou funkcí;
  Zápis přednášky zde  .

• 11.11.2020:
  • věta o souvislosti vlastní derivace a spojitosti funkce v bodě i s důkazem; 
  • užití derivace  funkce v bodě -  tečna ke grafu funkce; lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; příklady;
  • diferenciál funkce - definice a jeho užití, příklady;
• "pokus" o vyšetření vlastností funkce f(x)= x² e^-x  , co už "umíme" a co budeme dále potřebovat;
• věta o  souvislosti znaménka první derivace a monotonie funkce v intervalu (zatím bez důkazu);
• definice lokálního a globálního extrému funkce; kritické body pro lokální extrém, nutná  podmínka existence lokálního extrému;
• věta o užití derivace druhého řádu při  vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body); 
• l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí;
• Zápis přednášky  zde    .

• 16.11.2020:
  • věta o "dopočítávání" derivací ve "špatných " bodech (jako důsledek l´Hospitalova pravidla) a příklady;
  • shrnutí vyšetřování průběhu funkce, a ještě dodatek k vyšetřování půběhu funkce - jak najít asymptoty grafu funkce - příklad f(x)= x³/(x-2)²  ;
• globální extrémy funkce -  věta o globálních extrémech spojité funkce na uzavřeném intervalu; 
  intuitivní úvod s jednoduchými příklady, jak zjistit, zda funkce nabývá globálních extrémů, a jak je najít;
  příklady vyšetřování globálních extrémů budou v úvodu příští přednášky, jsou už v 2. části zápisu dnešní přednášky.
  Zápis přednášky: 1.část   a   2.část   a   ještě průběh funkce - několik řešených příkladů .
• 18.11.2020:
  • opakování "postupu" při vyšetřování globálních extrémů na jednoduchých "příkladech";
  • dva příklady vyšetřování globálních extrémů;
  • Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a - definice a  příklady Taylorových polynomů  n-tého stupně v bodě a=0  funkcí exp(x), sin x, cos x;
  • Taylorova věta; chování  zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, také i Lagrangeův tvar zbytku;
  • příklad - odhad chyby v aproximaci exp(x);
  • poznámka o Taylorově řadě pro funkce exp(x), sin x, cos x.
    Zápis přednášky: původně   2.část   přednášky z 16.11.
• 23.11.2020: 
• úvod do integrálního počtu : příklady užití "antiderivování" - odvození vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu; harmonické kmity;rovnice radioaktivního rozpadu a "hledání" řešení uvedených "diferenciálních" rovnic;
• definice primitivní funkce k dané funkci na intervalu, "tabulka" základních primitivních funkcí;
• věta o existenci primitivní funkce (bez důkazu), množina primitivních funkcí k dané funkci na intervalu, spojitost primitivní funkce, neurčitý integrál;
• příklady - primitivní funkce k funkci f(x)=1/x  na intervalu (-∞,0)  a  k funkci   f(x)=ι x ι v R.
• nespojitá funkce a existence primitivní fce k této funkci  - příklady;
  Příklady k přednášce (k úvodu do integrálního počtu z loňského zimního semestru z 20.11.)  zde  
• 25.11.2020:
  • jednoduchý příklad -  od ∫f(x)dx na intervalu (α, β)  k  ∫f(ax+b)dx , a≠0  na odpovídajícím intervalu;
  • věty o integraci součtu funkcí a násobku funkce, příklady;
  • integrace per partes, příklady.
• 1.věta o substituci v neurčitém integrálu; příklady.
• několik příkladů na užití integrace per partes a 1.věty o substituci;
  Zápis loňských přednášek s příklady z 20.11. zde    a z 25.11.  zde  .
• 30.11.2020:
• shrnutí toho, co zatím "víme" o neurčitém integrálu a co zatím "umíme" vypočítat, a co "neumíme";
• 2.věta o substituci v neurčitém integrálu, i naznačení důkazu;
• příklady užití 2. věty o substituci;
• úvod k integraci racionálních funkcí -  jednoduchý příklad, jak racionální funkci vyjádřit jako součet "jednoduchých" zlomků, které umíme integrovat.
  Podklady k přednášce: str. 7-11 z loňské přednášky 25.11.  zde  a str. 1-4 z loňské přednášky z 2.12.2019   zde .
• 2.12.2020:
• v úvodu ještě několik snadných příkladů, jak rozložit racionální funkci na součet jednoduchých zlomků;
• integrace racionálních funkcí - rozklad racionální funkce na parciální zlomky obecně;
• integrace parciálních zlomků  - jen "jednoduché" případy;
• další příklady integrace racionálních funkcí.
  Zápis přednášky (hlavně příklady s komentářem) zatím loňské z 2.12.2019   zde
• 7.12.2020:
• stručně - integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních, opět jen jednoduché příklady;
  Zápis přednášky loňské z 4.12. (hlavně příklady s komentářem)  zde
• diferenciální rovnice - úvod,  několik příkladů obyčejných diferenciálních rovnic1.řádu;
• 9.12.2020:
• několik dalších příkladů obyčejných diferenciálních rovnic1.řádu;
• formulace počáteční úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici 1.řádu;
• pokus: připomenutí řešení diferenciální rovnice radioaktivního rozpadu - nejprve řešení "uhodnuta", dále ukázáno, že řešení asi "máme všechna" a naznačení, jak najít řešení diferenciální rovnice se separovatelnýmii proměnnými;
• ještě řešení tří dalších příkladů diferenciálních rovnic ( a naznačení odvození jedné z těchto diferenciálních rovnic - vytékání vody z válcové nádoby kruhovým otvorem ve dně nádoby) 
• a odtud obecně -  diferenciální rovnice 1.řádu se separovatelnými proměnnými - řešení počáteční úlohy; kdy nastávají "skluzy" řešení (jen stručně);
• Zápis přednášky zde  .
  
• 14.12.2020:
• několik dalších příkladů řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými  proměnnými;
• ještě poznámky k řešení rovnice se separovatelnými proměnnými - kdy nastávají "skluzy" řešení (jen stručně), a další jednoduché příklady řešení diferenciálních rovnic zde;
• lineární diferenciální rovnice 1.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy( bez důkazu);
• lineární diferenciální rovnice 1.řádu  - řešení rovnice homogenní a řešení rovnice s pravou stranou metodou variace konstant;
• příklady řešení obyčejných lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu;
  Zápis přednášky (loňské) - lineární diferenciální rovnice zde 
• 16.12.2020:
• příklady řešení diferenciálních rovnic   zde  
• 21.12.2020:
• určitý integrál -  definice Newtonova integrálu;
• příklady užití Newtonova integrálu - výpočet délky dráhy pohybu při proměnné rychlosti, práce proměnné síly; výpočet obsahu plochy "mezi" grafem nezáporné funkce a osou x ;
• existence a vlastnosti N-integrálu, výpočet N-integrálu pomocí per partes a substituce; příklady;
• definice Riemannova určitého integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence; základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita;
• Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu - Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;
• další aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy "mezi" grafy dvou funkcí, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady; 
• 23.12.2020 :
  • definice Riemannova určitého integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence; základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita;
  • Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu - Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu; 
  • Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu - Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;
  • další aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy "mezi" grafy dvou funkcí, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady; 
• 4.1.2021:
  • ještě několik poznámek k Riemannovu integrálu - uspořádání a odhady Remannova integrálu; věta o střední hodnotě integrálního počtu; 
    integrál s proměnnou horní mezí, "zápis" řešení počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnici  pomocí integrálů s proměnnou horní mezí;
  • úvod k poslední části  probírané látky - čím se zabývá lineární algebra;
  • soustava lineárních rovnic  - opakování "středoškolských" metod řešení, a pak zápis soustavy pomocí matice;
  • na příkladu (jako pokus) Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
  • Zápis přednášky (lineární algebra - úvod) a  i pro další přednášky  zde 
•  6.1.2021:
  • definice násobení matice a vektoru, "nový" zápis soustavy lineárních rovnic;
  • a v "našem pokusném" příkladu soustavy lineárních rovnic - řešení "zapsané" ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a odtud cesta k inverzní matici;
  • příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení;
  • a odtud "další otázky pro lineární algebru"  - otázky, týkající se řešitelnosti rovnic, proč potřebujeme definice "nových "pojmů.
• 7.1.2021 přednáška "navíc" (v 8 hodin) - omlouvám se, byla "němá", tak tuto přednášku je  "zopakována " v pondělí 11.1.:
• shrnutí toho, co  bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - otázky, týkající se řešitelnosti rovnic, proč potřebujeme definice "nových "pojmů;
• vektorový prostor , speciálně Rⁿ;
• lineární kombinace vektorů,  lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů;
• definice báze a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi, báze a dimense prostoru Rⁿ; 
• 11.1.2021  - 1. přednáška "navíc" (v 15 hodin):
• hodnost matice;  regulární a singulární  čtvercová matice; inverzní matice k matici regulární; lineární prostor matic typu (m,n);
• Gaussova eliminační metoda "obecně" a příklad,  Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;
• definice násobení matic; definice  inverzní matice ke čtvercové matici;
• řešení soustavy lineárních rovnic pomocí matice inverzní k matici soustavy, pokud inverzní matice k matici soustavy existuje.
• Gaussova eliminační metoda "obecně" a příklad,  Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• determinant matice - úvodní "pokus" se soustavou dvou rovnic pro dně neznámé.
• 22.2.2021 - 2. přednáška "navíc":  
• determinant čtvercové matice 2.řádu - odvození ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé;
• definice determinantu čtvercové matice řádu n  indukcí -  rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce;
• vlastnosti a výpočet  determinantu matice;
• Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy n rovnic pro n neznámých.
• 23.2.2021  - 3. přednáška "navíc":
• determinant - shrnutí a užití determinantu;
• příklady výpočtu a užití determinantu.
• 24.2.2021 a 25.2.2021  - Repetitorium "navíc":
• opakování a shrnutí vlastností Rⁿ a počítání s vektory z Rⁿ ; 
• vyšetřování lineární závislosti a nezávislosti vektorů; 
• opakování a shrnutí vlastností matic  a počítání s maticemi;
• řešení soustav lineárních rovnic - Gaussova eliminační metoda i užití inverzních matic;
• báze  Rⁿ , souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi;
• Přednáška "navíc"  - lineární zobrazení -  ( pro ty studenty, kteří už nebudou mít Matematiku A2 nebo Rozšíření Ma1)  - bude včas oznámena:
• lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení;
• souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ;
• vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice a  příklady -  jen reálná vlastní čísla navzájem různá;
• Přednáška "navíc"  ( pro ty studenty, kteří už nebudou mít Matematiku A2 nebo Rozšíření Ma1)  - bude včas oznámena:
  (bude probráno v Rozšíření matematiky A1 pro biochemiky a podrobně probráno v Matematice A2):
• prostory R² a R³  - připomenutí  definice a "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin),
• a pro limitu v prostorech R² a R³   - velikost ( norma) vektoru, a odtud vzdálenost v prostorech R² a R³;
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, limita, spojitost, derivace, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• reálná funkce dvou  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor; jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných.
• reálná funkce dvou proměnných- jen stručně limila a spojitost; jednoduché příklady;
• parciální derivace funkce dvou proměnných, příklady výpočtu parciálních derivací;
• totální diferenciál funkce dvou proměnných, tečná rovina ke grafu funkce dvou proměnných v bodě, kde je funkce diferencovatelná, a lineární aproximace funkce v okolí tohoto bodu;
• parciální derivace vyšších řádů, záměnnost parciálních  derivací vyšších řádů, příklady.

 

Cvičení   -   paralelka 01   - prezenčně: úterý 10:40 - 12:10 v CH5  a  středa  12:20 - 13:50 v CH4)
Cvičení také budou, doufejme jen "zatím" , online, nyní pomocí Google Meet, třeba časem to vylepšíme, i s vaší pomocí. Mohli bychom ta cvičení konat v době, kdy jsou rozvrhována, ale můžeme se domluvit i na jiném čase, pokud byste si tak přáli. A pro ty studenty, kteří by se nemohli účastnit  cvičení rozvrhovaných, bychom mohli mít "náhradní" cvičení formou konzultací. 

Zápočet bude udělen za vypracování sedmi domácích úkolů, druhý ze zadaných domácích úkolů je nepovinný, stejně tak i  poslední domácí úkol, z lineární algebry, je nepovinný.  

Zadání příkladů, řešení příkladů, zadání a řešení domácích úkolů najdete zde na stránce v "zápisech" jednotlivých cvičení; a příslušné soubory budou též na Disku Google. 

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

        1.   limita a spojitost funkce
        2.   průběh funkce - několik řešených příkladů
        3.    neurčitý integrál
        4.    diferenciální rovnice

•  6.10.2020:  Informace o cvičení, podmínky pro získání zápočtu zatím předběžně, budou upřesněny podle situace - po dobu online výuky budou zadávány "domácí úkoly" k procvičení probírané látky, které budou jednou z podmínek zápočtu, dále se pak domluvíme na "domácích" testech, kde si budete moci  vyzkoušet, jak jste zvládli příslušnou partii probírané látky. 
  Cvičení začneme opakováním středoškolské matematiky, ne všeho, co jste probírali, ale těch věcí, co budete potřebovat v matematice A1. Vše potřebné k opakování najdete v doporučených skriptech z VŠCHT  -  A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  i v dalších doporučených studijních materiálech  (viz literatura nahoře).
  A zde jsou materiály k opakování:
  předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde  ( pdf );
  příklady, které by vám mohly pomoci při "testování" potřebných znalostí ze středoškolské matematiky - opakovací test z úvodního soustředění v Horním Poříčí viz opakovací test (pdf) a řešení příkladů z první části opakovacího testu zde a řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis);
  Příklady 1 - opakování  -   soubor dalších příkladů jako inspirace k vaší práci a jako zdroj vašich otázek pro cvičení (zkuste z každé skupiny příkladů aspoň jeden vyřešit podrobně, na ostatní příklady ve skupině se aspoň podívejte, a promyslete, zda byste je uměli řešit).  
• 7.10.2020:  Ještě poznámky k organizaci cvičení, předběžné podmínky zápočtu - (zatím) 10 domácích úkolů a několik "domácích testíků" .
  A  opakování středoškolské matematiky -  absolutní hodnota reálného čísla, řešení rovnic a nerovnic - příklady jsou z prvního cvičení:
  Zde je "můj" výběr příkladů pro 1.cvičení  a  "moje" řešení těchto příkladů,  a ještě dodatek (příklady (*) ). A můžete si připravit na další cvičení či konzultaci dotazy k tomu, co vám nebude jasné. 
  
• 13.10.2020: Ještě  pokračování v opakování důležitých partií ze středoškolské matematiky - funkce a jejich vlastnosti a grafy, zvláště funkce složené, funkce monotonní na množině M, funkce inverzní k dané funkci.  A z analytické geometrie  - opakování rovnice přímky a roviny. 
  Příklady:  A zde je "můj" výběr příkladů pro cvičení, původně plánovaný pro 2. cvičení  -  výběr příkladů pro 2.cvičení  a moje  řešení1.část  a  řešení 2.část   
  Domácí úkol:   (povinný) du1 - opakování   ( pdf )  a  řešení dú1 (omlouvám se za chybu ve výsledku 1. příkladu - má být x≠-1)  a  (nepovinný)  du2 - analytická geometrie  ( pdf )   (k opakování základních pojmů z analytické geometrie).
  A můžete si zkusit ( a poslat)  1.domácí  zápočtový testík  ( pdf)  - opakování středoškolské matematiky.
• 14.10.2020: Stále ještě opakování - grafy základních funkcí a vlastnosti a grafy funkcí funkcí, složených z těchto základních funkcí - stále jsme  ještě probírali příklady, vybrané z těch ke cvičení 2 - řešení1.část ,  a též (dle přání) příklady z přednášky.
• 20.10.2020: Ještě opakování "vlastností" funkce a pojmu inverzní funkce k dané funkci (příklady  z minulého cvičení - řešení 2.část  ); 
  A z analytické geometrie  - opakování rovnice přímky a roviny. 
  Dále rozšíření "tabulky" základních funkcí - definice a základní vlastnosti t.zv. funkcí cyklometrických, zváště funkcí arcsin x  a  arctg x , jejich vlastnosti a grafy zde .
  Příklady:   příklady-cyklometrické funkce k procvičení, a  řešení příkladů zde .
• 21.10.2020: Limita funkce - cvičení "zápisu" i "čtení"  limit, limita funkce intuitivně jako pomoc při "kreslení" grafu funkcí, a pak výpočet výpočet limit (aritmetika limit, limita složené funkce, věta o limitě sevřené funkce, neurčité výrazy). Spojitost funkce v bodě. 
  Příklady:  limita funkce (větší soubor vhodných příkladů)  a ještě ( pdf ) ;
                   výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení zde;   a výběr - limita funkce "domácí"  .
  
• 27.10.2020: Ještě výpočet limit, zvláště limity v případě "neurčitých výrazů" a složených funkcí, i s cyklometrickými funkcemi. příklady ze cvičení 21.10. .
  Domácí úkol (povinný):   du3 - limita funkce   ( pdf ) (pokud možno, odevzdejte do neděle 1.11.). A moje řešení dú 3
• 28.10.2020 -  je státní svátek 
  Místo "cvičení" jsme měli "hromadnou" konzultatci - počítali jsme limity, zvláště limity složených funkcí a probírali jsme otázky k výpočtu limit z domácímu úkolu 3..
•  3.11.2020: Poznámky k řešením 3. domácího úkolu. Dále ještě výpočet limit, zvláště limity složených funkcí a užití věty o limitě sevřené funkce; dále spojitost funkce, spojité dodefinování funkce v bodě; příklady ze cvičení 21.10. .
  Dále - opakování definice derivace a odvození derivace funkce ln(x) dle definice, také poznámka i derivaci funkce exp(x) a sin(x) v bodě a=0 (užití "tahákovách" limit). 
• 4.11.2020: Výpočet derivací funkce. 
  Příklady:  Derivace funkce 1. (větší soubor vhodných příkladů)  a ještě ( pdf ) ;
• 10.11.2020: Výpočet derivací, zvláště funkcí složených (dle dotazů posluchačů), dále aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití. Příklady z minulého cvičení -  výběr příkladů pro cvičení a jejich řešení  zde .
• 11.11.2020: (cvičení bylo opět  v CH1 po přednášce  - pokračovali jsme v Microsoft Team).
  Příklady  i pro několik dalších cvičení - derivace funkce a užití derivace 2. a ( pdf ) Výpočet derivací "složitějších" funkcí, i cyklometrických, derivací vyšších řádů a "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech (příklady ze cvičení 4.11.); dále aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití. A třeba i  výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla. A možná i vyšetřování průběhu funkce - zatím úvodní jednoduchý příklad. 
  Domácí úkol (povinný): du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace  ( pdf )  (do 22.11.)  a zde je "moje"  řešení dú 4
  a další domácí úkol (povinný)  - zveřejněno pro pokročilé, aby mohli už řešit, vše pro tento úkol probereme, doufám,na cvičeních příští týden. 
  Domácí úkol (povinný):  du5 - průběh funkce  ( pdf  )  (původně do 29.11., prodlouženo do soboty 5.12.))  zde je "moje"  řešení dú5 -1.část ( z průběhů funkcí aspoň některé vybrané příklady), 2.část bude.
• 17.11. 2020 - Mezinárodní den studentstva a státní svátek - ale můžeme mít cvičení "dobrovolné"  - výpočet derivací "složitějších" funkcí, i cyklometrických a derivací vyšších řádů, pokud bude ještě třeba,  "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech (příklady ze cvičení 4.11.); dále aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití.
  A třeba i  výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla a i vyšetřování průběhu funkce..
• 18.11.2020 - plán: Pokračování  z dobrovolného cvičení - výpočet derivací "složitějších" funkcí, derivací vyšších řádů a "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech; dále aplikace derivace funkce v bodě - rovnice tečny ke grafu funkce, lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití. A i výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla. A možná i vyšetřování průběhu funkce - zatím úvodní jednoduchý příklad. 
  A několik řešených příkladů: výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla  zde  a příklady vyšetření průběhu funkce :   průběh funkce 
  A můžete si "vyzkoušet "domácí testíky :  testík limity   a   testík derivace   a ještě jeden (původně opravný) testík derivace 2 se řešením .
• 24.11.2020:  Poznámky k řešení domácího úkolu 4;  spojité "dodefinování funkce a "dopočítávání" derivací funkce ve "špatných" bodech; výpočet limit pomocí l´Hospitalova pravidla. 
• 25.11.2020: Ještě (dle přání) vyšetřování průběhu funkce; dále užití derivace "v bodě" - lineární aproximace funkce, diferenciál a jeho užití, příklad Taylorova polynomu funkce.
•  1.12.2020: Ještě řešení problémů s aplikacemi diferenciálního počtu - ještě příklady průběhu funkce, Taylorův polynom funkce; neurčitý integrál - úvod.
•  2.12.2020: Nejprve jednoduché příklady výpočtu primitivních funkcí k ujasnění, co je primitivní funkce (neboli neurčitý integrál funkce); procvičení "tabulky" základních integrálů; dále primitivní funkce k násobku funkce a součtu funkcí. 
  Příklady i pro další cvičení: Výběr příkladů - neurčitý integrál 1   ( pdf )  a "tahák" - shrnutí "návodů" k výpočtu neurčitých integrálů:  neurčitý integrál .
  A pro další cvičení   "písemné "cvičení s řešenými příklady   zde   a    výběr řešených příkladů 1  .
• 8.12.2020:   Opakování způsobů výpočtu neurčitých integrálů, a jak si vybrat "správnou cestu" k integrálům "známým" a ukázky na řešených příkladech,  kdy lze užít substituci, kdy integraci per partes. Příklady z minulého cvičení.
•  9.12.2020: Neurčitý integrál - výběr příkladů na užití 1.věty o substituci a integrace per partes, jednoduché příklady užití  2.věty o substituci v neurčitém integrálu; 
• 15.12.2020 - plán: Užití  2.věty o substituci při výpočtu neurčitého integrálu; jednoduché příklady integrace racionální funkce a substitucí, vedoucích na integraci racionální funkce. 
  Zadání příkladů (jsou zde i "nepovinné" pro studenty "pokročilé" v integrování) -  neurčitý integrál 2   ( pdf ) , další soubor řešených příkladů  ( 2VS a integrace racionálních funkcí) řešené příklady 2 a dále je zde   výběr příkladů , které by mohly býl "cílem" ve výpočtu neurčitých integrálů (příklady "podobné" těm zkouškovým) a zde jsou jim "podobné" řešené příklady 3  , a ještě navíc řešené příklady 4 -  několik řešených příkladů z Repetitoria 14.12., kdy jsem zapomněla nahrávat.
  Domácí úkol (povinný):  dú6 - neurčitý integrál  ( pdf )  (pokuste se odevzdat do Vánoc) a zde je "moje"  řešení dú6 ;
  navíc si můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
• 16.12.2020: Ještě výpočet "ukázkových" neurčitých integrálů. Dále řešení diferenciálních rovnic lineárních.
  Výběr příkladů -  diferenciální rovnice - příklady  ( pdf )  a několik řešených příkladů  diferenciální rovnice - řešené  , další řešené příklady diferenciální rovnice  - cvičení řešené 1
  Domácí úkol (povinný): dú7 - diferenciální rovnice  ( pdf )  (pokuste se odevzdat do neděle 3.1.2021, jinak lze odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú7
• 22.12.2020: Ještě řešení diferenciálních rovnic, se separovatelnými proměnnými i  lineárních (metoda variace konstant a odhad řešení pro speciální pravé strany); příklady z minulého cvičení.
• 23.12.2020: Ještě řešení diferenciálních rovnic, se separovatelnými proměnnými i  lineárních (metoda variace konstant a odhad řešení pro speciální pravé strany); příklady z minulého cvičení.
  
• 5.1.2021 - plán: Určitý integrál - úvodní příklady výpočtu a aplikací.
  Výběr příkladů - určitý integrál.   a  řešení některých příkladů určitého integrálu - řešené příklady 1  a  řešené příklady 2  (trošku "těžší");
  Domácí úkol (povinný): dú8 - určitý integrál   ( pdf )  (odevzdat "do zápočtu")  a zde je "moje"  řešení dú8.
• 6.1.2021: ještě příklady aplikace určitého integrálu (příklady z minulého cvičení; a příklady k "nepovinnému" cvičení z lineární algebry:
  Výběr příkladů:  Příklady z lineární algebry 1  ( pdf ) (i pro následující cvičení "navíc") 
  Domácí úkol:  du lineární algebra  ( pdf )  - nepovinný domácí úkol ( výběr příkladů, které by bylo dobré zvládnout) 
  
• 24.2.2021 a 25.2 2021 cvičení "navíc" (spolu s Repetitoriem)  - je nahráno v Teams 
  Řešení soustav lineárních rovnic; operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice k řešení soustavy lineárních rovnic;  
  vektorový prostor  - lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi; hodnost matice;
  determinant matice a jeho užití. Příklady z lineární algebry 2  . ( pdf )