Matematická analýza pro informatiky III ( 2019 /20)

Cvičení k přednášce Matematická analýza  III (NMAI056) (pátek 10:40 - 12:10 v T5) 

(přednáší  docent  RNDr. Martin Klazar, Dr.)

Konzultační hodiny: Od devíti hodin ráno v pátek před cvičením ( v "Troji") nebo pak po dohodě  ( e-mailem krylova@kam.mff.cuni.cz   nebo  krylova@natur.cuni.cz  nebo na 604 268 425) .

Domácí úkoly můžete  poslat e-mailem, pokud je budete chtít mít opravené do příštího cvičení,  nebo aspoň  na příštím cvičení pak odevzdat.

Probírané příklady na cvičeních:

• Cvičení 1. (4.10.2019) :  Metrický prostor a metrika (připomenutí axiomů metrického prostoru obecně); trošku - k čemu jsou metrické prostory "dobré" ; dále příklady metrických prostorů a ověření axiomů příslušných metrik, řešení několika úloh z první přednášky.
  Příklady z 1. cvičení a problémky k promyšlení na cvičení příští (můžete řešení i sepsat a přinést - pak mohu přečíst a zkontrolovat): Metrické prostory 1  ( pdf ).
• Cvičení 2. (11.10.2019) :   Další příklady metrických prostotů a metrik ( příklady 3., 4,.5. z Metrických prostorů 1 a 2. z Metrických prostorů 2). Lineární prostor se skalárním součinem <u,v> , norma a metrika odvozená ze skalárního součinu (definivaná jako norma rozdílů dvou prvků); důkaz Schwartzovy nerovnosti  a odtud důkaz trojúhelníkové nerovnosti pro uvedenou metriku (příklad 6. z metrických prostorů 1) .
  Příklady (pro 2.cvičení)  zde   ( pdf ) .
  Domácí úkol: promyslet a případně sepsat příklady 4. a 5.a),b) z metrických prostorů 2 (nebo si "vyberte" i problém jiný). A ještě si zopakujte definice pojmů v př.6. .
  Cvičení 3. (18.10.2019) : ekvivalence metrik v metrickém prostoru; konvergence v metrickém prostoru obecně a příklady  - konvergence v prostorech Rⁿ a C(<a,b>) ; opakování následujících pojmů obecně a pak v některých "užitečných" metrických prostorech - koule v metrickém prostoru;  množina otevřená, uzavřená, kompaktní a jejich vlastnosti; hromadný bod množiny, uzávěr a hranice množiny.
  Příklady ještě z  2.cvičení -  Metrické prostory 2. 
  Domácí úkol:  dú cv.3  ( pdf ) 
• Cvičení 4. (25.10.2019): ještě konvergence v některých metrických prostorech, vlastnosti podmnožin v metrických prostorech a vztah bodu a množiny; kompaktní metrický prostor, úplný metrický prostor; spojitost zobrazení metrického prostoru.
  Příklady (pro 4. cvičení)  zde  ( pdf ). 
  Domácí úkol: dú cv 4  ( pdf )
• Cvičení 5. (1.11.2019): Ještě metrické prostory, zvláště kompaktní metrický prostor, úplný metrický prostor; spojitost zobrazení metrického prostoru - Heineho definice spojitosti zobrazení mezi metrickými prostory, Banachova věta o pevném bodu zobrazení - probrali jsme podrobněji "návod" k důkazu.
  Příklady (pro 5. cvičení)  zde  ( pdf).
  Domácí úkol: Podrobně sepsat  důkaz Banachovy věty o pevném bodu. 
  
• Cvičení 6. (8.11.2019):  
  Vyšetřování konvergence posloupností funkcí - zopakování, "co je" konvergence bodová, resp. stejnoměrná. resp. lokálně stejnoměrná  poslounosti funkcí na množině, a vyšetřování konvergence
  posloupnosti funkcí.
  Příklady řešené i úlohy - konvergence posloupností funkcí  a dále úlohy ze 6.přednášky (6.11.).
  Domácí úkol: 1. Promyslet si první část přednášky o metrických prostorech a případně si připravit ještě otázky k metrickým prostorům  (co byste chtěli ještě probrat a zopakovat); 
                          2. Podrobně sepsat řešení dvou úloh  - zde ( pdf ) (stačí do cvičení 22.11.) a také důkaz Banachovy věty o pevném bodu, pokud jste to ještě nestihli.
                          3. A domácí úkol z konvergence posloupností funkcí "do příště": zde  ( pdf ). 
• Cvičení 7. (15.11.2019): Metrické prostory - shrnutí; vyšetřování bodové, stejnoměrné i lokálně stejnoměrné konvergence posloupností funkcí - i příklady z dú z minulého cvičení; opakování konvergence nekonečných řad číselných (jako příprava na vyšetřování konvergence řad funkcí).
• Cvičení 8. (22.11.2019): ještě vyšetřování konvergence posloupností funkcí , záměna limity a derivování, resp. integrování,  příklady ve cvičení 6.
• Cvičení 9. (29.11.2019): Ještě vyšetřování konvergence posloupností funkcí - probrali jsme na cvičení několik úloh, zadaných v zápisu 8.přednášky docenta Kalzara z 20.listopadu. Dále úvod do vyšetřování  konvergence řad funkcí, i řad mocninných. 
  Pomůcka i pro další cvičení - příklady řešené i úlohy :  Řady funkcí  a  Mocninné řady .
  Domácí úkol: "Dopočítat" integrál v úloze 6. z přednášky a zjistit tak, jak to "vypadá s limitou integrálů" . A domácí úkol  dú cv9  ( pdf ) .
• Cvičení 10. (6.12.2019) : Vyšetřování konvergence funkčních řad, i mocninných. Příklady z dú 9.
• Cvičení 11. (13.12.2019)  - po dohodě s posluchači (kvůli mému lékařskému vyšetření, které nebylo možno přesunout na jiný terrmín) v "písemné podobě  - cvičení "dálkové):
  Vyšetřování konvergence funkčních řad, i mocninných; užití  derivování, resp. integrování řady funkcí "člen po členu"  - 1.část cvičení zde .
  2.část - Fourierovy  řady - 1. příklady i pro příští cvičení zde; 2. Fourierovy řady - příklady řešené (1.část)  (ještě další budou, omlouvám se, že později).