Vybrané partie - LS 2021/22

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz

SOS linka :  mobil 604 268 425

 

        Ve "Vybraných  partiích  z matematiky"  v letním semestru  se obvykle seznámíme aspoň se základy teorie Hilbertových prostorů (pro kvantovou fyziku), to je hlavním cílem letních Vybraných partií. Začínáme zpravidla s Hilbertovým prostorem  l² , což je asi Hilbertův prostor nejbližší tomu, co už známe z přednášek MA1 a MA2, tj. lineárním prostorům Rⁿ  konečné dimense,  se skalárním součinem, pomocí kterého pak lze definovat normu prvku a poté pomocí normy definujeme i vzdálenost Rⁿ  , a můžeme tak "budovat" diferenciální i integrální počet funkcí více proměnných (v MA2).
       Před tím, než začínáme studovat Hilbertovy prostory, ještě  zpravidla shrneme a doplníme  základní informace o metrických prostorech, a pokud to nestihneme ve "Vybraných partiích" v sememestru zimním, jako v letošním zmním semestru, probereme aspoň trošku Fourierovy řady, abychom mohli ocenit zobecněné Fourierovy řady v Hilbertových prostorech. A tedy je zapotřebí trošku se podívat do světa obecných funkčních řad, a na problémy s jejich konvergencí. A pokud nám "Vybrané partie" jdou dobře, tak se  ještě někdy dostaneme k Lebesgueovu integrálu a tak i k dalšímu velmi důležitému a užitečnému v aplikacích Hilbertovu prostoru Lebesgueovsky integrovatelných funkcí, prostoru  L² .

V současném letním semestru jsme se rozdělili na tři skupiny:

1.skupina - pondělí 18:10 v CH2 (zatím):
dohodli jsme se, že dokončíme "MA2, čtenou podruhé" - zopakujeme a podrobněji probereme nevlastní Riemannův integrál (jednorozměrný), a pak bychom pokračovali plošným integrálem a jeho aplikacemi, a snad stihneme i úvod k Fourierovým řadám.

2.skupina - středa 18:10 v CH4:
zde dokončíme vyšetřování konvergence řad funkcí, což jsme začli v zimním smestru a dále probereme Fourierovy řady a poté bychom se seznámili, aspoň v jednodušší podobě, s Hilbertovými prostory (tak, jak je v úvodu na této stránce)

3.skupina - samostatná "četba"  literatury (dle vlastní volby) o uvedených partiích - Fourierovy řady, Hilbertovy prostory, a i možnost dalších témat, a občasné konzultace podle přání.    

 

 Výběr doporučené literatury a další "zdroje":

Ke "čtení": 

O řadách funkcí - hezké čtení:
         1.  Skripta prof. Luboše Picka  a jeho kolegů KMA MFF :  http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pick/analyza.pdf  - najdete zde vše z matematické analýzy, i o řadách číselných, funkčních i spec. Fourierových;
         2.  Od docenta RNDr. J.Veselého, CSc:  Fourierovy řady 
         3.  Materiály VUT Brno :  https://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-III/sc-7-sr-1-a-26/default.aspx
         4.  FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
         5.  FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných zde 
         6.  FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Mocninné a Fourierovy řady  zde

Metrické, a zvláště Hilbertovy prostory:
          1.   Prof. Ing. Ladislav Lukšan, DrSc. :        http://www.cs.cas.cz/~luksan/lekce2.pdf
          2.   Od docenta RNDr. J.Veselého, CSc.:   metrické prostory -  http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma14-15/TUL/AN3E/kapi12.pdf  ;   
                                                                              separabilní prostory http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma14-15/TUL/AN3E/kapi13.pdf  
                                                                              Hilbertovy prostory   kapitola 5 - Hilbertovy prostory 
                                                                              Základy matematické analýzy - 2.díl:  http://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/MA/MA2/Vesely_II.pdf

Další literatura - Fourierovy řady, Hilbertovy prostory: 
            Jiří kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky III.
            Jozef Kvasnica: Matematický aparát fyziky.
            Alois Kufner: Geometrie Hilbertova prostoru.
            Alois Kufner, Jan Kadlec: Fourierovy řady.
            G.H.Hardy, W.W.Rogosinski: Fourierovy řady. (mám dvakrát, mohu půjčit) .

A něco ode mě:

Pro Matematiku A2 jsem napsala podrobněji přednášku o nekonečných řadách, než jsme stačili probrat  v loňslém LS, tak to může být pro Vás též užitečné jako opakování a začátek přemýšlení o nekonečných řadách:
         "Písemná" přednáška MA2 18.5.2020:   přednáška 18.5. a  dodatek k přednášce 18.5.- důkazy něketrých kriterií konvergence (nepovinné - je to pro zájemce);
         "Písemná" přednáška MA2 20.5.2020:   přednáška 20.5.  a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět.

A  trošku o řadách funkcí  - cvičení z matematické analýzy pro informatiky, které jsem psala  kdysi, když jsem díky úrazu měla neschopnost celý prosinec a neměl za mě kdo suplovat:
          1.  nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady;
          2.  konvergence posloupností funkcí  - shrnutí i řešené příklady i úlohy;
          3.  Řady funkcí  ; a    Mocninné řady  ;   a několik příkladů vyšetřování konvergence funkčních řad, i mocninných; užití  derivování, resp. integrování řady funkcí "člen po členu"   zde . 
          4.  něco k řadám Fourierovým, ale napíšu to pro vás "lépe": 
               Fourierovy  řady -  příklady  zde;  a ještě další  příklady řešené  .

A pokusím se pro vás přepsat trošku čitelně přednášky o Hilbertových prostorech z  "Vybraných partií" z minulých let.
A pokud najdete ještě dobré zdroje i vy sami, napište, prosím, pokud to dovolíte, můžeme to dát na "dub" i pro ostatní..