PřF UK MA2 (2012/13)

Matematika A2, LS 2012/2013

Sylabus a literatura, požadavky ke zkoušce a ukázkový test -  SIS

Konzultační hodiny:   pondělí 9:45 - 10:30 v CH3
                                       (navíc, v pondělí 8:10 - 9:40 se koná v CH3 repetitorium, které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních)
                                     úterý  8:30 - 9:30 v pracovně, Albertov 6, místn. 209
                                     nebo i po dohodě

Konzultační hodiny ve zkouškovém období:  v květnu a červnu - pondělí  9-12 hod v CH7 ( v pondělí 3.6. 8-11 hod) nebo po dohodě;
                                                                              v září -  2.9. v 15hod; 3.9. v 16hod.,  vždy v mé pracovně ( Albertov 6, 209), nebo po dohodě.

Termíny zkoušek - viz SIS

 

 

Přednáška ( pondělí 10:40-12:10,  středa 12:20-13:50).

• 18.2.2013:  Úvod - o obsahu přednášky; lineární algebra podruhé ( shrnutí základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1 ) .
• 20.2.2013:  Determinant matice - opakování motivace, definice determinantu druhého řádu a pak determinantů vyšších řádů indukcí, příklad výpočtu determinantu čtvrtého řádu;  Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu třetího řádu; několik tvrzení o determinantech - det A =det A^T, determinant horní trojúhelníkové matice, determinanty ekvivalentních matic,  det A=0 právě když je matice A singulární, Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí determinantů, aplikace determinantů třetího řádu v geometrii.
• 25.2.2013:  Lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení;  spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ; obecný postup při řešení lineární rovnice;  vlastní čísla a vlastní vektory matice.
• 27.2.2013:  Lineární rovnice druhého řádu - dva příklady na úvod ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu; věta o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu;  řešení homogenní rovnice - fundamentální systém řešení (množina řešení je lineární prostor dimenze 2); metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení.
• 4.3.2013:    OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty - řešení rovnice homogenní ( fundamentální systém řešení v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních);  variace konstant a odhad partikulárního řešení v jednoduchých případech, příklady.
  
• 6.3.2013:   Metoda odhadu  partikulárního řešení, příklady ; opakování základních poznatků o komplexních číslech, zavedení komplexní exponenciely.
  
• 11.3.2013:  Komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; derivace funkce exp(ax), kde a je komplexní konstanta a x je reálná proměnná; příklady užití komplexní exponenciely při řešení počáteční úlohy pro homogenní rovnici a při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem pomocí  řešení jednoduchých příkladů, rozbor "výsledků".
• 13.3.2013: Počáteční úloha pro soustavy LDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů z minulé přednášky pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; řešení v případě komplexních vlastních čísel ukázáno na příkladu; poznámky o metodě variace konstant a odhadu řešení nehomogenní soustavy.
• 18.3.2013:   Problém Dravec-kořist ( referát);  funkce několika reálných proměnných - úvod;  vzdálenost v prostoru Rⁿ , limita posloupnosti v Rⁿ , příklady. množiny v Rⁿ ( množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, uzávěr, množina omezená, oblast ), limita funkce, spojiost;, příklady .
• 20.3.2013:  Množiny v Rⁿ ( množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, uzávěr, množina omezená, oblast ), limita funkce, spojitost;, příklady . Parciální derivace funkce více proměnných, definice.
• 25.3.2013:  Plán: Příklady na výpočet parciálních derivací, parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací; diferencovatelnost funkce , totální diferenciál, rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace funkce, příklady; derivace ve směru, význam gradientu funkce.
• 27.3.2013:  Derivace ve směru, odvození vzorce,příklady, význam gradientu funkce; derivace složené funkce více proměnných, odvození pravidla , příklady derivování složených funkcí, kde vnitřní funkce je funkce jedné nebo i více proměnných, příklad transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic a užití transformace k nalezení řešení parciální diferenciální rovnice.
• 3.4.2013:   Diferencovatelnost vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m )a totální diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiova matice, příklady; úvodní poznámky k teorii implicitně definovaných funkcí , podrobněji o implicitních funkcích jedné proměnné.
• 8.4.2013:   Věty o implicitní funkci jedné proměnné , několika proměnných a systému implicitně definovaných funkcí, výpočet  derivací funkcí definovaných imlplicitně, příklady;
• 10.4.2013:  Věta o systému implicitních funkcí.  Extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů,  věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině,příklady; lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu, příklady.
• 15.4.2013:  ( 306 let od narození L. Eulera) Dvojný  integrál - definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník : nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace , výpočet - Fubiniova věta pro obdélník ;   příklady .
• 17.3.2013:   Dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, Fubiniova věta , příklady výpočtu i aplikace; 
• 22.4.2013:   Substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady ; trojný integrál, nejprve definice integrálu přes trojrozměrný interval, pak opět rozšíření integrace na integraci přes měřitelnou oblast, výpočet dle Fubiniovy věty pro některé  typy měřitelných oblastí, příklady.
• 24.2.2013:   Příklady aplikace a výpočtu trojných integrálů; substituce v trojném integrálu, spec. válcové a sférické souřadnice, příklady. Křivkový integrál - úvod.
• 29.4.2013:   Křivkový integrál skaláru - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky, definice křivkového integrálu skalární funkce, podmínky existence, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skaláru, příklady. Křívkový integrál vektorové funkce -  definice a výpočet, příklady.
• 6.5.2013:     Nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady. Nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole.
• 13.5.2013:   Postačující podmínka potenciálnosti pole ( v R² -  Greenova věta (naznačení  důkazu) ) , výpočet potenciálu. Nevlastní integrál přes neomezený interval - definice konvergence, resp.divergence nevlastního integrálu, příklady . srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrály z nezáporných funkcí, absolutně, resp.neabsolutně konvergentní nevlastní integrál, příklady.
• 15.5.2013:   Nevlastní integrál přes neomezený interval - srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrály z nezáporných funkcí, absolutně, resp.neabsolutně konvergentní nevlastní integrál, příklady.
• 20.5.2013:   Nevlastní integrál přes neomezený interval - absolutní, resp.neabsolutní konvergence, příklady; nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp, divergentní integrál, kriteria konvergence, příklady; integrace  per partes a substituce v nevlastním integrálu; funkce Γ , integrál Laplaceův, Fresnelův . Nekonečné řady - úvod. příklady, definice konvergentní, resp. divergentní řady.
• 22.5.2013:  Jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad; nutná podmínka konvergence řady; kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací, limitní podílové a odmocninové kriterium, kriteriun integrální, příklady; absolutní a neabsolutní konvergence řady, Leibnizovo kriteriu pro alternující řady, příklady; mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad, Taylorovy řady, rozvoj funkce v Taylorovu řadu, příklady.

 

 

Cvičení ( pondělí 12:20-13:50, úterý 14:50-16:20).

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  

Příklady na cvičení vybíráme ze sbírky a dále odtud:

1. Příklady z lineární algebry 1
   
2. Příklady z lineární algebry 2
3. Komlexní čísla - opakování
4. Komplexní čisla  a komplexní funkce, OLDR 2.řádu
5. OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu
6. Funkce více proměnných 1 - definiční obor, limita, parciální derivace
7. Funkce více proměnných 2 - ještě parciální derivace, derivace ve směru a derivace složených funkcí
8. Funkce více proměnných 3 - implicitní funkce, extrémy funkcí dvou proměnných
9. Dvojný a trojný integrál 1
10. Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce
    
    

Domácí úkoly:

1. Lineární algebra 1.
   
2. Lineární algebra 2.
3. Komplexní čísla.
4. OLDR 2.řádu.
5. Soustavy OLDR 1.řádu.
6. Funkce několika proměnných 1.
7. Funkce několika proměnných 2. - extrémy.
8. Dvojný a trojný integrál.
9. Nevlastní integrál.
10. Nekonečné řady.
    
    

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

Některé další vhodné studijní materiály :

• FEL ČVUT :  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  zde