Rozšíření Matematiky A1 pro biochemiky LS 2019/20
Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209
Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz
SOS linka : mobil 604 268 425
Sylabus a literatura - SIS
Jak se píše v anotaci k tomuto studenty "vytvořenému" předmětu, hlavním cílem "Rozšíření matematiky A1" je co nejjednodušší vysvětlení významu, vlastností a aplikací základních důležitých pojmů z diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných, což by mělo být po Matematice A1 další pomocí v pochopení užití matematiky jako jazyka ve fyzice, i v chemii, zvláště, ale nejen, ve fyzikální chemii. Ještě navíc se rozšiřuje znalost diferenciálních rovnic - seznámení s řešením lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu (s konstantními koeficienty) (užitečné ve fyzice, spec.v mechanice). A poslední část předmětu je věnována aspoň základním informacím o nevlastním integrálu a nekonečných řadách.
Pomoci pochopit tyto pojmy by mělo i řešení jednoduchých a "průhledných" příkladů (k předmětu patří i hodina cvičení).
Některé vhodné studijní materiály, přístupné na internetu:
- A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT zde
- D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT zde
- FEL ČVUT: P.Olšák: Lineární algebra zde
- FEL ČVUT: J Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
- FEL ČVUT: J Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných zde
Příklady můžete čerpat zde:
- N.Krylová, M.Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky.
- VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
- sbírka KAM MFF
A "Rozšíření Matematiky A1" v současném přerušení výuky?
Na začátku semestru, kdy jsme se ještě vídali na seminářích, jsme stačili probrat (trošku se to lišilo v jednotlivých paralelkách, někdy se pracovalo podle přání posluchačů)
dodatky k lineární algebře (co jsme nestihli v MA1) a u lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu s konstantními koeficienty aspoň "návod" k řešení. A vzhledem k dotazům posluchačů
(v souvislosti s tím, co "bylo" ve fyzice) jsme již trošku mluvili o funkcích více proměnných a parciálních derivacích. A více už jsme před přerušením výuky nestihli.
A teď se musím vám všem, kdo jste se rozhodli pro "Rozšíření" , omluvit, že jsem nestačila v rámci současné komplikované situace ve výuce připravovat výuku i pro vás. A snad to napravím, a pomohu vám zvládnou z matematiky to, co jste si přáli.
Navrhuji, abyste si zatím četli v rámci samostudia skripta docenta Turzíka, jsou přístupná na internetu: D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT zde , a můžete si také přečíst k tomu přednášky, které "píšu" pro Matematiku A2 - viz http://matematika.nadubu.cz/index.php?id=35 . Snažím se v "písemných přednáškách" vedle "přesných" formulací definic a vět i o jejich "lidovější" vysvětlení, tak by to mohlo být, doufám, i čitelné pro vás.
A k tomu budu pro vaše "Rozšíření MA1" dávat sem stručné shrnutí každé "kapitoly" (dalo by se říci, takový "tahák") se základními poznatky a vždy k tomu soubor příkladů řešených s návody i neřešených jako cvičení pro vás. Snad začátek bude hotov do konce tohoto týdne.
Připravím též k hlavním částem látky domácí úkoly s jednoduchými, ale "základními" důležitými příklady , a za jejich řešení, které mi pošlete, byste získali zápočet. Po termínu odevzdání úkolů bych zveřejnila i jejich řešení, abyste si mohli vaši práci sami zkontrolovat a, pokud bude třeba, i opravit.
A prosím, pište, máte-li jakékoliv dotazy nebo připomínky, budu se snažit vše číst a včas odpovídat a pomáhat vám s matematikou. A doufám, že už brzy bude v provozu i "Google classroom" pro vás, učím se. A budeme tak moci komunikovat lépe.
Matematika - "po částech" .
1. Lineární algebra - dodatek k MA1 a shrnutí:
- Vektorové (lineární) prostory, zvláště pak Rn
- shrnutí
- příklady ("místo" cvičení)
- Maticový počet
- shrnutí
- příklady ("místo" cvičení)
- Soustavy lineárních rovnic
- Gaussova eliminační metoda;
- řešení soustavypomocí inverzní matice k matici soustavy;
- řešení soustav lineárních rovnic užitím determinantů;
- příklady ("místo" cvičení)
- Lineární zobrazení
- shrnutí
- příklady (cvičení)
Výběr příkladů z lineární algebry (nabídka, co dělat z LA): Příklady LA1; Příklady LA2; a dále "domácí" test : Domácí test z LA
Domácí úkol 1.: Dú 1 - lineární algebra a řešení Dú1 (i s návody a vysvětlením) Dú 1 - řešení a dodatek k řešení Dú1
2. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu a soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu (s konstantními koeficienty):
- lineární diferenciální rovnice 2. řádu
- řešení "obecně"
- LODR 2.řádu s konstantními koeficienty - shrnutí
- soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu
- soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - základní informace
- příklady (cvičení)
A můžete se i podívat na zápisy přednášek z MA2 - OLDR 2.řádu : Poznámky k přednášce 2.3. a i k přenášce 4.3. zde ; Poznámky k přednášce 9.3. zde ;
Materiály pro MA2, ale i pro vás (jednodušší a vysvětlující): OLDR 2.řádu - poznámky; zadání příkladů lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu a řešení 1.část , řešení 2.část ;
A příklady pro "Rozšíření" : OLDR 2.řádu příklady (zadání);
Domácí úkol 2.: OLDR 2.řádu - 2.dú - opět prosím, přečtěte si zadání a můžete psát dotazy. A zde je "moje" řešení 2. domácího úkolu
A k tomu bych vám ještě ráda řekla, že jsem se snažila napsat řešení podrobně, s návody a s výkladem - proč daný problém takto řešíme. Jako kdybychom počítali řešení diferenciálních rovnic spolu na cvičení, tak jsem si to při psaní představovala. Je to takové "písemné" cvičení, a pokud by se vám takto sepsaná řešení zamnouvala, udělala bych takové "cvičení" a shnutí ke každé kapitole. A ještě poznámka k domácím úkolům - jednak vy je tak podrobně psát nemusíte (jako já) a za druhé, i když už bude podrobné řešení zadaného domácího úkolu na "dubu" , tak vaše úkoly budou uznány i poté. Předpokládám, že v matematice pokračujete ne kvůli zápočtu, ale proto, že chcete ještě něco více z matematiky znát, že věříte tomu, že se tím usnadní i pochopení mnohých věcí z fyziky i fyzikální chemie, a tak si nemyslím, že byste opisovali moje řešení a pak mi ho posílali, to by nemělo žádnou cenu.. Nechť je pro vás "moje řešení" domácích úkolů další studijní pomůckou a pomocí, a když budete chtít, tak k vašemu řešení příkladů v úkolu můžete připsat, kde jste potřebovali pomoc a zda vám to moje řešení trošku pomohlo. Tím byste zase hodně pomohli v "učení" také mně. A děkuji vám napřed.
3. Diferenciální počet vektorových funkce jedné proměnné a funkcí (i vektorových) dvou a tří proměnných:
- vektorové funkce jedné reálné proměnné
- shrnutí - definice, limita, spojitost, derivace
- příklady řešené (cvičení)
- další příklady a dú 3 - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné a zde je "moje" řešení 3. domácího úkolu (opět jsem se snažila i o návody a vysvětlení)
- reálné funkce více (dvou a tří) proměnných - přehled základních "věcí", co je "dobré" znát
- definice, definiční obory, limita (jen velmi stručně) a příklady;
- parciální derivace, diferencovatelnost funkce a řešené příklady;
- derivace složené funkce a řešené příklady;
- funkce definované implicitně a řešené příklady;
- extrémy funkce dvou proměnných a řešené příklady;
A zde je výběr neřešených příkladů pro procvičení (řešení bude zde také):
Domácí úkoly (pro procvičení a kontrolu, snad i jako zdroj dotazů):
dú 4 - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných; a zde je řešení 4. domácího úkolu - první část; a řešení 4. domácího úkolu - druhá část
dú 5 - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných; a zde je řešení 5. domácího úkolu - první část a řešení 5. domácího úkolu - druhá část
dú 6 - funkce, definované implicitně; extrémy funkcí dvou proměnných;
A můžete se podívat i na zápisy přednášek pro MA2 na tato témata:
úvod, vzdálenost v Rn , příklady funkcí dvou proměnných vektorové funkce jedné proměnné - přednáška 18.3. (první část) , přednáška 18.3. (druhá část) ;
limita, spojitost a parciální derivace funkce více proměnných - přednáka 23.3. ;
funkce diferencovatelná, totální diferenciál - přednáška 25.5.; derivace složené funkce více proměnných - přednáška 30.3.; vektorové funkce více proměnných - přednáška 1.4. ;
funkce implicitně definované - přednáška 6.4. a přednáška 8.4. ;
extrémy funkcí dvou proměnných - přednáška 15.4.
4. Dvojný a trojný integrál:
- připomenutí definice, existence a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné
- dvojný integrál Riemannův
- dvojný integrálu "přes" obdélník - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta;
- dvojný integrál přes měřitelnou oblast a opět - definice, aplikace, existence, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta; substituce do polárních souřadnic;
- trojný integrál Riemannův
- trojný integrál - definice, aplikace, vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta pro integrál trojný;
- substituce - souřadnice válcové a sferické;soubor ukázkových řešených příkladů "místo" cvičení.
A výběr příkladů pro procvičení (bude):
Domácí úkol: (opět pro procvičení a kontrolu, a i jako zdroj dotazů):
dú 7 - integrál dvojný (výpočet a aplikace) a zde je "moje" řešení (prosím, napište, najdete-li chyby) dú 7 - řešení
dú 8 - integrál trojný (výpočet a aplikace);
A přednášky pro MA2 - snažím se zde o "srozumitelnost", tak snad i vám mohou pomoci:
opakování R-integrálu funkce jedné proměnné a dvojný integrál přes obdélník - přednáška 20.4. ; a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů zde ;
dvojný integrál přes měřitelnou oblast - přednáška 22.4. a substituce do polárních souřadnic - přednáška 27.4. ;
trojný integrál - přednáška 29.4. a substituce do válcových, resp. sferických souřadnic - přednáška 4.5. - 1.část
5. Křivkový integrál:
- křivkový integrál skalární funkce
- definice křivky v R3(R2), délka křivky;
- definice křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
- příklady aplikací a výpočtu křivkového integrálu skalární funkce.
- a vektorové funkce, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární i vektorové funkce; příklady.
- křivkový integrál vektorové funkce
- definice, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce; příklady;
- nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady;
- nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
- výpočet potenciálu vektorového pole, příklady.
A výběr příkladů pro procvičení(bude):
Domácí úkol:
dú 9 - křivkový integrál
A přednášky pro MA2 - snad se hodí i vám: úvod ke křivkovému integrálu přednáška 4.5. - 2.část; definice křivky, křivkového integrálu skalární funkce, a křivkový integrál funkce vektorové - přednáška 6.5. ; potenciální vektorová pole, potenciál - přednáška 11.5..
6. Nevlastní integrál funkce jedné proměnné:
- nevlastní integrál přes neomezený interval
- definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
- vyšetřování konvergence nevlastního integrálu přes neomezený interval;
- nevlastní integrál z neomezené funkce
- definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
- vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady.
A přednáška pro MA2 - snad se hodí i zde: přednáška 13.5. a "tahák" (nebo-li stručné shrnutí "dlouhé" přednášky) i s dalšími příklady - nevlastní integrál .
7. Nekonečné řady - základní poznatky:
- nekonečné číselné řady
- definice konvergentní, resp. divergentní řady; jednoduché příklady;
- vyšetřování konvergence řady - nutná podmínka konvergence řady, kriteria konvergence řady s nezápornými členy, a (jen stručně) absolutní a neabsolutní konvergence řady.
- nekonečné řady funkcí - jen stručný úvod
- úvodní poznámky;
- mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence, základní vlastnosti mocninných řad; mocninná řada je Taylorovou řadou svého součtu;
- a jen velmi stručně o Fourierových řadách.
A přednášky pro MA2 - snažím se i zde o "srozumitelnost", tak snad i vám mohou být užitečné, pokud se budete chtít s nekonečnými řadami trošku seznámit:
číselné řady - přednáška 18.5. a dodatek k přednášce 18.5. (důkazy některých kriterií konvergence - pro zájemce),
řady funkcí - stručný úvod do teorie řad funkcí , a trošku o řadách mocninných a Fourierových, což jsou řady důležité v aplikacích: přednáška 20.5.
A ještě třeba bude užitečné:
nekonečné řady - "tahák" a nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady.