Rozšíření Matematiky A1 pro biochemiky LS 2022/23

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

 

Sylabus a literatura  - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto studenty "vytvořenému" předmětu, hlavním cílem "Rozšíření matematiky A1" je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností  a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice A1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice, i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii.  Na začátku semestru se ještě navíc rozšiřuje i lineární algebra z MA1 a znalost diferenciálních rovnic o řešení a aplikace lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty (užitečné ve fyzice, spec. v mechanice). A poslední část předmětu je věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů (k předmětu patří i hodina cvičení).

 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  
  

A jak bude probíhat výuka"Rozšíření Matematiky A1" ? 
       První část semináře bude shrnutí a opakování látky, probrané v minulém semináři, pomocí řešení příkladů. Také bude výborné, když budete pomáhat naší výuce  i svými dotazy a náměty, co byste potřebovali vysvětlit znovu a třeba i podrobněji. V druhé části pak probereme další " nové" věci.
      Základní lliteraturou by mohla být  skripta, přístupná i na internetu:  D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde .
A můžete si také přečíst k tomu přednášky, které jsem psala  pro Matematiku A2 v  prvním "on-line" semestru - viz stránka MA2 2020/21 a "opravené" přednášky na stránce  MA2 2021/22  Snažila jsem se v "písemných přednáškách" vedle "přesných" formulací  definic a vět  i o jejich "lidovější" vysvětlení, tak by to mohlo být, doufám, čitelné i pro vás. Navíc, můžete sledovat i záznamy on-line přednášek MA2 z LS 2020/21.
      K hlavním partiím látky budou domácí úkoly s jednoduchými, ale "základními" důležitými příklady, a za jejich  řešení, které odevzdáte, získáte zápočet. K zadání domácích úkolů budete mít vždy i "moje" řešení, které jsem se snažila napsat podrobně, s návody a s výkladem - proč daný problém takto řešíme. Jako kdybychom příklady řešili spolu na cvičení, je to takové "písemné" cvičení.  A ještě poznámka k domácím úkolům - jednak vy je tak podrobně psát nemusíte (jako já) a za druhé, i když bude podrobné řešení zadaného domácího úkolu na "dubu" , tak vaše úkoly budou uznány. Předpokládám, že v matematice pokračujete ne kvůli zápočtu, ale proto, že chcete ještě něco více z matematiky znát, že věříte tomu, že se tím usnadní i pochopení mnohých věcí z fyziky i fyzikální chemie, a tak si nemyslím, že byste opisovali moje řešení a pak mi ho posílali, to by nemělo žádnou cenu.. Nechť je pro vás "moje řešení" domácích úkolů další studijní pomůckou a pomocí, a když budete chtít, tak k vašemu řešení příkladů v úkolu můžete připsat, kde jste potřebovali pomoc a zda vám to moje řešení trošku pomohlo. Tím byste zase hodně pomohli v "učení" také mně. A děkuji vám napřed. 
    A prosím, máte-li jakékoliv dotazy nebo připomínky, ptejte se na seminářích, nebo pište, budu se snažit vše číst a včas odpovídat a pomáhat vám s matematikou. A můžete též využít po domluvě  konzultace, a to i online pomocí Google Meet, kdykoliv budete potřebovat.
 
Záznamy online přednášek z MA2 i písemné materiály k přednáškám MA2 (LS 2020/21)  jsou zde 

Záznamy online  seminářů z letního semestru 2020/21, kdy výuka nemohla být prezenční  jsou  zde .

Podmínky získání zápočtu:
        1.  účast na seminářích (tři absence mohou být neomluveny);
        2.  vypracování aspoň pěti ze zadaných domácích cvičení (na "dubu" nazvaných  "domácí úkoly"), jako splněný úkol se počítá i řešení nějakého problému během semináře "u tabule"; 
             vypracování domácích úkolů může být nahrazeno i závěrečným zápočtovým testem nebo pohovorem (zápočtem ústním), samozřejmě po dohodě.

Matematika  "po částech"  - plán pro Rozšíření MA1:

1. Lineární algebra - rozšíření lineární algebry z MA1:  

• Vektorové (lineární) prostory, zvláště pak Rⁿ  
• definice vektorového (lineárního) prostoru, příklady vektorových prostorů; 
• báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi a užití maticového počtu při nalezení souřadnic vektoru.  
• Lineární zobrazení
• definice lineárního zobrazení vektorového prostoru, příklady nám známých lineárních zobrazení;
• příklady řešené ("písemné" cvičení);
• lineární rovnice - obecný návod pro řešení lineárnéch rovnic, příklady řešení nám již známých lineárních rovnic.

    Příklady k promyšlení a ke cvičení   LA příklady

    Domácí úkol 1.a z lineární algebry:  Dú 1a - LA 1     a   řešení  je   zde.   
    Domácí úkol 1.b z lineární algebry:  Dú 1b - LA 2     a   řešení  je   zde.

2. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu a soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  (s konstantními koeficienty): 

• lineární diferenciální rovnice 2. řádu 
• řešení OLDR 2.řádu "obecně";
• OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - shrnutí viz OLDR 2.řádu - poznámky  z předloňského roku;
• řešené příklady (cvičení)

          Příklady k promyšlení a ke cvičení:   OLDR 2.řádu příklady  (zadání); 
          Domácí úkol 2.:   dú 2 OLDR 2.řádu  -  opět prosím, přečtěte si zadání a můžete psát dotazy. A zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  

           A můžete se i podívat na  zápisy přednášek z MA2 - OLDR 2.řádu :  poznámky k přednášce 2.3.20 a i  k přenášce 4.3.20  zde ;  poznámky k přednášce 9.3.20  zde  ,
           A snad se hodí i  "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
           Materiály pro MA2, ale i pro vás (jednodušší a vysvětlující):  OLDR 2.řádu - poznámky;  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu    a   řešení 1.část  ,  řešení 2.část   . 

• soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu 
• soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - základní informace jsou ve druhé části přednášky  přednáška 11.3.20. - 2.část    a s příklady v přednášce přednáška 16.3.20 
• řešené příklady (cvičení) příloha k přednášce 16.3.20.  a  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu 
  
  

3. Diferenciální počet vektorových  funkce jedné proměnné a funkcí (i vektorových) dvou a tří proměnných.

 Co bychom chtěli probrat:

• vektorové funkce jedné reálné proměnné
• shrnutí - definice, limita, spojitost, derivace 
• příklady řešené (cvičení)
• další příklady a dú 3  ( pdf )  - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné
  a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení)
  
  
• reálné funkce více (dvou a tří) proměnných - přehled základních "věcí", co je "dobré" znát
•  definice, definiční obory, limita (jen velmi stručně);
•  parciální derivace, diferencovatelnost funkce a příklady k procvičení  - zadání  zde   ( pdf ) ; 
• derivace složené funkce a  příklady k procvičení - zadání  zde  ( pdf ) ;
• funkce definované implicitně a příklady k procvičení (i extémů funkcí) - zadání  zde  ( pdf );
• extrémy funkce dvou proměnných.

 Domácí úkoly (domácí cvičení)  (pro procvičení a kontrolu, snad i jako zdroj dotazů): 
             dú 4  ( pdf ) - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných;
                                   a zde je   řešení 4. domácího úkolu - první část;  a  řešení 4. domácího úkolu - druhá část;
             dú 5  ( pdf ) - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných;
                                   a zde je řešení 5. domácího úkolu  - první část  a  řešení 5. domácího úkolu  - druhá část
             dú 6  ( pdf ) - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných 
                                   a "moje" dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce); dú 6 - řešení 2.část (extrémy).

A můžete se podívat i na zápisy přednášek pro MA2 na tato témata: 
            úvod, vzdálenost v Rⁿ , příklady funkcí dvou proměnných vektorové funkce jedné proměnné - přednáška 18.3.20 (první část)  ,  přednáška 18.3.20 (druhá část) ;
            limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáška 23.3.20. ;
            funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.5.20.; derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.20.;  
            vektorové funkce více proměnných - přednáška 1.4.20. ;
            funkce implicitně definované -   přednáška 6.4.20 a  přednáška 8.4.20. ;
            extrémy funkcí dvou proměnných -  přednáška 15.4.20.
  

4. Dvojný a trojný integrál:

• připomenutí definice, existence a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné
• dvojný integrál Riemannův
  •  dvojný integrálu "přes" obdélník - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast a opět - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta; substituce do polárních souřadnic;
    a výběr příkladů k procvičení  zde  ( pdf )
• trojný integrál Riemannův 
• trojný integrál - definice, aplikace, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta pro integrál trojný;
• substituce - souřadnice válcové a sferické;soubor ukázkových řešených příkladů "místo" cvičení;
  a výběr příkladů k procvičení  zde  ( pdf ) 

       Domácí úkol (domácí cvičení):  (opět pro procvičení a kontrolu, a i jako zdroj dotazů):
                   dú 7  ( pdf ) - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby)  dú 7 - řešení
                   dú 8  ( pdf ) - integrál trojný (výpočet a aplikace) a "moje" řešení  dú 8 - řešení

        A přednášky pro MA2 - snažím se zde o "srozumitelnost", tak snad i vám mohou pomoci:
                   opakování R-integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník  - přednáška 20.4.20    ;  a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů  zde  ;
                   dvojný integrál přes měřitelnou oblast  - přednáška 22.4.20. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4.20.         
                   trojný integrál - přednáška 29.4.20.  a  substituce do válcových, resp. sferických souřadnic - přednáška 4.5.20 - 1.část 

5. Křivkový integrál:

• křivkový integrál skalární funkce
  • definice křivky v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
  • příklady aplikací  a výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
     
• křivkový integrál vektorové funkce 
  • definice, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce; 
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál;
  • nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole;
• a výběr příkladů k procvičení  křivkových integrálů  zde  ( pdf ) 

        Domácí úkol (domácí cvičení): 
                   dú 9  ( pdf ) - křivkový integrál a  "moje" řešení  dú 9 - řešení

        A přednášky pro MA2  - snad se hodí i vám:
                   úvod ke křivkovému integrálu přednáška 4.5.20 - 2.část; definice křivky, křivkového integrálu skalární funkce; 
                   křivkový integrál funkce vektorové -  přednáška 6.5.20. ;  potenciální vektorová pole, potenciál -  přednáška 11.5.20..

6. Nevlastní Riemannův integrál.

7. Nekonečné řady.

Semináře:

• Seminář 14.2.2023: 
       Úvod  - "co"  a "jak" budeme studovat v Rozšíření MA1; návrh "organizace" tříhodinových setkávání s matematikou - začínat budeme opakováním a řešením příkladů a problémků k minulé "nové" látce, asi tak hodinu a čtvrt, a pak bude hodina "nového".
       Návrh podmínek pro získání zápočtu (upřesnění příště) - účast na seminářích, domácí cvičení pomocí zadaných domácích úkolů, a případně místo domácích úkolů tři testy, nebo, domácí úkol může být nahražen "referátem" na semináři, kde bude ukázáno řešení zadaných příkladů či problémů.
        Co jsme probrali - definici vektorového prostoru a podprostoru, příklady vektorových prostorů, definici a příklady báze a dimenze vektorového prostoru, na závěr bylo naznačeno, co jsou souřadnice vektoru vzhledem k dané bázi. Dále definice lineárního zobrazení mezi vektorovými prostory, příklady lineárních zobrazení a úvod k "obecnému" návodu, jak řešit lineární rovnici (ve vektorovém prostoru).
  
  
• Seminář 21.2.2023:
        Cvičení: zopakování základních pojmů z minulé "přednášky", pak řešení příkladů - báze vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi  transformace souřadnic při změně báze v R³ i obecněji; dále lineární zobrazení - příklady lineárních zobrazení z Rⁿ do R^m, i zobrazení, které není lineární (nutná podmínka linearity zobrazení); 
        Přednáška: Ještě k  lineárnímu zobrazení - zobrazení z Rⁿ do R^m je dáno maticí zobrazení, a jak tuto maticí daného zobrazení "najít";  příklady - transformace souřadnic v Rⁿ jako lineární zobrazení, změna matice zobrazení při změně báze v Rⁿ, resp. R^m ; n-dimenzionální lineární prostor V  je izomorfní s prostorem Rⁿ , tj. "přiřadíme-li" každému prvku n-dimenzionálního prostoru V vektor jeho souřadnic vzhledem ke zvolené bázi prostoru V,  toto zobrazení je prosté a na Rⁿ , je lineární  ("zachovává" sčítání i násobení konstantou). 
  
  
• Seminář 28.2.2023:
       Cvičení: příklady lineárních zobrazení z Rⁿ do R^m , souvislost vlastností lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m s vlastnostmi matice tohoto zobrazení; připomenutí  obecného návodu na řešení lineární rovnice na řešení soustavy lineárních rovnic; příklad změny matice zobrazení při změně báze v Rⁿ, resp. R^m ; připomenutí  obecného návodu na řešení lineární rovnice  a ověření tohoto návodu na řešení soustav lineárních rovnic.
       Přednáška: Stručně o vlastních číslech a vlastních vektorech matice - bude v příštím semináři. Dále pak už k další kapitole - úvod k OLDR 2.řádu: příklady OLDR 2.řádu z fyziky, formulace počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu;  "obecný" návod pro řešení OLDR 2.řádu jako aplikace "rad" lineární algebry; formulace věty o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu a odtud (zatím bez odvození) - množina řešení přístušné homogenní rovnice je podprostor prostoru C⁽¹⁾(a,b) dimenze 2, fundamentální systém řešení homogenní OLDR 2.řádu ;  řešení rovnice s pravou stranou - zatím jen "naznačení" metody variace konstant.

• Seminář 7.3.2023:
      Cvičení: Ještě příklad souvislosti vlastností lineárního zobrazení z Rⁿ do R^m s vlastnostmi matice tohoto zobrazení; připomenutí obecného návodu na řešení lineární rovnice na příkladu řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic, kde hodnost matice soustavy je menší než počet neznámých. Definice vlastního čísla a vlastního vektoru čtvercové matice a procvičení na příkladech.
      Přednáška: Nejpve stručné připomenutí "návodu" pro řešení OLDR 2.řádu - řešení homogenní rovnice je podprostor prostoru C²(a,b) dimenze 2, co je fundamentální systém řešení homogenní rovnice; řešení nehomogenní OLDR 2.řádu metodou variace konstant; dále OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - návod k určení fundamentálního systému  (stihli jsme to jen v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice).
  
  
• Seminář 14.3.2023: 
       Cvičení: Ještě dodatek k vlastním číslům a vlastním vektorům matice (n,n) pro případ navzájem různých reálných vlastních čísel matice - determinant matice je roven součinu vlastních čísel,  vlastní vektory v tomto případě tvoří bázi prostoru Rⁿ a matice uvažovaného lineárního zobrazení v této bázi je diagonální. Pak zopakování "teoretického návodu" na řešení OLDR 2.řádu; řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě různých reálných kořenů charakteristické rovnice, s pravou stranou, pro kterou je výpočet partikulárního řešení metodou variace konstant jednoduchý.
       Přednáška: Dokončení výkladu o řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty: fundamentální systém řešení pro případ dvojnásobného kořene, resp. komplexních kořenů charakteristické rovnice, metoda odhadu pro výpočet partikulárního řešení rovnice se speciálními pravými stranami, jednoduché příklady. Dále stručné zopakování komplexních čísel a jejich vlastností, zavedení komplexní exponenciely.a pak užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice. 
  
  
•  Seminář 21.3.2023:
       Cvičení:  Příklady řešení počátečních úloh pro OLDR 2. řádu s konstantními koeficiety, i příklad užití komplexních exponenciel, i dle dotazů posluchačů. Odhad partikulárního řešení pro speciální pravé strany.
       Přednáška: Jen stručně o řešení počáteční úlohy pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty (s příklady řešení soustavy dvou rovnic). Dále úvod k diferenciálnímu počtu vektorových funkcí jedné reálné proměnné - zavedení metriky v prostoru Rⁿ , limita, spojitost, derivace vektorové funkce jedné proměnné, jednoduché příklady. .
      
• Seminář 28.3.2023:
       Cvičení:  Připomenutí zavedení a vlastností komplexních čísel a početních operací v oboru komplexních čísel.  Jen "stručně" zavedení komplexní exponenciely a její užití při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty. 
       Přednáška: Jen "stručně" zavedení komplexní exponenciely a její užití při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty(s jednoduchými příklady). Dále úvod k diferenciálnímu počtu funkcí více proměnných - "jak rozšíříme" diferenciální počet reálných funkcí jedné proměnné, probraný v MA1; pak první "zobecnění" - diferenciální počet vektorových funkcí jedné reálné proměnné: zavedení metriky v prostoru Rⁿ , limita, spojitost a derivace vektorové funkce jedné proměnné, jednoduché příklady. 

• Seminář 4.4.2023:
      Cvičení: Ještě poznámka u užití  soustav OLDR 1. řádu - souvislost lineární diferenciální rovnice 2.řádu a soustavy dvou lineárních rovnic 1.řádu. Dále příklady vektorových funkcí jedné proměnné, výpoče limit a derivací vektorových funkcí jedné proměnné. 
      Přednáška: Ještě poznámky k vektorovým funkcím jedné proměnné a příklady; dále reálné funkce více proměnných - úvod ( metrika, konvergence v  Rⁿ , intuitivně limita a spojitost funkce více proměnných v bodě, otázky - co budeme potřebovat upřesnit ( v jakých bodech můžeme uvažovat limity a spojitost funkce více proměnných); pak jsme jestě stihli definovat parciální derivace reálné funkce několika proměnných a ukázat si jednoduché příklady výpočtu parciálních derivací funkce dvou proměnných. 
    
• Seminář 11.4.2023:
       Cvičení bylo "spojeno" s přednáškou, upřesnili jsme to, co jsme stručně uvedli v minulé přednášce, a pak jsme si nové pojmy (viz přednáška) ukázali na jednoduchých příkladech, většinou na množinách v R² a u funkcí dvou proměnných. U jednoduchých reálných funkce dvou a tří proměnných jsme našli  jejich definiční obory, představili si grafy, intuitivně určili limity a vyšetřili spojitost funkce (upřesnění definic a věty o limitách a spojitosti bylo v přednášce), počítali jsme i parciální derivace funkcí dvou a tří proměnných.
        Přednáška: Množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod množiny; definice limity a spojitosti reálné funkce několika proměnných, jednoduché příklady výpočtu limity funkce více proměnných (cvičení); parciální derivace reálné funkce několika proměnných - připomenutí definice, další příklady výpočtu parciálních derivací funkce; parciální derivace vyšších řádů, záměnnost parciálních derivací, příklady.
       Úvodní poznámky  "před"  definicí a pak definice funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných); funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá; gradient, rovnice tečné roviny ke grafu diferencovatelné funkce dvou proměnných a lineární aproximace reálné funkce dvou proměnných; má-li funkce dvou proměnných v bodě spojité obě parciální derivace 1.řádu, pak má v tomto bodě totální diferenciál; příklady budou příště. 
         A k "domácímu" procvičení se hodí ten  dú 4  ( pdf ) - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných).
  
  
• Seminář 18.4.2023:
      Cvičení: Souhrnné opakování dosud probraných pojmů u funkcí více proměnných, zvláště diferencovatelnosti funkce v bodě, pak příklady výpočtu parciálních derivací funkcí dvou a tří proměnných, totálního diferenciálu funkce a jeho užití k lineární aproximaci funkce, dále příklady rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných.
      Přednáška: Derivace ve směru - definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce a jednoduché příklady; úvodní poznámky k derivování složené funkce více proměnných. - "řetízkové pravidlo", jednoduché příklady. Dále definice (nebo spíše vysvětlení, co je) -  funkce implicitně definovaná rovnicí F(x,y) = 0, věta o implicitní funkci, a snad stihneme i jednoduchý příklad. 
       A příklady (i se řešením) k domácímu cvičení jsou v domácích úkolech 4 a 5. Procvičení nových věcí z přednášky procvičíme za týden, tedy 25.4..
  
  
• Seminář 25.4.2023:
      Cvičení: opakování základních pojmů z diferenciálního počtu dle dotazů posluchačů, příklady výpočtu a aplikací derivace ve směru, pak formulace vzorce pro derivování složené funkce více proměnných (řetízkové pravidlo), a příklady užití řetízkového pravidla. 
      Přednáška: implicitně definované funkce jedné proměnné - definice, věta o implicitní funkci; dále implicitně definovaná funkce dvou proměnných a též věta o implicitní funkci dvou proměnných; výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, jednoduché příklady; dále stručně o extrémech funkcí dvou proměnných, jednoduché příklady.
        A příklady (i se řešením) k domácímu cvičení jsou v domácích úkolech 5 a 6.
  
  
• Seminář 2.5.2023:
      Cvičení: Zopakování vět o implicitní funkci jedné a dvou proměnných, jednoduché příklady. Jen stručně - základní poznatky o extrémech funkcí dvou porměnných, jednoduché příklady.
      Přednáška: Úvod k "zobecnění" určitého integrálu interálu Newtonova i Riemannova na dvojný a trojný Riemannův integrál a na křivkový integrál skaláru a vektoru, co tyto integrály "modelují", cesta k definicím. 
           A příklady (i se řešením) k domácímu cvičení jsou v domácích úkolech 6 (funkce implicitně definované a extrémy) a 7 (dvojný integrál).
  
  
• Seminář 9.5.2023:
      Cvičení: Upřesnění definice dvojného integrálu nejprve pro obdélník, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniho věta, pak zobecnění na integrál přes "základní" měřitelné oblasti.  Substituce ve dvojném integrálu do polárních souřadnic, příklady výpočtu a aplikací dvojného integrálu; pak jen stručně - "cesta" k integrálu trojnému, co je "stejné " jako u integrálu dvojného, výpočet - Fubiniova věta pro integrál trojný na jednoduchých příkladech; substituce v trojném integrálu - souřadnice cylindrické a sferické.
      Přednáška: Křivkový integrál skaláru - jen stručně a jednoduše definice, existence a výpočet, pak opět jen stručně o křivkovém integrálu vektoru.
  A příklady (i se řešením) k domácímu cvičení jsou v domácích úkolech 7 (dvojný integrál), 8 (trojný integrál) a 9 (křivkový integrál).