Matematická analýza pro informatiky 1 (2023/24)

Cvičení k přednášce Matematická analýza 1 (NMAI054, paralelka 23bNMAI054×12)             
(přednáší  docent  RNDr. Martin Klazar, Dr. a doc. RNDr. Vít Jelínek, Ph.D. )

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz
SOS linka :  mobil 604 268 425

Konzultační hodiny:  po dohodě, a konzultace mohou být též např. ve středu od 13:00 před cvičením, pokud máte "volno".
Konzultace ve zkouškovém období: 
                                 konzultace "hromadné" v úterý 28.5., 4.6., 18.6., 25.6. , 2.7. a ve středu 12.6., vždy 10:00 - 13:00 (nebo i déle, bude-li třeba), v posluchárně N7, IMPAKT v Troji,
                                 nebo po dohodě.

Z literatury, doporučené v SISu:

• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 -  tato skripta už bohužel už nejsou přístupná na webu
  
• J. Veselý: Základy matematické analýzy I   zde

Mnoho dalších příkladů můžete také najít

• u doc. M. Lopatkové (UFAL)
  
• ve sbírce KAM
• ve cvičeních dr. Roberta Šámala (IUUK)
• ve sbírce prof. L. Picka (KMA)
• ve skriptech k Matematické analýze 1 (předběžná verze, jak píše prof.L.Pick)

"Pomocné" materiály:

• nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
• limita a spojitost funkce - cvičení se řešenými příklady
• průběhy funkcí - několik řešených příkladů

Příklady, probírané na cvičeních:

• Cvičení 1. (21.2.2024): 
  O tom, čím se zabývá matematická analýza a také trošku úvodního opakování středoškolské matematiky - něco z výrokového a množinového počtu; absolutní hodnota (a vzdálenost) v R; reálné funkce - definiční obory, vlastnosti funkcí. 
  Příklady k opakování (i pro další cvičení):  Cvičení 1.   (vlastnosti a grafy základních funkcí v části III., zvláště funkcí exp(x), ln(x), sin(x), cos(x), považujeme za "známé") 
  Hezké čtení (i o matematické analýze):   
                          Alfred Rényi: Dialogy o matematice  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 1980)    
                         John D. Barrow: Pí na nebesích  (O počítání, myšlení a bytí)  (Mladá fronta, edice Kolumbus, Praha 2000)
                         John D. Barrow: Kniha o nekonečnu (Stručný průvodce světem bez hranic. počátku a konce) (Nakladatelství Paseka, 2007) 
                         Keith Devlin: Jazyk matematiky  (Jak zviditelnit  neviditelné) (Nakladatelství Argo a Dokořán, Praha 2011)
  Domácí úkol:  Domácí úkol 1 - zatím spíše jako příprava na cvičení  - stačí promyslet, ale chcete-li, abych váš dú prohlédla, pak můžete řešení domácího úkolu poslat emailem nebo přinést na cvičení 28.2. (opět, vlastnosti a grafy základních funkcí exp(x) a ln(x)  bereme jako "známé") .
                              
• Cvičení 2. (28.2.2024): 
  Ještě opakování - absolutní hodnota v R, jednoduché důkazy několika vlastností absolutní hodnoty; vlastnosti z domácího úkolu, budou-li; řešení rovnic a nerovnic; množinový počet; reálné funkce a jejich vlastnosti, pokusy o grafy; jednoduché důkazy, matematická indukce - ( příklady ze cvičení 1 a případně z domácího úkolu). Dále podle přednášky 22.2.  -  spočetnost, resp. nespočetnost množin v R, supremum a infimum množiny v R.
  Příklady:  Cvičení 2
  Domácí úkol:  Domácí úkol 2 
  
  
• Cvičení 3. (6.3.2024):
  Ještě trošku opakování - příklad užití matematické indukce, též něco z množinového počtu a zobrazení množin (příklady ze cvičení 1 nebo z domácích úkolů)).
  Dále ještě několik příkladů vyšetření suprema a infima množiny (příklady ze cvičení 2 a případně dle dotazů k dú2) a hlavně
  posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti - opakování definice vlastní i nevlastní limity posloupnosti, důkazy limit z definice, výpočet limit posloupností užitím aritmetiky limit a věty o limitě sevřené posloupnosti.
  Příklady:  Cvičení 3, 4
  Domácí úkol:  Domácí úkol 3
  A ze cvičení k MAI 1 z LS 2019/20 je  Domácí úkol 3.  a  zde  Dú 3 - řešení   - (moje) řešení z prvního "covidového" semestru (LS 2019/20). Psala jsem tehdy studentům, a platí to i nyní: Můžete si vaše domácí úkoly tak sami zkontrolovat, opravit a případně opravit i moje chyby v řešení (a ty mi, prosím, laskavě ohlašte). Můžete použít jako přípravu na další cvičení.
  
  
• Cvičení 4. (13.3.2024):
  Limita posloupnosti reálných čísel - ještě důkazy tvrzení o limitách (i dle návrhu posluchačů); důkazy limity posloupnosti "z definice", dále výpočet limity posloupnosti užitím aritmetiky limit a věty o limitě sevřené posloupnosti.  
  Příklady z minulého cvičení.
  Domácí úkol: Domácí úkol 4.   -  stačí zatím jen příklady 1. a 2. z tohoto domácího úkolu, zbývající problémy budou úkolem z příštího cvičení.  
  A přidávám ještě "písemné cvičení" MAI 1  "covidového" roku  s mnoha řešenými příklady "z limit" posloupností:
  Cvičení 4. (12.3.2020) - náhradní písemná verze:  cvičení 4. - první část , a zde dodatek - cvičení 4. - 2.část   , a jako odpověď na otázku trošku podrobněji  návod k příkladu 3 .
  ( A tehdy jsem k tomu studentům napsala: pokusila jsem se cvičení "zapsat " tak, jak by mohlo cvičení možná probíhat, pokud bychom mohli mít výuku spolu jako jindy.)
  
  
• Cvičení 5. (20.3.2024):
  Ještě (dle návrhu posluchačů) příklady výpočtu limity posloupnosti, užití věty o limitě monotonní posloupnosti a věty o limitě podposloupnosti, limita posloupnosti rekurentně zadané, cauchyovské posloupnosti připomeneme na příštím cvičení. Dále trošku o nekonečných řadách  - definice konvergence, resp. divergence řady; jednoduché příklady vyšetření konvergence nekonečných řad, nutná podmínka konvergence řad, srovnávací kriterium pro řady s nezápornými členy, jednoduché příklady vyšetření konvergence řad.
  Příklady ze cvičení 3,4 a dále další příklady  cvičení 5 - posloupnosti a řady  a  k opakování vlastností funkcí a k úvodu k limitám funkcí cvičení 5 - opakování funkcí  .
  Domácí úkol: Domácí úkol 4.  - příklady 3. nebo 4., a dobrovolně příklad 5. nebo 6. 
  A zkuste aspoň dva příklady vyšetřování konvergence nekonečné řady z úkolu 4 nebo pak z dalšího úkolu   Domácí úkol 5.    A zde je "moje"  řešení dú 5 (pro vaší kontrolu, opět z roku 2019/20)).
  
  
• Cvičení 6. (27.3.2024): Ještě trošku o nekonečných řadách  - připomenutí definice konvergence, resp. divergence řady, další jednoduché příklady vyšetření konvergence nekonečných řad - užití nutné podmínky konvergence řad a srovnávacího kriteria pro řady s nezápornými členy, dále zmíněno a užito Cauchyho a D´Alambertovo limitní kriterium a vyšetřena konvergence funkční řady, kterou byla definována funkce exp(x). Dále jednoduché příklady reálných funkcí a vešetření jejich vlastností. 
  Příklady jsou v minulém cvičení 5.
  Domácí úkol: zůstává úkol ze cvičení 5 -   Domácí úkol 5.    A zde je "moje"  řešení dú 5 (pro vaší kontrolu, opět z roku 2019/20)).

• Cvičení 7. (3.4.2024):
  Ještě připomenutí definice Cauchyovské posloupnosti a užití při důkazu divergence harmonické řady. Reálné funkce a jejich vlastnostii - shrnutí vlastností "důležitých" elementárních funkcí  ( např. "tahák"  http://dagles.klenot.cz/rihova/elfunkce.pdf , ale máte jistě i "lepší"), jako příklad definice a vlastnosti funkcí arcsin(x) a arctan(x).  Dále limity funkce - připomenutí limit některých "tabulkových" funkcí, výpočet limit funkcí užitím "aritmetiky limit". Spojitosti funkce v bodě i "v intervalu". 
  Příklady  k opakování vlastností funkcí a k úvodu k limitám funkcí cvičení 5 - opakování funkcí    a příklady k výpočtu limit funkce a  Cvičení 6  .
  A zde jsou písemné verze  cvičení (MAI 1 z LS 2019/20):  "písemné" cvičení 5  ,  "písemné" cvičení 6.  a  "písemné" cvičení 6 - 2.část . 
  Domácí úkol:  Je zde zadán   Domácí úkol 6  a  "moje"  řešení  dú 6  , ale protože jsme neprobrali na cvičení vše, co je shrnuto v tomto domácím úkolu, můžete si tento úkol zatím  jen "prohlédnout",  a promyslet, co byste si přáli probrat na příštím cvičení. A řešení tohoto úkolu můžete "sepsat" až po cvičení 8.
  Domácí úkol 7 nebude.
  
  
• Cvičení 8. (10.4.2024):
  Ještě výpočet limit funkcí - výpočet limit funkcí užitím aritmetiky limit, věty o limitě složené funkce a věty o limitě funkce sevřené. Důkazy limity funkce "z definice". Vyšetření spojitosti funkce v bodě i v intervalu - ještě další příklady. Dále derivace funkce - zopakování definice, výpočet derivací pomocí vzorců.
  Příklady ještě z minulého cvičení k výpočtu limit funkce ze Cvičení 6   a  další příklady vyšetřování spojitosti funkcí a výpočtu derivací  Cvičení 8. 
  A zde je písemná verze cvičení z LS 2019-20 (tehdy to bylo cvičení 7):  "písemné" cvičení 7  -  v písemném cvičení je procvičena definice derivace a výpočet derivací. 
  Domácí úkol:    Domácí úkol 6  zůstává z minulého cvičení  a  Domácí úkol 8 - další problémky ke spojitosti funkce a příklady pro trénink výpočtu derivací a
  "moje"  řešení dú 8  (řešení bývalého dú7 z LS 2019-20).  
  
  
• Cvičení 9. (17.4.2024):
  Ještě výpočet několika limit užítím věty o limitě složené funkce, trošku o spojitosti funkce v bodě i v intervalu - spojité "dodefinování" funkce v bodě. Příklady pro procvičení definice derivace - odvození derivací některých základních funkcí, pak výpočet derivací.  Užití derivace - výpočet limit užitím L´Hospitalova pravidla; "dopočítávání" derivace ve "špatných " bodech (tj. kde nejde použít  "vzorce" na výpočet derivace). Nestihli jsme příklady vyšetření průběhu funkce (i takových, které nemají derivace v nějakém bodě) a vyšetřování extrémů funkce, probereme na příštím cvičení.
  Příklady ke cvičení byly ještě ze souboru příkladů  Cvičení 8. . 
  Domácí úkol:   zůstává domácí úkol z minulého cvičení  Domácí úkol 8. , zvláště příklady 2,3 z části "derivace funkce"  (řešení je též ve cvičení 8)  a můžete zkusit i Domácí úkol 9 .  
  
  
• Cvičení 10. (24.4.2024):
  Užití derivace - ještě příklady výpočtu limit užitím L´Hospitalova pravidla; "dopočítávání" derivace ve "špatných " bodech (tj. kde nejde použít  "vzorce" na výpočet derivace),  vyšetření průběhu funkcí (i takových, které nemají derivace v nějakém bodě). Vyšetřování extrémů funkce a  Taylorův polynom funkce a jeho užití při aproximaci hodnot funkce a i při výpočtu limit jsme bohužel nestihli.
  Příklady ke cvičení:  Cvičení 9 - příklady.  (z minulého cvičení) a  Cvičení 10 - příklady.
  A písemná verze cvičení je opět z LS 2019-20 (tehdy to bylo 8. cvičení):   "písemné" cvičení 8 - 1.část   , písemné cvičení 8 - 2.část  .
  A dále zde jsou  řešené "průběhy funkcí" - průběhy funkcí  , a možná, že si přečtete rádi i několik řešených úloh - extrémy funkcí . Omlouvám se, je to pro přírodovědce, tak je tam i úloha z chemie, ale snad to nevadí (nemusíte to číst).  A stále platí, pokud najdete někde chybu, prosím, napište mi to.
  Domácí úkol:   Domácí úkol 10   a "moje"   řešení dú 10    (byl to dú 8 z LS 2019-20,  možná je řešení někdy příliš podrobně vysvětlováno, ale je z doby on-line semestru) .
  
  
• Cvičení 11. (1.5.2024) se nekonalo, neboť byl státní svátek, ale 
  místo cvičení byla ve středu 1.5. konzultace (v budově MFF na Malostranském náměstí, 14:00 - 17:00 v posluchárně S10) .
  Příklady ke cvičení "domácímu":
  Taylorův polynom a další aplikace derivace  Cvičení 10 - příklady.  
  Primitivní funkce (výpočet neurčitých integrálů) - definice, existence, vlastnosti a výpočet primitivních funkcí (antiderivací)  - užití "tabulky" primitivních funkcí, vět o substituci a integrace "per partes".,        pokud se hodí, zde je "tahák" - neurčitý integrál  (z minulých let) a příklady ke cvičení:  cvičení 10, 11 - příklady integrál 1 
  Písemné verze cvičení (z LS 2019-20): 
  Taylorův polynom a další aplikace derivace ( LS 2019-20)  - písemná verze cvičení (tehdy 9.):  "písemné" cvičení 9  ., a k tomu přidávám další řešené příklady z tehdejšího domácího úkolu 9. 
   Domácí úkol 9.  a "moje"  řešení  dú 9   (můžete též řešit jako dú 10 -2) . 
  A písemná cvičení z neurčitého integrálu:  "písemné" cvičení 10  a  opravená stránka 16 (integrace per pares);  "písemné" cvičení 11 - úvod ; 
   další  příklady řešené 1.část:   a   příklady řešené 2.část    (a prosím, najdete-li chyby, napište a chyba byla nalezena a zde opravená stránka 9 - př.4 );
  a dále řešené příklady (s výkladem) z přednášek pro MA1 pro chemiky:  20.11.,  25.11. , 2.12. ,  4.12.  . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 11  a  "moje"  řešení dú 11    (dříve dú 10).
  
  
• Cvičení 12. (8.5.2024) se opět nekonalo, neboť je byl opět státní svátek, ale
  i místo tohoto cvičení byla ve středu 8.5.  konzultace.
  A příklady ke cvičení "domácímu":
  Výpočet neurčitých integrálů - užití "opačné" substituce ( 2.věty substituční), kombinace substituce a integarce per partes u výpočtu něketrých integrálů, integrace racionálních funkcí a jednoduché příklady substitucí, které vedou na integraci funkce racionální.
  Příklady ke cvičení:   cvičení 10,11 - příklady integrál 2  a  cvičení 11 - příklady integrál 3
  A písemná verze cvičení (z LS 2019-20): 
  "písemné" cvičení 11 - úvod  a dále řešené příklady (s výkladem) z přednášek pro MA1:  20.11.,  25.11. , 2.12. ,  4.12.  .
  Další  příklady řešené 1.část:   a   příklady řešené 2.část    (a prosím, najdete-li chyby, napište a chyba byla nalezena a zde opravená stránka 9 - př.4 ) . 
  Domácí úkol:  Domácí úkol 12-1  a  "moje"  řešení dú 12-1 (v LS 2019-20 dú 11) 
                          a  ještě jako dú 12-2  Domácí test "umění integrovat"  (bude "počítán" zvlášť jako další dú) a "moje"   řešení dú 12-2  (dú11-2 v LS 2019-20) .
  
  
• Cvičení 13. (15.5.2024):
  Dle dotazů posluchačů ještě trošku o užití derivace funkce - Taylorův polynom a jeho užití.
  A  pak výpočet neurčitých integrálů (promitivních funkcí)  - zatím jsme stihli jednoduché příklady užití "tabulky" primitivních funkcí a 1.věty o substituci,  užití 2.věty o substituci a integraci "per partes", a pak kombinaci substituce a integrace per partes u výpočtu něketrých integrálů si, prosím, projděte v těch "náhradních (za květnové svátky( písemných cvičeních", dotazy vyřešíme na příštím cvičení. integrace racionálních funkcí a jednoduché příklady substitucí, které vedou na integraci funkce racionální.
  Příklady i domácí úkoly jsou uvedeny v "domácích  cvičeních" 11. a  12. 
  
  
• Cvičení 14. (22.5.2024):
  Příklady užití 2.věty o substituci a integrace "per partes" i kombinace substituce a integrace per partes u výpočtu integrálů, jednoduché příklady integrace racionálních funkcí a substitucí, které vedou na integraci funkce racionální. Dále pak určitý integrál Newtonův a Riemannův - výpočet integrálů (užití substituce i integrace per partes), vlastnosti určitého integrálu a aplikace, pak ještě rozšíření Riemannova integrálu - integrál přes neomezený interval, integrální kriterium konvergence řad.
  Příklady ke cvičení: pro neurčitý integrál jsou v minulých cvičeních 11. a 12. a pro určitý integrál   cvičení 14 - příklady určitý integrál .
  A cvičení písemné, opět z LS 2019 -20 (kdy to bylo cvičení 12) :  "písemné" cvičení 12 - 1.část   a   "písemné" cvičení 12 - 2.část
  Domácí úkol:  Domácí úkol 14   a  "moje"  řešení úkolu  řešení dú 14  (tehdy dvanáctého) .
  
  
• Podmínky pro zápočet:
     1. vypracování (a odevzdání) aspoň sedmi ze zadaných domácích úkolů;
     2. závěrečný zápočtový test, ze kterého je získána aspoň polovina bodů; v případě, že se zápočtový test nepodaří, je možné napsat test opravný.
  Ukázkový zápočtový test  zde 
  
  Termíny zápočtových testů ( testy budou vždy v budově IMPAKT v Troji, v posluchárně N7):     
          pondělí  20.5.  v 15:40         
          pátek     24.5.  v 13:00
          pondělí  27.5.  v 14:00
          pátek     31.5.  v 10:00
          pátek     14.6.  v 10:00
          úterý      18.6.  v 10:00 a ve 13:00
          pátek     21.6 . v 10:00
          úterý      25.6.  v 10:00   
  a  přidány termíny (opět IMPAKT, N7)
         pátek      28.6.  v 10:00
         úterý         2.7.  v 10:00