Matematika A2, LS 2021/22

Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209

Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz 

SOS linka :  mobil 604 268 425

Konzultační hodiny:  konzultace "hromadné" jsou v úterý 8:30 - 9:40 v CH7 a ve středu 10:45 - 11:20 před přednáškou v CH2. Konzulatce jsou možné i jindy po domluvě.
Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování, a dle potřeby i k ujasnění látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím, 
 je vždy ve čtvrtek 16:30 - 18:00 v CH7 .  Náměty a otázky posluchačů jsou v Repetitoriu vítány. 

Sylabus a literatura  -  SIS

Zkoušky :

• Požadavky ke zkoušce z MA2 - upřesněné    zde  ( pdf )
• Ukázkový test  LS 2021/22      zde     (pdf )
• Ukázkové příklady ze zkouškových testů z LS 2020/21 - zde  ( pdf ) 
  
• Ukázkový test z LS 2020/21  zde  ( pdf )  a řešení příkladů z ukázkového testu  zde
  
  
• Zkouškové termíny jsou v SISu.
• Konzultační hodiny ve zkouškovém období:
       "hromadné" konzultace  - každé pondělí 13:00 - 16:00 , bude-li třeba i déle, v posluchárně G1 (budova Albertov 6)
        konzultace individuální - po dohodě (emailem, telefonem, osobně) jsou též možné
  
  

Sylabus a literatura  -  SIS

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer: Mocninné a Fourierovy řady  zde

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady z minulých let) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
   
   

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2018/2019:
Příklady z lineární algebry 1 ;  Příklady z lineární algebry 2 ;  Cvičení-komplexní čísla.    OLDR 2.řádu a soustavy OLDR 1.řádu. ;  
Funkce více proměnných 1.  ;  Funkce více proměnných 2. ;  Funkce více proměnných 3.  ;   Dvojný integrál  ;   Trojný integrál ;  Křivkový integrál 1. ;  Křivkový integrál 2. 
a do "budoucna" jsou zde  i  Nevlastní integrál  a  Nekonečné řady .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2018/2019 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky): 
Dú1 - lineární algebra 1 ;  Dú2 - lineární algebra 2 ;   Dú3 - koplexní čísla ;   Dú4  - OLDR 2.řádu ;  Dú 5 - soustavy OLDR 1.řádu;  1."domácí" zápočtový test  ; 
Dú 6 - vektorové funkce jedné proměnné, definiční obory funkcí dvou proměnných a  Dú 7 - diferenciální počet funkcí více proměnných 1;  Dú 8 (derivace složené funkce);
Dú 9  (funkce, definované implicitně);  Dú 10 (extrémy funkcí dvou proměnných);  Dú11 (dvojný a trojný integrál);  Dú 12 (křivkový integrál);  Dú 13 (nevlastní integrály) ; 
Dú 14 (nekonečné řady). 

Záznamy přednášek z lineární algebry z online zimního semestru 2020/21 -  4.1.2021 ,  6.1.2021,  a přednášky "navíc"  - 11.1 2021,  22.2.2021 a 23.2.2021 jsou na Google disku,
odkaz na Google disk zde ;  můžete se zde podívat i na záznamy Repetitorií MA1  "navíc"  - zde jsou řešeny další příklady k přednáškám z lineární algebry.

Záznamy přednášek z Matematiky A2 z online letního semestru 2020/21  - odkaz na Google disk  zde

 

Přednáška  -  pondělí 11:30 - 12:10 (v CH2)  a středa 8:10 - 9:40  (v CH1):  

• 14.2.2022: 
• úvod do Matematiky A2 - co máme v MA2 probrat a v ajké, smyslu je to "rozšíření matematiky A1;
• čím se zabývá lineární algebra -  úvod k poslední části přednášky MA1, která se už v MA1 nestačila probrat;
• soustava lineárních rovnic  - opakování "středoškolských" metod řešení, a pak zápis soustavy pomocí matice;
• na příkladu (jako pokus) Gaussova eliminační metoda, Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• "nový" zápis soustavy lineárních rovnic, definice násobení matice a vektoru;
• a v "našem pokusném" příkladu soustavy lineárních rovnic - řešení "zapsané" ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a odtud cesta k inverzní matici;
• příklady soustav, které mají nekonečně mnoho řešení, resp. nemají žádné řešení (bylo probráno na cvičeních);
• a odtud "další otázky pro lineární algebru"  - otázky, týkající se řešitelnosti rovnic, proč potřebujeme definice "nových "pojmů.
• Zápis přednášky (lineární algebra - úvod) z LS 2020/21   zde .
• 16.2.2022:
• shrnutí toho, co  bylo ukázáno na příkladech při řešení soustav lineárních rovnic - otázky, týkající se řešitelnosti rovnic, proč potřebujeme definice "nových "pojmů;
• připomenutí  "našeho pokusného" příkladu soustavy lineárních rovnic - řešení "zapsané" ve tvaru součinu matice a vektoru pravých stran, a odtud cesta k inverzní matici a k definici násobení matic;
• lineární (vektorový) prostor - definice, vlastnosti početních operací; speciálně prostor Rⁿ;
• matice obecně - spec. matice čtvercová,  horní trojúhelníková matice; 
• lineární kombinace vektorů v lineárním (vektorovém) prostoru, lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů.
• 21.2.2022:
• definice báze a dimense vektorového prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k bázi, báze a dimense prostoru Rⁿ; 
• hodnost matice;  regulární a singulární  čtvercová matice; 
• Gaussova eliminační metoda "obecně" a příklad,  Gauss-Jordanova metoda v případě jediného řešení soustavy;
• Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic.
• 23.2.2022:
• ještě k pojmu báze vektorového prostoru Rⁿ  -  příklad výpočtu souřadnic vektoru vzhledem k "nové" bázi, zápis soustavy rovnic pro výpočet "nových" souřadnic pomocí násobení matice soustavy vektorem hledaných souřadnic, a "odhalení" inverzní matice;
• k "maticovému počtu":  početní operace s maticemi - sčítání matic a násobení matice konstantou, lineární prostor matic typu (m,n); 
  dále definice součinu matic a vlastnosti násobení matic;
• definice regulární a singulární  čtvercové matice a inverzní matice k matici regulární; 
• Gauss-Jordanova metoda výpočtu inverzní matice k matici regulární;
• zápis soustavy lineárních rovnic pomocí násobení matice soustavy a vektoru neznámých; pak řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí matice inverzní k matici soustavy.
• 28.2.2022 - přednáška se nekonala (onemocnění Covidem), ale bylo "přednáško-cvičení navíc" a probralo se:
  • determinant matice - úvodní "pokus": odvození determinantu čtvercové matice 2.řádu ze řešení soustavy dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé;
  • definice determinantu čtvercové matice řádu n  indukcí -  rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce;
  • vlastnosti a výpočet  determinantu matice; příklady výpočtu determinantů; 
  • Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy n rovnic pro n neznámých;
  • výpočet inverzní matice k regulární matici pomocí determinantů, a několik dalších užití determinantu.
• 2.3.2022 - přednáška se nekonala, bylo doporučeno "podívat se na záznamy loňských online přednášek z lineární algebry, ale i na cvičeních 3.3.  bylo
          probráno a též procvičeno: 
• definice lineárního zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; příklady lineárních zobrazení;
• obecný "návod" pro řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech; jako příklad - připomenutí tvaru řešení lineární diferenciální rovnice 1.řádu;
• L(x) = A x, kde A je matice typu (m,n) a x je vektor z Rⁿ , je lineární zobrazení Rⁿ do R^m , a tedy  - soustava m lineárních rovnic pro n neznámých je lineární rovnice ve vektorových  prostorech Rⁿ do R^m; příklady zobrazení L(x) = A x.
• další velmi "užitečný" příklad lineárního zobrazení v Rⁿ -  vyjádření  souřadnic vektoru z Rⁿ vzhledem k "nové" bázi v Rⁿ ; 
• lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení; souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ).
• 7.3.2022 - místo přednášky se konalo opět  "přednáško-cvičení navíc" a probralo se:
• jako příklad lineárního zobrazení -  nalezení matice "otočení" rovinného vektoru  o daný úhel;
• "změna" matice daného lineárního zobrazení Rⁿ do R^m při změně báze v prostorech Rⁿ, resp. R^m  ;
• dále příklady vyšetření vlastností lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ;
• vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice;  "návod" pro  výpočet vlastních čísel matice; a  příklady -  jen reálná vlastní čísla a navzájem různá;
• speciálně - má-li čvercová matice A řádu n vlastní čísla λ_i , i = 1,....n,  reálná a navzájem různá, pak vlastní vektory v_i , příslušné k λ_i , i = 1,....n, tvoří bázi Rⁿ ; a diagonální matice Λ  je matice  zobrazení L(x) = A x  vzhledem k této bázi.
  
  Záznamy online přednášek z lineární algebry (MA1) ze zimního semestru 2020/21"
   4.1.,  6.1.,  a  přednášky "navíc"  - 11.1.,  22.2.   a  23.2.  jsou na Google disku,  odkaz na Google disk zde ; 
  můžete se zde podívat i na záznamy Repetitorií MA1  "navíc"  - zde jsou řešeny další příklady k přednáškám z lineární algebry.

       Záznamy online přednášek z lineární algebry (MA2) z letního semestru 2020/21:
           1.3., 3.3., 8.3.. 15.3., 17.3.,  odkaz na Google disk  zde .
    
       A jako "studijní materiál"  k posledním přednáškám můžete použít i příklady k přednášce z 24.2.2020  a  dodatek k přednášce 24.2., 
        a třeba i jednoduché příklady z domácího úkolu pro Rozšíření MA1: 
        Domácí úkol 1. (LS 2019/20) :  Dú 1 - lineární algebra   a  jeho řešení  (i s návody a vysvětlením)   Dú 1 - řešení   a  dodatek k řešení Dú1  .

       Další soubory řešených příkladů budou ještě přidány.   

• 14.3.2022 - plán:
              nejprve stručně připomeneme obsah přednášek ze 17.3.3021 (náhradní za 10.3.2021) a 22.3.2021 - záznamy těchto přednášek byly náhradou
               za nekonanou přednášku 9.3.2022: 
  • obyčejné lineární diferencální rovnice druhého řádu - dva příklady  ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů),  odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
  • obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu  - "obecný návod"  pro  řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic ).
  • aplikace "obecného návodu" pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení homogenní rovnice;
  • a jako příklad  - úvodní poznámky k řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty  a s nulovou pravou stranou.
• 16.3.2022:
• nejpve stručné připomenutí návodu pro OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení homogenní rovnice;  
• řešení nehomogenní OLDR 2.řádu  metodou variace konstant;
• návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních);
• jednoduché příklady řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pro všechny tři případy řešení charakteristické rovnice (tj. kdy charakteristická rovnice má dva  různé reálné kořeny, resp. dvojnásobný kořen , resp. kořeny komplexní); 
• příklad výpočtu partikulárního řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty metodou variace konstant;
• úvodní příklad k metodě odhadu partikulárního řešení pro jednoduchou pravou stranu, a odtud odtud i úvodní úvahy o metodě odhadu partikulárního řešení.
  K této i následující přednášce se hodí poznámky a příklady z LS 2019/20 k přednášce MA2 2.3.20  zde  (zde jsou ještě příklady i k poslední části LA) a  k přednášce ze 4.3.20   zde  .
• 21.3.2022 :
  • příklad výpočtu partikulárního řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty metodou variace konstant;
  • metoda odhadu partikulárního řešení pro speciální pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely)  - úvod pomocí příkladů;
  • metoda odhadu partikulárního řešení obecně a pak ještě další příklady; 
  • a zde jsou poznámky k přednáškám o OLDR 2.řádu - OLDR 2.řádu - poznámky,  které by mohly třeba také pomoci v pochopení způsobu řešení OLDR 2.řádu ("uděláno" diky dotazu vašeho kolegy z předloňského LS).
    A navíc shrnutí - "domácí cvičení" z lineáních diferenciálních rovnic 2.řádu -  zadání příkladů  lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu , řešení 1.část  , řešení 2.část  .
    A třeba s hodí i domácí úkol z OLDR 2,řádu pro Rozšíření MA1:
          Domácí úkol 2.:   OLDR 2.řádu  - dú 2 RMA1  ( pdf ) -  opět prosím, přečtěte si zadání a můžete psát dotazy.    A zde je "moje"  řešení 2. domácího úkolu  (z loňska)   
• 23.3.2022:
• opakování základních poznatků o komplexních číslech;
• komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace, zatím jen intuitivně, bez důkazu; 
• zavedení komplexní exponenciely;
• užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice;
• příklady užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice;
• užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklad.
  A snad se hodí i  "písemná" přednáška - přednáška 11.3.20. - 1.část  - o komplexní exponenciele a jejím užití.
• 28.3.2022: 
• připomenutí definice a vlastností komplexní exponenciely a užití komplexní exponenciely při řešení hmogenní rovnice v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice;
• příklady užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice;
• soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
• počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - formulace problému , maticový zápis soustavy;
• "návod" k řešení  - užití obecného návodu k řešení lineárních rovnic z lineární algebry;
• byla uvedena (samozřejmě bez důkazu) věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu a dále, že vektorový prostor řešení homogenní soustavy n lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu má dimenzi n (odvození naznačeno);
• obecné řešení počáteční úlohy pro homogenní soustavu  - zápis pomocí fundamentální matice, příslušné  dané soustavě;
• metoda variace konstant pro nehomogenní soustavu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu - obecný "návod".
  Písemné poznámky k této a příští přednášce:
  přednáška z 11.3.20 (původně k přednášce 9.3.20):  přednáška 11.3.20. - 2.část   - úvod k řešení soustav diferenciálních rovnic 1.řádu s konstantními koeficienty
  a zápis první části další předloňské přednášky - přednáška 16.3.20 , a k této přednášce bylo přidáno několik řešených příkladů  - příloha k přednášce 16.3.20
  Další řešené příklady soustav lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu  -  "písemné" Repetitorium MA2 - soustavy OLDR 1.řádu 
• 30.3.2022:
• jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
• počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; příklady;
• a jen stručně: o řešení soustavy OLDR 1.řádu v případě vícenásobných a komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladech řešení soustav dvou lineárních rovnic1.řádu; o metodě variace konstant a odhad partikulárního řešení nehomogenní soustavy;
• převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu  a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
• 4.4.2022:
• úvod do diferenciálního počtu vektorových funkcí jedné proměnné, reálných funkcí více proměnných, a obecně vektorové funkce více proměnných z Rⁿ do R^m , "definice" těchto funkcí;
• příklady vektorových funkcí jedné proměnné;
• reálná funkce dvou a více  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor;  jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných. 
• prostory Rⁿ (spec. R² a R³ ) -  připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin) a pak velikost ( norma) vektoru a   euklidovská vzdálenost v prostorech Rⁿ , tedy euklidovský prostor Rⁿ (Eⁿ) ;
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice limity, dále spojitost a  derivace vektorové funkce jedné proměnné, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady.
   "Písemná" přednáška (LS 2019/20):  přednáška 18.3.2020 (první část)   a  přednáška 18.3.2020. (druhá část) .  
  A třeba by se mohla hodit i "pomůcka" pro Rozšíření MA1 (pro biochemiky) - řešené příklady:
  RMA1 dú 3  ( pdf ) - opakování analytické geometrie , vektorové funkce jedné proměnné a zde je "moje"  řešení 3. domácího úkolu (i s návody a vysvětlením).

• 6.4.2020:
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - opakování definice limity, dále spojitost a  derivace vektorové funkce jedné proměnné, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod množiny, izolovaný bod množiny; 
• limita a spojitost reálné funkce několika proměnných - definice;
• dále aritmetika limit a spojitosti, limita a spojitost složené funkce více proměnných; věta o limitě sevřené funkce;
• "jednoduché" příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
• "Písemná" přednáška (LS 2019/20):   přednáška 23.3.2020  
•  A jako pomůcka - řešené příklady (pro Rozšíření MA1):  
   RMA 1 dú 4 ( pdf ) - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) a  řešení 4. dú - první část  .

• 11.4.2022:
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných - definice; příklady výpočtu parciálních derivací funkce;
• parciální derivace vyšších řádů; příklady;
• záměnnost smíšených parciálních derivací vyšších řádů; 
• úvodní poznámky  "před"  definicí funkce diferencovatelné v bodě a totálního diferenciálu funkce (pro reálné funkce dvou proměnných).
  Písemná" přednáška (LS 2019/20): přednáška 23.3.2020 ;
  A jako pomůcka - řešené příklady (pro Rozšíření MA1) : 
  RMA 1 dú 4 ( pdf ) - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) - řešení 4. dú - druhá část 
• 13.4.2022:
• ještě příklady výpočtu parciálních derivací funkce dvou proměnných;
• funkce dvou proměnných - "cesta" k definici funkce diferencovatelné v bodě - odvození rovnice roviny, která by mohla být tečnou rovinou ke grafu funkce, diferencovatelná v bodě;
• funkce dvou proměnných: definice  - funkce je diferencovatelná v bodě ( tj. funkce má v bodě totální diferenciál)diferencovatelné funkce dvou proměnných, 
• rovnice tečné roviny ke grafu diferencovatelné funkce dvou proměnných a lineární aproximace reálné funkce dvou proměnných; příklady; 
• funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá;
• má-li funkce dvou proměnných v bodě spojité obě parciální derivace 1-řádu, pak má v tomto bodě totální diferenciál; 
• příklady funkcí dvou proměnných, které nemají totální diferenciál;
• a obecně - funkce n-proměnných diferencovatelná v bodě , totální diferenciál funkce - definice a "význam"; gradient funkce n-proměnných; poznámka o jednoznačnosti totálního diferenciálu; funkce n proměnných diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá;  má-li funkce n proměnných v bodě spojité všechny parciální derivace 1-řádu, pak má v tomto bodě totální diferenciál;  
• derivace ve směru -jen stručné úvodní poznámky pro funkci dvou proměnných (definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce). příklady výpočtu derivace ve směru;
  Písemná" přednáška (LS 2019/20):   přednáška 25.3.2020  
  A jako pomůcka - řešené příklady (pro Rozšíření MA1) :
  RMA 1 dú 4 ( pdf ) - diferenciální počet 1 (základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných) - řešení 4. dú - druhá část 
• 20.4.2022:
• derivace ve směru obecně - definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce, příklady výpočtu derivace ve směru;
• věta o derivaci složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné;
• příklady výpočtu derivací  složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné (i derivace vyšších řádů);
• derivace složené funkce, kdy vnější funkce i vnitřní vektorová funkce jsou funkce více proměnných;
  Písemná" přednáška (LS 2019/20):    přednáška 30.3.2020
  A jako pomůcka - řešené příklady (pro Rozšíření MA1) :
  RMA1 dú 5 ( pdf ) - diferencovatelnost funkce, totální diferenciál, derivace složené funkce více proměnných  a  řešení 5. dú - první část  a  řešení 5. dú - druhá část 
• 25.4.2022 :
• jen stručně - vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m )  - limita, spojitost, parciální derivace těchto funkcí;
• diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice;
• derivace složené vektorové funkce, příklad;
  "Písemná" přednáška:    přednáška 1.4.2020.   
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - úvodní úvahy a příklady, vedoucí k pojmu funkce, definované implicitně v okolí bodu.
• 27.4.2022:
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné - definice, věta o implicitní funkci;
• výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady;
• implicitně definovaná funkce více proměnných - definice a věta o implicitní funkci více proměnných, příklad; 
•  "Písemná" přednáška:    přednáška 6.4.2020  a  přednáška 8.4.2020.  
   A ještě několik příkladů ze zkouškových  "písemek" z minulých let (jako odměna pro čtenáře za "čtení písemných přednášek z matematiky")  - příklady implicitní fce:  zadání  a  řešení  .
  a  jako další "pomůcka" - řešené příklady (domácí úkoly, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1, se shrnutím látky a s návody) RMA1 dú 6  - řešení 1.část  (implicitní funkce).
• množiny bodů v Rⁿ - vnitřek množiny, hraniční bod množiny a hranice množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast .
• 2.5.2022:
• "počítací hodina" před přednáškou (podle naší dohody pro "zájemce", čekající na přednášku) -  příklady derivování složených funkcí více proměnných - užití "žetízkového pravidla" ;
• ještě připomenutí - definice a věta o implicitní funkci více proměnných
• extrémy funkcí více proměnných -úvod;
• extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů, příklady;
• věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
• lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu;
• postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice, Hessián).
• příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; 
  Probereme jen stručně, podrobně je vše uvedeno v loňské "písemné" přednášce  "Písemná" přednáška:  přednáška 15.4.2020. 
  A  je zde i komentář k této "písemné" přednášce, asi se hodí i nyní:   "Než začnete číst, chci se omluvit, že "dnešní přednáška" je hodně obsáhlá, jako dvě přednášky dohromady, a opět není pro čtenáře "jednoduchá" (zvláště část o kvadratických formách je navíc, píšu - pro "zájemce" -  nemusíte číst). A pro základní návod na vyšetření lokálních extrémů stačí až "konec" vyšetřování, pomocí Hessiánu dané funkce. Pro úplnost jsem napsala do přednášky vše důležité a snad i užitečné."
  a  jako další "pomůcka" - řešené příklady (domácí úkoly, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1, se shrnutím látky a s návody)   RMA1 dú 6 - řešení 2.část (extrémy) .
  
• 3.5.20222 - přednáška "navíc" (v CH4 - 8:10 - 9:40 v době "hromadných" konzultací):
• derivace složené funkce více proměnných - opakování a příklady užití řetízkového pravidla a příklady;
• užití vět o implicitní funkci;
• 4.5.2022: 
• podrobněji o extrémech funkcí dvou proměnných s jednoduchými příklady vyšetření lokálních extrémů funkce i extémů globálních.
• opakování definice a základních vlastností jednorozměrného Riemannova integrálu - pro "osvěžení" toho, bylo probráno v MA1;
• a pak to nejjednodušší zobecnění - pomocí příkladu ukázána "cesta" k definici dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, pak definice dvojného integrálu přes obdélník;
• podmínka nutná  a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu přes obdélník (naznačení "proč", ale  bez důkazů) - linearita, aditivita, uspořádání, věta o střední hodnotě;
  "Písemná" přednáška:  přednáška 20.4.2020.  
• 5.5.2022 - přednáška "navíc" místo repetitoria MA2 (v CH7 - 16:30 - 18:00):
  • opakování definice dvojného integrálu "přes" obdélník, existence a vlastnosti dvojného integrálu přes obdélník;
  • výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník; 
•  příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů.
• 9.5.2022:
  • připomenutí definice, podmínek existence a vlastností Riemnnova integrálu přes obdélník;
  • výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník; příklady;
    "Písemná" přednáška:  přednáška 20.4.2020.  a  dodatek k přednášce - ještě několik příkladů k přednášce 20.4.2020 zde 
  dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, podmíny existence, výpočet  - Fubiniova věta;
  • příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
    "Písemná" přednáška:   přednáška 22.4.2020. 
• substituce ve dvojném integrálu do polárních souřadnic;
• příklady aplikací dvojného integrálu a výpočtu dvojných integrálu pomocí substituce do polárních souřadnic;
  "Písemná" přednáška:   přednáška 27.4.2020.  
  A jako pomůcka - řešené příklady (domácí úkol, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1) :  RMA1 dú 7  - dvojný integrál   a    dú 7 - řešení  
• definice trojného Riemannova integrálu, podmínky existence a vlastnosti trojného integrálu; 
• výpočet trojného Riemannova integrálu - Fubiniova věta; 
• příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů;
  "Písemná přednáška:   přednáška 29.4.2020   
• 11.5.2022:
  • substituce ve dvojném integrálu do polárních souřadnic;
  • příklady aplikací dvojného integrálu a výpočtu dvojných integrálu pomocí substituce do polárních souřadnic;
    "Písemná" přednáška:   přednáška 27.4.2020.  
    A jako pomůcka - řešené příklady (domácí úkol, ale spíše "domácí cvičení" , pro Rozšíření MA1) :  RMA1 dú 7  - dvojný integrál   a    dú 7 - řešení  
  • definice trojného Riemannova integrálu, podmínky existence a vlastnosti trojného integrálu; 
  • výpočet trojného Riemannova integrálu - Fubiniova věta; 
  • příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů;
    "Písemná přednáška:   přednáška 29.4.2020   
• 12.5.2022  - přednáška "navíc" místo repetitoria MA2 (v CH7 - 16:30 - 18:00) se nekoná - zápočtový test .
• 16.5.2022 -  přednáška "navíc" (CH1 9:00 - 12:00):
• ještě příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů;
• substituce v trojném integrálu - úvodní příklad a "cesta" k substituci do válcový souřadnic v trojném integrálu;
• substituce v trojném integrálu -  válcové souřadnice a  sférické souřadnice; příklady;
  "Písemná přednáška:   přednáška 29.4.2020    a   přednáška 4.5.2020. - 1.část   
  A jako pomůcka - řešené příklady ("domácí cvičení" pro Rozšíření MA1) :    RMA1 dú 8  - trojný integrál   a  dú 8 - řešení  .
• křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
• "odvození" definice křivkového integrálu skalární funkce;
• upřesnění  - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;  příklady parametrizace křivek;
• existence křivkového integrálu skalární funkce, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
• příklady výpočtu a aplikací křivkového integrálu skalární funkce;
  "Písemná" přednáška:   přednáška 4.5.2020. - 2.část    a  přednáška 6.5.2020.
• 17.5.2022 -  přednáška "navíc" (CH4 8:10 - 11:00):
  • křivkový integrál vektorové funkce jako práce vektorového pole po cestě, dané křivkou;
  • existence, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu vektorové funkce;  příklady výpočtu křivkového integrálu vektorové funkce;
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě -  potenciální pole, poteciál, příklady;
  • nutná podmínka a postačující podmínky potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole, příklady;
  • poznámka - Greenova věta; operátory rotace a divergence a jejich význam.
    "Písemná" přednáška:   přednáška 6.5.2020.   a    přednáška 11.5.2020
    A třeba pomůže i  řešení domácího úkolu "z křivkového integrálu"  (se shrnutím a s návody)  pro Rozšíření MA1: RMA1 dú 9 - řešení .
• 18.5.2022 -  přednáška "navíc" pro "zájemce"  (G1 8:10 - 11:00): 
  Jen stručně:
• nevlastní  integrál přes neomezený interval - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
• vyšetřování konvergence nevlastního integrálu přes neomezený interval: 
  srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
• absolutní konvergence nevlastních integrálů.
• nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
• vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady. 
• absolutní konvergence nevlastních integrálů;
• nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
• vyšetřování konvergence nevlastního integrálu z neomezené funkce, příklady. 
  "Písemná přednáška:  přednáška 13.5.2020   
    a "tahák"  (nebo-li stručné shrnutí "dlouhé" přednášky) i s dalšími příklady -  nevlastní integrál 
  
  A trošku o nekonečných řadách ( k písemným přednáškám 18.5. a 20.5.2020 ), a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět:  

• nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
• nutná podmínka konvergence řady;
• kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
• a jen stručně:  absolutní a neabsolutní konvergence řady;
• řady funkcí  - obecně, jen sručné úvodní poznámky;
• mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad;
• mocninná  řada je Taylorovou  řadou svého součtu;
• a jen velmi stručně o Fourierových řadách.
  
  A pro zájemce jsou zde dvě závěrečné "písemné" přednášky o nekonečných řadách z loňské matematiky A2 
  (a nekonečné řady můžeme také  probrat v následujícím zimním semestru ve výběrové přednášce   "Vybrané partie z matematiky") :

•  "Písemná" přednáška 18.5.2020:   přednáška 18.5.2020 
  • nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
  • nutná podmínka konvergence řady;
  • kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
  • a jen stručně:  absolutní a neabsolutní konvergence řady;
    a  dodatek k přednášce 18.5.2020 - důkazy některých kriterií konvergence (nepovinné - je to pro zájemce).
•  "Písemná" přednáška 20.5.:   přednáška 20.5.2020 a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět:
  • řady funkcí  - obecně, jen sručné úvodní poznámky;
  • mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad;
  • mocninná  řada je Taylorovou  řadou svého součtu;
  • a jen velmi stručně o Fourierových řadách.
    
    A  ještě třeba bude užitečné:  
           nekonečné řady - "tahák"    a     nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady.