Matematika A1, ZS 2017/18

 

 

Zakládací listina Univerzity Karlovy v Praze ze 7.dubna 1348

 

Sylabus a literatura - SIS

Upřesněné požadavky ke zkoušce.

Ukázka zkouškového testu. 

 

 Konzultační hodiny: pondělí 8:00 - 10:00 a i jindy po dohodě ( osobně, e-mailem, telefonem) v pracovně (Albertov 6, 209),  úterý od 16:30 - 18:00 v CH5.
 Konzultační hodiny ve zkouškovém období:    každé pondělí dopoledne "hromadná" konzultace v CH7 - 15.1., 29.1., 12.2.   9:00 - 12:00, 22.1. a 5.2. 8:00-11:00, nebo po dohodě.

Některé vhodné studijní texty, přístupné na internetu:

• A.Klíč a kol.: Matematika I, VŠCHT  zde 
• D.Turzík a kol.: Matematika II, VŠCHT zde
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  - tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde
• J.Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky I, Matfyzpress, 2004  zde 
• skripta k Matematické analýze 1  (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick z KMA MFF UK)
• Texty z VŠB-TUO
• Aplikace diferenciálních rovnic: M.Brzezina, J.Veselý;   L.Hermann;  R.Mařík
• Petr Olšák: Lineární algebra  zde 
  
  

 Příklady můžete čerpat také zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VŠCHT -  Mgr.L.Heřmánek a kol.:  Sbírka příkladů z matematiky I 
• Sbírka KAM MFF UK .
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA MFF UK)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (ve velmi předběžné formě, jak píše prof.L.Pick)
• EULER - Dopravní fakulta ČVUT.
• Sbírka VŠB Ostrava.  
• VUT Brno.

K opakování středoškolské matematiky:

•  J. Polák: Přehled středoškolské matematiky.
  
•  Z. Vošický: Matematika v kostce
•  J. Petáková: Matematika

 

Úvodní soustředění - Albeř:

• Opakovací "test" ze soustředění na Albeři  zde .
• Řešení  příkladů z opakovacího testu zde .
• Řešení těžších "náhradníků" (s hvězdičkami) z opakovacího testu zde ( je to moje pracovní verze řešení "náhradníků" - omluvte, prosím, místy neúhledný zápis) .
• Předpokládané znalosti ze středoškolské matematiky zde .
• Stručné materiály k opakování středoškolské matematiky  - od paní doktorky Jany Rubešové zde . 
• Dotazníček zde.  

 

Přednáška   -    pondělí  14:00 - 15:30 (CH1)   a   středa  12:20 - 13:50  (CH1)
                          (a přednáška je ještě doplněna Repetitoriem MA1)

• 2.10.2017:
• úvod - proč studovat matematiku, matematika jako jazyk přírodních věd (Galileo Galilei, Issak Newton, Gottfried Leibniz);
• hezké čtení:    Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                         John.D.Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)   
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
                         Ian Stewart: Matematika života (Odkrývání tajemství bytí) (Academia 2014, edice Galileo)
• stručně o obsahu přednášky - čím se zabývá diferenciální počet,  integrální počet a dále lineární algebra, jejíž  základy také budeme studovat;  
• několik poznámek k doporučené literatuře;
• jak je výuka organizována - přednáška, cvičení, repetitorium MA1, konzultace; 
• o zápočtu a zkoušce.
•  4.10.2017:
  • ještě k  obsahu přednášky - o "mezních poměrech" a  trošku o "nekonečnu";  
  • co je třeba dobře znát ze středoškolské matematiky - stručné připomenutí těch partií, které budeme potřebovat  (podrobněji na  cvičeních nebo na repetitoriu MA1):
             jazyk matematiky - výrok, definice, matematická věta a její důkaz, metody důkazů;
             základní poznatky z množinového počtu;
             číselné obory N, Z, Q a R; 
             reálná funkce jedné reálné proměnné -  základní pojmy: definiční obor a obor hodnot funkce; funkce lichá, sudá, periodická, monotonní;
             funkce prostá a  funkce inverzní k prosté funkci; funkce složená; grafy funkcí; elementární funkce.  
  • úvodní úvahy o limitě funkce , k čemu mohou pomoci limity funkce;
  • intuitivně  "druhy" limit pomocí grafů známých elementárních funkcí - pojmenování a označení limit ; jednostranné limity; spojitost funkce v bodě;
  • shrnutí  - pokus o graf funkce exp(1/x) 
•  9.10.2017:
  • intuitivně  ještě další "druhy" limit pomocí grafů známých elementárních funkcí a spojitost funkce v bodě;
  • shrnutí  - pokus o graf funkce exp(1/x);
  • ještě další pokusy - grafy funkcí pomocí "odhadu" limit;
  • vzdálenost v R; okolí bodu v R;
  • "pravidla" pro výpočet limit - aritmetika limit  (zatím pro vlastní limity funkcí): věta o limitě součtu, součinu a podílu funkcí; příklady; 
  • věta o limitě složené funkce a věta o limitě funkce sevřené (opět v případě vlastních limit), příklady;
  • spojitost, součtu, součinu a podílu funkcí; věta o limitě, resp.spojitosti, složené funkce;
  • užití věty o limitě sevřené funkce k výpočtu "užitečné" limity funkce  sin x / x  v bodě x₀=0.
• 11.10.2017:
  • aritmetika limit i pro limity nevlastní - věta o limitě součinu a podílu funkcí, příklady; "neurčité výrazy";
  • věta o limitě složené funkce i pro nevlastní limity;
  • příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a  složených funkcí; 
  • věta o limitě sevřené funkce a její modifikace pro nevlastní limitu. příklady.
• 16.10.2017:
  • jak se "dojde" k definicím limit  (a k tomu poznámka o kvantifikátorech); 
  • definice nevlastní limity v nevlastním bodě a  jednoduchý příklad důkazu limity dle definice;
  • definice vlastní limity v nevlastním bodě, příklad důkazu takové limity dle definice;
  • pokračování v definicích limit - definice nevlastní limity ve vlastním bodě a  vlastní limity ve vlastním bodě (i jednostranných limit), jednoduché příklady důkazu limity dle definice; 
  • spojitost (resp. jednostranná spojitost) funkce v bodě a v intervalu;
  • definice limit s užítím okolí bodu.
• 18.10.2017:
  • ještě příklady výpočtu limit, zvláště limity "neurčitých výrazů" a  složených funkcí; 
  • jak se ukáže, že funkce limitu v daném bodě limitu nemá,  nebo že funkce  není v daném bodě spojitá - souvislost  limity  a limit jednostranných;
  • uspořádání limit; limita monotonní funkce; 
  • posloupnost; limita posloupnosti; 
  • jak se ukáže, že funkce limitu v daném bodě limitu nemá,  nebo že funkce  není v daném bodě spojitá - souvislost  limity  a limit jednostranných a Heineho věta;
  • nekonečná řada - konvergentní, resp. divergentní řada, jednoduché příklady; 
  • definice derivace funkce v bodě ; několik příkladů  výpočtu derivací funkcí v bodě;
• 23.10.2017:
  • připomenutí definice derivace funkce v bodě ; několik příkladů  výpočtu derivací funkcí v bodě užitím definice;
  • derivace jako funkce a  pak  odvození derivací elementárních funkcí.   
  • pravidla pro výpočet derivace součtu, součinu a podílu funkcí, derivace funkce složené;
  • věta o souvislosti vlastní derivace a spojitosti funkce v bodě;
  • příklady výpočtu derivací.
• 25.10.2017:
• derivace funkce složené z více než dvou funkcí a derivace funkce f(x)^g(x), příklady;
• "dopočítávání" derivací funkce v bodech, kde nelze derivovat "dle pravidel"  výpočtu derivací  pomocí definice derivace.
• připomenutí pojmu  inverzní funkce, spojitost , limita  a derivace inverzní funkce; 
• definice funkce arcsin x , vyšetření jejích vlastnosti; odvození derivace funkce arcsin x;
• 30.10.2017:
• definice dalších cyklometrických funkcí a jejich vlastností; odvození derivace funkcí arccos x , arctg x a arccotg x;
• příklady výpočtu limit a derivací funkcí, které "obsahují" i funkce cyklometrické;
• derivace vyšších řádů;
• užití derivace  funkce v bodě -  tečna ke grafu funkce.
•  1.11.2017:
• užití derivace  funkce v bodě -  tečna ke grafu funkce - další příklady; 
• lineární aproximace funkce v okolí bodu, kde existuje vlastní derivace; příklady;
• diferenciál funkce - definice a jeho užití, příklady;
• chování funkce v okolí bodu, kde existuje derivace, lokální extrém funkce, nutná  podmínka lokálního extrému;
• pokus o vyšetření vlastností funkce f(x)= x² e^-x  , co "umíme" a co ne a zatím jen  naznačeno:
   l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí;
  užití derivace při vyšetřování vlastností funkce  v intervalu - souvislost znaménka první derivace a monotonie funkce v intervalu (zatím bez důkazu); postačující podmínky pro lokální extrém;
  užití derivace druhého řádu při  vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body);
  a pak dokončení vyšetření průběhu funkce f(x)= x² e^-x.
• 6.11.2017:
• definice - funkce spojitá v intervalu; funkce monotónní; funkce konvexní, resp.konkávní na intervalu I ; inflexní bod grafu funkce; 
• asymptoty grafu funkce;
• l´Hospitalovo pravidlo pro výpočet limit funkcí (bez důkazu); příklady užití l´Hospitalova pravidla;
• užití derivace při vyšetřování vlastností funkce  v intervalu - souvislost znaménka první derivace a monotonie funkce v intervalu (zatím bez důkazu); 
• 8.11.2017:
  • lokální a globální extrémy funkce; postačující podmínky pro lokální extrém;
  • užití derivace druhého řádu při  vyšetřování průběhu funkce ( funkce konvexní, resp. konkávní na intervalu, inflexní body); 
  • shrnutí  vyšetřování průběhu funkce; další příklady vyšetřování  průběhu funkce.
• 13.11.2017:
• vyšetřování globálních extrémů funkce, příklady;
• užití l´Hospitalova pravidla - věta o  "dopočítávání " derivací ve "špatných " bodech, příklady;
• Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a - úvod.
• 15.11.2017:
• Taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) v bodě a  a Taylorova věta; chování  zbytku v Taylorově vzorci pro x→a, Lagrangeův tvar zbytku;
• příklad - Taylorův polynom n-tého stupně v bodě a=0  funkce exp(x), sin x, cos x; odhad chyby v aproximaci exp(x);
• poznámka o Taylorově řadě pro funkce exp(x), sin x, cos x;
• diferenciál funkce - definice a jeho užití, příklady;
• Rolleova věta , Lagrangeova věta o střední hodnotě (i  důkaz) a její důsledky - důkaz věty o souvislosti  znaménka derivace a monotonie funkce na intervalu;
• úvod do integrálního počtu : příklady užití "antiderivování" - odvození vztahu pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu; harmonické kmity.
• 20.11.2017:
• definice primitivní funkce k dané funkci na intervalu, "tabulka" základních primitivních funkcí.
• věta o existenci primitivní funkce (bez důkazu), množina primitivních funkcí k dané funkci na intervalu, spojitost primitivní funkce, neurčitý integrál;
• příklady - primitivní funkce k funkci 1/x  na intervalu (-∞,0)  a  k funkci absolutní hodnota x v R;
• věty o integraci součtu funkcí a násobku funkce, příklady;
• integrace per partes, příklady.
• 22.11.2017:
• integrace per partes - další příklady;
• věty o substituci v neurčitém integrálu; příklady.
• 27.11.2017 - plán:
  • další příklady užití substituce při výpočtu primitivní funkce; 
  • integrace racionálních funkcí - rozklad racionální funkce na jednoduché zlomky, integrace jednoduchých zlomků;
  • příklady integrace racionálních funkcí.
• 29.11.2017:
• integrály funkcí, které se vhodnými substitucemi převedou na integraci funkcí racionálních, příklady.
• 4.12.2017:
  • určitý integrál -  definice Newtonova integrálu; příklady užití - délka dráhy pohybu při proměnné rychlosti;
  • existence a vlastnosti N-integrálu, výpočet N-integrálu pomocí per partes a substituce;
  • definice Riemannova integrálu, nutná podmínka existence, postačující podmínky existence; 
  • Newton-Leibnizova formule pro výpočet R-integrálu;  Riemannův a Newtonův integrál se rovnají pro spojité funkce na uzavřeném intervalu.
• základní vlastnosti R-integrálu: linearita, aditivita, uspořádání;
• integrace per partes a substituce v případě určitého integrálu;
• 6.12.2017:
  • odhady Remannova integrálu; věta o střední hodnotě integrálního počtu;
  • aplikace určitého integrálu - výpočet obsahu plochy "mezi" grafy dvou funkcí, objemu rotačního tělesa, "délky" grafu funkce, odvození a příklady;  
    fyzikální aplikace -  práce proměnné síly.
• diferenciální rovnice - úvod.
• 11.12.2017:
  • diferenciální rovnice  - formulace počáteční úlohy;
  • diferenciální rovnice 1.řádu se separovatelnými proměnnými -  obecné řešení, řešení počáteční úlohy; kdy nastávají "skluzy" řešení (jen stručně);
  • příklady řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými  proměnnými;
• lineární rovnice 1.řádu  - řešení rovnoce homogenní a řešení rovnice s pravou stranou metodou variace konstant.
• 13.12.2017:
  • lineární diferenciální rovnice 1.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy( bez důkazu);
• příklady řešení  lineární rovnice prvního řádu;
• několik příkladů odvození diferenciálních rovnic.
• 18.12.2017:
• úvod k poslední části  probírané látky - čím se zabývá lineární algebra;
• vektorový (lineární) prostor, příklady vektorových postorů, spec. n-rozměrný aritmetický prostor Rⁿ;
• soustava lineárních rovnic  - opakování "středoškolských" metod řešení, a pak zápis soustavy pomocí matice;
• soustavy lineárních rovnic  - na příkladech Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení.
• 20.12.2017 :
• definice násobení matice a vektoru, "nový" zápis soustavy lineárních rovnic; 
• násobení matic, definice inverzní matice ke čtvercové matici;
• soustavy lineárních rovnic - pokračování: nalezení řešení soustavy, zapsané ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, tedy nalezení  inverzní matice ke čtvercové matici a pak odvození Gauss-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice;
• shrnutí toho, co bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - definice uvedených pojmů a otázky, týkající se řešitelnosti rovnic.
• 3.1.2018:
• vektorový prostor -  lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů; definice báze a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi,
  báze a dimense prostoru Rⁿ; 
• hodnost matice, regulární a singulární  čtvercová matice; inverzní matice k matici regulární; lineární prostor matic typu (m,n);
• Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;
•  8.1.2018:
  • lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; 
  • spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklad lineárního zobrazení  - "otočení" vektoru z R² o úhel α , sestavení matice tohoto zobrazení, matice inverzního zobrazení k tomuto zobrazení; matice složeného zobrazení;
• determinant čtvercové matice 2.řádu - odvození ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé.
• definice determinantu (indukcí -  rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce);
• vlastnosti a výpočet  determinantu;
• Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy n rovnic pro n neznámých;
• další užití determinantu; 
• 10.1.2018:
• prostory R² a R³  - definice, připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin), velikost ( norma) vektoru, vzdálenost v prostorech R² a R³;
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, limita, spojitost, derivace, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• reálná funkce dvou  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor; jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných;
• reálná funkce dvou  proměnných -  limita, spojitost, parciální derivace; parciální derivace vyšších řádů; odvození rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných v bodě  (x₀,y₀, f(x₀,y₀) );

 

Cvičení   -   paralelka 01  (úterý 14:50 - 16:20 v CH5  a  středa  9:50 - 11:20 v CH4)

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady):

1.  limita a spojitost funkce
2.  průběh funkce - několik řešených příkladů
3.  neurčitý integrál
4.  diferenciální rovnice

•  3.10.2017:  Informace o cvičení, podmínky pro získání zápočtu -  účast na cvičeních ( 4 absence mohou být neomluveny);  vypracování domácích  úkolů v dohodnutém termínu;  
   získání alespoň poloviny možných bodů z testů, které se budou psát během semestru.
   Opakování středoškolské matematiky -  výběr příkladů dle potřeby posluchačů z opakovacího testu z Albeře ( viz opakovací test ) , dále Příklady 1 - opakování .   
  
•  4.10.2017:  Ještě opakování - řešení rovnic a nerovnic, funkce a jejich vlastnosti, grafy funkcí.
  Domácí úkol:   du1 - opakování  (do středy 17.10.) 
• 10.10.2017: Ještě opakování  -  funkce a jejich vlastnosti, grafy funkcí. Limita funkce -  intuitivně limity "jednoduchých" funkcí, cvičení "zápisu" i "čtení"  limit. 
  Limita funkce - intuitivně i dle definice, cvičení "zápisu" limit "čtení" definic limit.
  Domácí úkol dobrovolný: du2 - analytická geometrie (k opakování základních pojmů z analytické geometrie)
• 11.10.2017: Limita funkce - intuitivně i dle definice, cvičení "zápisu" limit "čtení" definic limit. Příklady - limita funkce a výsledky zde
  Domácí úkol:   du3 - limita funkce   (do středy 1.11.)
• 17.10.2017: Ještě opakování - absolutní hodnota reálného čísla, řešení rovnic a nerovnic (příklady z prvního cvičení), funkce a jejich vlastnosti (zvláště funkce monotonní na množině M).
   Dále limita funkce -  definice, cvičení "zápisu" i "čtení" definic limit, ověřování limit dle definice. 
• 18.10.2017: Ještě poznámky k řešení příkladů z domácího úkolu 1. Výpočet limit  ( aritmetika limit, limita složené funkce, věta o limitě sevřené funkce, neurčité výrazy) ; spojitost funkce.  
• 24.10.2017: Ještě rozbor chyb z domácího úkolu 1. Opakování - pojem funkce inverzní s příklady. Dále výpočet derivací funkce  (zatím lednodušší příklady). 
  Příklady - derivace funkce  
• 25.10.2017: Hlavně derivace funkce - definice a výpočet derivací "složitějších" funkcí (příklady z minulého cvičení), a "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech užitím definice derivace.
• 31.10.2017: Ještě počítání limit složených funkcí, i s  cyklometrickými funkcemi;  výpočet  derivací "složitějších" funkcí.   
•  1.11.2017: Ještě výpočet  derivací "složitějších" funkcí a "dopočítávání derivací ve "špatných" bodech, bude-li třeba. Užití derivace funkce - rovnice tečny ke grafu funkce, pokusy s lineární aproximací     funkce.  Příklady  - derivace funkce a užití derivace 1.
   Domácí úkol: du4 - derivace funkce a některé aplikace derivace  ( do středy 15.11.) 
•  7.11.2017: Poznámky k domácímu úkolu 3. Dále ještě výpočet  derivací "složitějších" funkcí a výpočet limit užitím l´Hospitalova pravidla.  Příklady - derivace funkce a užití derivace 2.
•  8.11.2017: Test 1. - výpočet limit. Výpočet dalších typů limit pomocí l´Hospitalova pravidla; spojité dodefinování funkce v bodě. 
• 14.11.2017: Poznámky k chybám v "testíku" z limit. Vyšetřování průběhu funkce.  Příklady ze cvičení 7.11. .
  Domácí úkol: du5 - průběh funkce  ( do 29.11.)
• 15.11.2017: Spojité dodefinování funkce v bodě a "dopočítávání derivace funkce ve "špatných" bodech. Vyšetřování průběhu funkce. Příklady ze cvičení 7.11..
• 21.11.2017: Ještě vyšetřování průběhu funkce a vyšetřování globálních extrémů funkcí. Dále Talorův polynom a užití diferenciálu funkce. Příklady ze cvičení 1.11. a 7.11. 
  Výpočet primitivních funkcí - jednoduché příklady na začátek. Výběr příkladů - neurčitý integrál 1  
• 22.11.2017: Testík z derivací.  Výpočet neurčitých integrálů  -  jednoduché příklady na začátek. Příklady z minulého cvičení. A zde je opravný testík z derivací (a omlouvám se za pozdní zveřejnění): zápočtový test 2 - opravný
  
• 28.11.2017: Výpočet neurčitých integrálů  - metoda per partes i substituce.  Pomocný text:  neurčitý integrál  Dále vyšetřování globálních extrémů funkcí,Talorův polynom a užití diferenciálu funkce.
• 29.11.2017: Ještě výpočet neurčitých integrálů - metoda per partes i substituce. Integrace racionální funkce - příklady neurčitý integrál 2.
•  5.12.2017:  Integrace racionální funkce ; substituce, vedoucí na integraci racionální funkce - příklady z minulého cvičení a ještě pro kontrolu  toho, co máte zvládnou z výpočtu neurčitých   integrálů -     několik  "jednoduchých" příkladů  zde  .
   Domácí úkol: du6 - neurčitý integrál  a navíc můžete vyzkoušet  Domácí test integrace ( a s výsledky ) .
•  6.12.2017: Ještě výpočet integrálů pomocí substituce, vedoucí na integraci racionální funkce.
• 12.12.2017: Ještě "vhodné" substituce, vedoucí na integraci racionální funkce. 
  
• 13.12.2017:  Ještě stále výpočet integrálů  - hlavně pomocí substituce, vedoucí na integraci racionální funkce.
• 19.12.2017:  Určitý integrál - výpočet, aplikace. Výběr příkladů - určitý integrál.  Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.  Výběr příkladů -  diferenciální rovnice
  Domácí úkol: du7 - určitý integrál
  
• 20.12.2017: Ještě výpočet a aplikace určitého integrálu.
•  3.1.2018:  Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.  Výběr příkladů -  diferenciální rovnice
  Domácí úkol:   du8 - diferenciální rovnice
  
•  9.1.2018: Řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými i lineárních (příklady z minulého cvičení).
• 10.1.2018: Ještě řešení lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu; lineární algebra - Gaussova metoda řešení soustav lineárních rovnic,  vektorový prostor ( lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi), matice (operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice);  výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry .