Matematika A2, LS 2019/20

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz

SOS linka : mobil 604 268 425

Sylabus a literatura - SIS

Konzultační hodiny: po přednášce ve středu 9:45 - 10:30 v CH1 a také po dohodě v pracovně (Albertov 6, místn. 209).
Navíc, v úterý 8:10 - 9:40 se koná v posluchárně G1 (budova Albertov6) Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k opakování, a dle potřeby i ujasnění, látky,
probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím.

Zkoušky :

Požadavky ke zkoušce - upřesněné - zde
Ukázkové příklady zkouškového testu - zde
Ukázkový test zde

Některé vhodné studijní materiály, přístupné na internetu:

A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT zde
D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT zde
FEL ČVUT: P.Olšák: Lineární algebra zde
FEL ČVUT: J Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
FEL ČVUT: J Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných zde

Příklady můžete čerpat zde:

N.Krylová, M.Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky.
VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
sbírka KAM MFF

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

nevlastní integrál
nekonečné řady - "tahák"
nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2018/2019:
Příklady z lineární algebry 1 ;  Příklady z lineární algebry 2 ; Cvičení-komplexní čísla.   OLDR 2.řádu a soustavy OLDR 1.řádu. ;
Funkce více proměnných 1.  ;  Funkce více proměnných 2. ;  Funkce více proměnných 3. ;   Dvojný integrál ; Trojný integrál ;  Křivkový integrál 1. ;  Křivkový integrál 2.
a do "budoucna" jsou zde i Nevlastní integrál a  Nekonečné řady .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2018/2019 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky):
Dú1 - lineární algebra 1 ;  Dú2 - lineární algebra 2 ;   Dú3 - koplexní čísla ; Dú4  - OLDR 2.řádu ;  Dú 5 - soustavy OLDR 1.řádu;  1."domácí" zápočtový test ;
Dú 6 - vektorové funkce jedné proměnné, definiční obory funkcí dvou proměnných a  Dú 7 - diferenciální počet funkcí více proměnných 1;  Dú 8 (derivace složené funkce);
Dú 9 (funkce, definované implicitně);  Dú 10 (extrémy funkcí dvou proměnných);  Dú11 (dvojný a trojný integrál);  Dú 12 (křivkový integrál); Dú 13 (nevlastní integrály) ;
Dú 14 (nekonečné řady).

A zde budou řešení některých domácích úkolů, některé budou pro Rozšíření Matematiky A1 (RMA1) pro biochemiky a medicinální chemiky, ale třeba se "hodí" i pro MA2:
Dú 1(pro RMA1) - řešení

Přednáška - pondělí 10:40 - 12:10 (CH1) a středa 8:10 - 9:40 (CH1) :

17.2.2020:
- Úvod - o obsahu přednášky;
- lineární algebra podruhé - shrnutí a zopakování základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1:
- a podrobněji:
  - vektorový prostor - lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů; definice báze a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi,
    báze a dimense prostoru Rⁿ;
  - hodnost matice, regulární a singulární čtvercová matice; inverzní matice k matici regulární; lineární prostor matic typu (m,n);
  - Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic.
19.2.2020:

lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení;
příklady lineárních zobrazení;
obecný postup při řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech;
a dále (co jsme nestihli v MA1) - determinant čtvercové matice 2.řádu - odvození ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé;
definice determinantu čtvercové matice (indukcí - rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce).

24.2.2020:

ještě k determinantu - vlastnosti a výpočet determinantu;
Cramerovo pravidlo pro řešení čtvercové soustavy rovnic; další užití determinantu;
lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení - úvod.

26.2.2020:

lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení;
souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ;
vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice a příklady - jen reálná vlastní čísla navzájem různá;
lineární rovnice druhého řádu - úvod - "obecný návod" pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic ).

2.3.2020:

lineární rovnice druhého řádu - dva příklady ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
lineární rovnice druhého řádu - "obecný návod" pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic );
aplikace "obecného návodu" pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu - věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je lineární prostor dimenze 2 - důkaz; fundamentální systém řešení homogenní rovnice;
řešení nehomogenní rovnice metodou variace konstant.
Poznámky k přednášce a i k přenášce 4.3. zde .

4.3.2020:

návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních);
řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty a s nulovou pravou stranou - jednoduché příklady; a jako "návod" k nalezení fundamentálního systému v případě komlexních kořenů - řešení rovnice harmonických kmitů;

OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - příklad výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant;
úvodní příklad k metodě odhadu partikulárního řešení pro pravou stranu f(x)=exp(-2x).
Poznámky k přednášce jsou u přednášky 2.3. (Díky nespněnému plánu 2.3)..

9.3.2020:

metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady;
opakování základních poznatků o komplexních číslech.
Poznámky k přednášce zde (původně k minulé přednášce, omlouvám se) a ještě je zde pro domácí cvičení několik zadání příkladů lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu a jejich řešení (ještě doplním, chybí řešení posledních dvou příkladů).

11.3.2020 - přednáška se nekonala vzhledem ke zrušení výuky.
- To, co by bylo odpřednášeno, kdyby nebyla výuka zrušena, můžete podle "plánu přednášek" sami studovat z doporučené literatury, specielně skript VŠCHT. Já k tomu připravím i texty přednášek, snad Vám při samostudiu budou trošku pomáhat. jen prosím, o trpělivost, zatím jsem to nestihla, a tak se moc omlouvám. Zatím můžete cvičit řešení diferenciálních rovnic a komplexní čísla a funkce.
  Zde je "domácí cvičení" z lineáních diferenciálních rovnic 2.řádu (už bylo zadáno a částečně vyřešeno v zápisu přednášky z 9.3.) :
  zadání příkladů lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu a řešení 1.část a řešení 2.část
  a zde je ještě několik poznámek - OLDR 2.řádu - poznámky, které by mohli třeba také pomoci v pochopení způsobu řešení OLDR 2.řádu ("uděláno" diky dotazu vašeho kolegy).

komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace;
zavedení komplexní exponenciely;
užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice, příklady;
užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklad.

soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - formulace problému , maticový zápis soustavy, "návod" k řešení ;
jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; příklady.
předběžná písemná verze poznámek k neuskutečněné přednášce : přednáška 11.3. - 1.část - o komlexní exponenciele a přednáška 11.3. - 2.část - úvod k řešení soustav diferenciálních rovnic 1.řádu s konstantními koeficienty (opět s datem minulé přednášky, omlouvám se); dále můžete studovat i sami - odpovídající partie z doporučené literatury;

16.3.2020:
- počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; ještě další příklady;

a dále jen stručně:

o řešení soustavy OLDR 1.řádu v případě vícenásobných a komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladech řešení soustav dvou lineárních rovnic1.řádu;
o metodě variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy;

převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu;
a zde můžete najít zápis první části plánované přednášky - přednáška 16.3. , a ještě je k této přednášky přidáno několik řešených příkladů - příloha k přednášce 16.3.

18.3.2020:
Zde je první část písemná verze přednášky - přednáška 18.3. (první část) druhá část přednáška 18.3. (druhá část) .
Samostatně můžete studovat probíranou látku (i dopředu) v doporučené literatuře, písemné přednášky snad v samostudiu prošku pomohou. Specielně, ve skriptech VŠCHT Matematika I ve strukturovaném studiu jsou vhodné pro tuto přednášku kapitoly 13 (geometrie v Rⁿ, zvláště v R³) a 14 (funkce dvou proměnných), a ve skriptech Matematika II ve strukturovaném studiu zatím kapitola 5 (Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita.

úvod do diferenciálního počtu vektorových funkcí jedné proměnné, reálných funkcí více proměnných (obecně vektorové funkce více proměnných z Rⁿ do R^m ),"definice" a příklady těchto funkcí;
zvláště podrobněji

příklady vektorových funkcí jedné proměnné;
reálná funkce dvou a více proměnných - příklady, stručné seznámení se základními pojmy - definiční obor; jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných;

prostory Rⁿ(spec.R²a R³) - připomenutí "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin) a pak hlavně euklidovský prostor Rⁿ(Eⁿ) - velikost ( norma) vektoru, euklidovská vzdálenost v prostorech Rⁿ ;
vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice limity, dále spojitost a derivace vektorové funkce, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady.

23.3.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 23.3.

množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod množiny;
limita a spojitost reálné funkce několika proměnných - definice, aritmetika limit, limita a spojitost složené funkce více proměnných;
příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
parciální derivace reálné funkce několika proměnných - definice; příklady výpočtu parciálních derivací funkce;
parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací.

25.3.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 25.5.

definice funkce diferencovatelné v bodě pro reálné funkce dvou proměnných - úvodní poznámky;
příklad funkce dvou proměnných, diferencovatelné v bodě a její lineární aproximace v okolí tohoto bodu, ale i příklady funkcí, které nemají totální diferenciál;
a obecně - definice funkce n-proměnných diferencovatelná v bodě , totální diferenciál funkce - definice a "význam", gradient funkce n-proměnných.
funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá, jednoznačnost totálního diferenciálu;
rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace reálné funkce více proměnných;
derivace ve směru - definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce, příklady výpočtu derivace ve směru.

30.3.2020:

"Písemná" přednáška: přednáška 30.3.
věta o derivaci složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné;
příklady výpočtu derivací složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné (i derivace vyšších řádů);
věta o parciální derivaci složené funkce více proměnných ( kde vnitřní funkce je vektorová funkce nekolika proměnných);
příklady výpočtu derivací (i vyšších řádů) složených funkcí více proměnných;
užítí věty o derivování složené funkce více proměnných - transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (nalezení řešení parciální diferenciální rovnice);
ještě další příklad - vlnová rovnice v jedné dimenzi.

1.4.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 1.4.
přednáška je tentokrát "kratší" než přednášky minulé, ale "čtení" této přednášky bez komentáře a slovního vysvětlení bude asi trošku obtížnější, proto je přednáška kratší;
pokud budete potřebovat, napište nebo zavolejte, pokusím se vysvětlit blíže to, co nebude jasné (stejně tak to platí i přednášky ostatní);

vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m ) - limita, spojitost, parciální derivace těchto funkcí;
diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice;
derivace složené vektorové funkce, příklady;

6.4.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 6.4.
A poznámka: dnešní přednáška je ve druhé části spíše takové úvodní "povídání" o funkcích, s nimiž jste se asi dosud nesetkali, o funkcích, definovaných
implicitně. V následující přednášce bude vše přehledně (doufám) shrnuto - před zobecněním na implicitní funkce více proměnných.
- množiny bodů v Rⁿ - vnitřek množiny, hraniční bod množiny a hranice množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní; uzávěr množiny, oblast ;
- funkce spojitá na množině; věta o nabývání globálních extrémů reálné funkce více proměnných na kompaktní množině a o nabývání mezihodnot (bez důkazů);
- implicitně definovaná funkce jedné proměnné - úvod;

implicitně definovaná funkce jedné proměnné - definice, věta o implicitní funkci, výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady.

8.4.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 8.4.
A ještě několik příkladů ze zkouškových "písemek" z minulých let (jako odměna pro čtenáře za "čtení písemných přednášek z matematiky") - příklady implicitní fce: zadání a řešení

zobecnění - implicitně definovaná funkce více proměnných - definice a věta o implicitní funkci více proměnných, příklady;
a možná trošku o systému implicitně definovaných funkcí - vysvětlení na jednoduchém příkladu.

15.4.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 15.4.
Než začnete číst, chci se omluvit, že "dnešní přednáška je hodně obsáhlá, jako dvě přednášky dohromady, a opět není "jednoduchá" pro čtenáře (zvláště část o kvadratických
formách je navíc, píšu - pro "zájemce" - nemusíte číst, a pro základní návod na vyšetření lokálních extrémů stačí až "konec" vyšetřování, pomocí Hessiánu dané funkce. Pro
úplnost jsem napsala do přednášky vše důležité a snad i užitečné. Ale uvažuji o tom, že bych přednášky doplníla ještě "písemným" Repetitoriem MA2, kde bych pro každou
z probíraných parti v MA2 sepsala stručné a přehledné shrnutí těch hlavních myšlenek a přidala bych i řešené příklady, jednoduché a základní, na procvičení těch "základních"
myšlenek - snad by to pomohlo v samostudiu. A prosím, ozývejte se, budete-li cokoliv z MA2 chtít vysvětlit a konzultovat.

extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů, příklady;
věta o globálních extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace 1.řádu;
druhý diferenciál, diferenciály vyšších řádů a Taylorův polynom pro funkce více proměnných;
postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice, Hessián).
příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců.

20.4.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 20.4. ; a dodatek k přednášce - ještě několik příkladů zde .
K této přednášce chci poznamenat, že jsem začátek přednášky věnovala asi dost podrobnému opakování Riemannova integrálu jednorozměrného (z MA1), myslím, že není
zbytečné připomenout definici, podmínky existence a vlastnosti tohoto integrálu, neboť Riemannův vícenásobný integrál má stejný "myšlenkový" základ. Můžete samozřejmě
to opakování "přeskočit".

opakování definice a základních vlastností jednorozměrného Riemannova integrálu - pro osvěžení toho, co jsme probrali v MA1;
a pak to nejjednodušší zobecnění - pomocí příkladu ukázána "cesta" k definici dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, pak definice dvojného integrálu přes obdélník;
podmínka nutná a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu (naznačení "proč", ale bez důkazů) - linarita, aditivita, uspořádání,věta o střední hodnotě;
několik aplikací;
výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník; příklady.

22.4.2020:
"Písemná" přednáška: přednáška 22.4.

dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, podmíny existence, výpočet - Fubiniova věta;
příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
substituce ve dvojném integrálu ( specielně polární souřadnice) - zatím jen úvod - příklad.
a možná bychom ještě mohli - definicovat trojný Riemannův integrál, a formulovat podmínky existence a vlastnosti;
a třeba i výpočet trojného integrálu - Fubiniova věta;
jednoduché příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů.

27.4.2020:
"Písemná přednáška 27.4.: přednáška 27.4.

substituce ve dvojném integrálu - speciálně polární souřadnice;
vysvětlení "cesty ke vzorci pro substituci ve dvojném inetgrálu;
příklady aplikací dvojného integrálu a výpočtu dvojných integrálu pomocí substituce do polárních souřadnic.

29.4.2020:
"Písemná přednáška 29.4.: přednáška 29.4.

definice trojného Riemannova integrálu, podmínky existence a vlastnosti trojného integrálu;
příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů;
substituce v trojném integrálu - úvodní příklad a "cesta" k substituci do válcový souřadnic v trojném integrálu.

4.5.2020:
"Písemná přednáška 4.5.: přednáška 4.5. - 1.část , přednáška 4.5. - 2.část
- substituce v trojném integrálu - válcové souřadnice a sférické souřadnice; příklady;

křivkový integrál skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
"odvození" definice křivkového integrálu skalární funkce;
křivkový integrál vektorové funkce jako práce vektorového pole po cestě, dané křivkou;
příklady aplikací křivkových integrálů.

6.5.2020:
"Písemná přednáška 6.5.: přednáška 6.5.
- upřesnění - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
- existence křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
- příklady výpočtu křivkového integrálu skalární funkce.

křivkový integrál vektorové funkce - vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce;
příklady výpočtu křivkového integrálu vektorové funkce;

11.5.2020:
"Písemná přednáška 11.5.: přednáška 11.5.
- nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě - potenciální pole, poteciál, příklady;
- nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
- výpočet potenciálu vektorového pole, příklady;
- Greenova věta; operátory rotace a divergence a jejich význam.
13.5.2020:
"Písemná přednáška 13.5.: přednáška 13.5. (a moc se omlouvám za zpoždění této a i další přednášky)
a "tahák" (nebo-li stručné shrnutí "dlouhé" přednášky) i s dalšími příklady - nevlastní integrál ;
- nevlastní integrál přes neomezený interval - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
- vyšetřování konvergence nevlastního integrálu přes neomezený interval:
  srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
- absolutní konvergence nevlastních integrálů.
- nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
- vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady.
- absolutní konvergence nevlastních integrálů;
- nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
- vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady.
18.5.2020:
"Písemná přednáška 18.5.: přednáška 18.5.
- nekonečné řady - definice konvergentní, resp. divergentní řady; jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
- nutná podmínka konvergence řady;
- kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
- a jen stručně: absolutní a neabsolutní konvergence řady;
  a dodatek k přednášce 18.5.- důkazy některých kriterií konvergence (nepovinné - je to pro zájemce).
20.5.2020:
"Písemná přednáška 20.5.: přednáška 20.5. a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět:
- řady funkcí - obecně, jen sručné úvodní poznámky;
- mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence, základní vlastnosti mocninných řad;
- mocninná řada je Taylorovou řadou svého součtu;
- a jen velmi stručně o Fourierových řadách.