Vybrané partie - LS 2019/20
Naděžda Krylová
PřF UK , Ústav aplikací matematiky a výpočetní techniky
Albertov 6, 2. poschodí, 209
Kontakt:
krylova@natur.cuni.cz
krylova@kam.mff.cuni.cz
SOS linka : mobil 604 268 425
Ve "Vybraných partiích z matematiky" v letním semestru se obvykle seznámíme aspoň se základy teorie Hilbertových prostorů (pro kvantovou fyziku), to je hlavním cílem letních Vybraných partií. Začínáme zpravidla s Hilbertovým prostorem l2 , což je asi Hilbertův prostor nejbližší tomu, co už známe z přednášek MA1 a MA2, tj. lineárním prostorům Rn konečné dimense, se skalárním součinem, pomocí kterého pak lze definovat normu prvku a poté pomocí normy definujeme i vzdálenost Rn , a můžeme tak "budovat" diferenciální i integrální počet funkcí více proměnných (v MA2).
Před tím, než začínáme studovat Hilbertovy prostory, ještě shrneme a doplníme základní informace o metrických prostorech, a pokud to nestihneme ve "Vybraných partiích" v sememestru zimním, probereme aspoň trošku Fourierovy řady, abychom mohli ocenit zobecněné Fourierovy řady v Hilbertových prostorech. A tedy je zapotřebí trošku se podívat do světa obecných funkčních řad, a na problémy s jejich konvergencí. A pokud nám "Vybrané partie" jdou dobře, tak se ještě někdy dostaneme k Lebesgueovu integrálu a tak i k dalšímu velmi důležitému a užitečnému v aplikacích Hilbertovu prostoru Lebesgueovsky integrovatelných funkcí, prostoru L2 .
V uplynulém letním semestru jsme jen mohli začít s opakováním a dokončením ještě několika věcí ze zimních Vybraných partií před přerušením výuky kvůli koronaviru, a omlouvala jsem se, že už jsem nezvládla tu dálkovou výuku Vybraných partií. Tak zatím zde najdete aspoň něco ke čtení o tom, co jsme plánovali pobrat. A pokud si budete ještě přát, můžeme na podzim udělat několik setkání s nekonečnými řadami a Hilbertovýmí prostory, a nebo třeba, budete-li chtít, mohly by Vybrané partie v zimním semestru mít dvě paralelky, v jedné by se probíralo to, co je v zimě obvyklé, a ta druhá paralelka by byla pro vás a HIlbertovy prostory.
A "ke čtení":
O řadách funkcí - hezké čtení:
1. Skripta prof. Luboše Picka a jeho kolegů KMA MFF : http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pick/analyza.pdf - najdete zde vše z matematické analýzy, i o řadách číselných, funkčních i spec. Fourierových;
2. Od docenta RNDr. J.Veselého, CSc: Fourierovy řady
3. Materiály VUT Brno : https://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-III/sc-7-sr-1-a-26/default.aspx
Metrické, a zvláště Hilbertovy prostory:
1. Prof. Ing. Ladislav Lukšan, DrSc. : http://www.cs.cas.cz/~luksan/lekce2.pdf
2. Od docenta RNDr. J.Veselého, CSc.: metrické prostory - http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma14-15/TUL/AN3E/kapi12.pdf ;
separabilní prostory http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/ma14-15/TUL/AN3E/kapi13.pdf
Hilbertovy prostory kapitola 5 - Hilbertovy prostory
Základy matematické analýzy - 2.díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/MA/MA2/Vesely_II.pdf
Literatura - Fourierovy řady, Hilbertovy prostory: Jiří kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky III.
Jozef Kvasnica: Matematický aparát fyziky.
Alois Kufner: Geometrie Hilbertova prostoru.
Alois Kufner, Jan Kadlec: Fourierovy řady.
G.H.Hardy, W.W.Rogosinski: Fourierovy řady. (Mám dvakrát, mohu půjčit) .
A něco ode mě:
Pro Matematiku A2 jsem napsala podrobněji přednášku o nekonečných řadách, než jsme stačili probrat loni, tak to může být pro Vás též užitečné jako opakování a začátek přemýšlení o nekonečných řadách:
Z MA2:
"Písemná přednáška 18.5.: přednáška 18.5. a dodatek k přednášce 18.5.- důkazy něketrých kriterií konvergence (nepovinné - je to pro zájemce);
"Písemná přednáška 20.5.: přednáška 20.5. a poznámka - řady se nebudou zkoušet, ale je dobré o řadách "něco" trošku vědět.
A trošku o řadách funkcí - cvičení z matematické analýzy pro informatiky, které jsem psala kdysi, když jsem díky úrazu měla neschopnost celý prosinec a neměl za mě kdo suplovat:
1. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady;
2. konvergence posloupností funkcí - shrnutí i řešené příklady i úlohy;
3. Řady funkcí ; a Mocninné řady ; a několik příkladů vyšetřování konvergence funkčních řad, i mocninných; užití derivování, resp. integrování řady funkcí "člen po členu" zde .
4. něco k řadám Fourierovým, ale napíšu to pro vás "lépe":
Fourierovy řady - příklady zde; a ještě další příklady řešené .
A pokusím se pro vás přepsat trošku čitelně přednášky o Hilbertových prostorech z "Vybraných partií" z minulých let, během léta.
A pokud najdete ještě dobré zdroje i vy sami, napište, prosím, pokud to dovolíte, můžeme to dát na "dub" i pro ostatní..