Matematická analýza pro informatiky II ( 2018 /19)
Cvičení k přednášce Matematická analýza II (NMAI055) (čtvrtek 9:00 - 10:30 v S10)
(přednáší docent RNDr. Martin Klazar, Dr.)
Konzultační hodiny
- před cvičením ve čtvrtek od 8:00 v S10, v úterý 8:00 - 10:00 na Albertově ( budova děkanátu PřF Albertov 6, pracovna 209 ve druhém poschodí);
- nebo po dohodě ( e-mailem krylova@kam.mff.cuni.cz nebo krylova@natur.cuni.cz nebo na 604 268 425).
Domácí úkoly můžete dávat do přihrádky, která je na skříňce na chodbě KAMu ve druhém patře ( proti sekretariátu KAMu) do pondělního večera nebo poslat e-mailem, pokud je budete chtít mít opravené do příštího cvičení, nebo aspoň na příštím cvičení pak odevzdat.
Probírané příklady na cvičeních:
- Cvičení 1. (21.2.2019) :
Primitivní funkce - opakování definice, nutná podmínka a postačující podmínka existence, základní vzorce a pravidla výpočtu primitivních funkcí, integrace per partes.
Příklady ke cvičení 1,2 - primitivní funkce 1 ( pdf )
Užití derivace funkce a průběhu funkce (důkazy nerovností, užití Lagrangeovy věty o střední hodnotě, vyšetřování extrémů funkce, Taylorův polynom) budeme cvičit příští cvičení. Příklady ke cvičení 1,2 - užití derivace funkce ( pdf ).
Domácí úkol: Zkuste spočítat integrály "z příkladů" pro dnešní cvičení (a zopakujte si tabulku základních derivací i výpočet derivací funkce, pokud ještě někdy při derivování váháte) a promyslete, prosím, i na příklady k užití derivace funkce. Výběr příkladů v dú 1 ( pdf ) - Cvičení 2. (1.3.2018):
Výpočet primitivních funkcí - ještě integrace per partes a pak užití 1. věty o substituci - příklady z minulého cvičení a primitivní funkce 2 ( pdf ).
Užití derivace funkce (důkazy nerovností, výpočet limit s užitím věty o střední hodnotě) - příklady ze cvičení 1.
Domácí úkol: dú2 ( pdf ) - Cvičení 3. (8.3.2019): Taylorův polynom a jeho užití při výpočtu limit (příklady z prvního cvičení a z dú2). Výpočet primitivních funkcí - užití 2. věty o substituci. Příklady z minulého cvičení.
A ještě slíbený "tahák" pro výpočet neurčitého integrálu zde ( je pro matematiku A1 na PřF, tak je jednodušší, ale snad to nevadí).
Domácí úkol: dú 3 ( pdf ) - Cvičení 4. (15.3.2019): Integrace racionálních funkcí - opakování "návodu" a příklady. A pak integrály, které lze vhodnými substitucemi převést na integrály funkcí racionálních.
Příklady z druhého cvičení a dále primitivní funkce 3 ( pdf )
Domácí úkol: dú 4 ( pdf ) - Cvičení 5. (21.3.2019):Problém "slepování" primitivní funkce; dále integrály, které lze vhodnými substitucemi převést na integrály funkcí racionálních (příklady z minulého cvičení),
Domácí úkol: dú 5 ( pdf ) - Cvičení 6. (28.3.2019): Ještě výpočet primitivních funkcí - vhodné substituce, vedoucí na integraci racionální funkce (příklady z domácího úkolu 5); "slepování" primitivní funkce.
Snad v neděli zde bude slíbené řešení domácího úkolu 5.
Domácí úkol: dú 6 ( pdf ) - Cvičení 7. (4.4.2019) - plán: Integrál určitý - opakování definice a vlastností integrálů Riemannova i Newtonova, výpočet substitucí i integrací per partes, aplikace určitého integrálu -
příklady určitý integrál ( pdf ).
Domácí úkol: dú 7 ( pdf ) - Cvičení 8. (11.4.2019): Integrál určitý - výpočet integrací per partes a substitucí, apllkace určitého integrálu, integrální kriterium konvergence řad. A pak začátek vyšetřování funkcí více proměnných - limita, spojitost, případně i výpočet parciálních derivací (podle přednášky v úterý 9.4.) - příklady (i pro další cvičení): funkce více proměnných 1 ( pdf ).
Domácí úkol: pokud jste zatím neřešili , tak zkuste něco z dú 7 ( du 7 pdf ) z minulého cvičení a můžete dále vyzkoušet jako dú 8 "1.domácí test" ( pdf ) (shrnutí "integrálů"). (Omlouvám se za pozdní zadání.) A slíbené 1.domácí test - řešení (prosím, upozorněte na chyby, najdete-li nějaké). - Cvičení 9. (18.4.2019): Ještě poznámky k užití věty o substituci pro určitému integrálu. Dále vyšetřování funkcí více proměnných - limita, spojitost, výpočet parciálních derivací a derivací ve směru, diferenciál a jeho užití, případně derivace složených funkcí více proměnných (podle přednášky v úterý 16.4.) - příklady z minulého cvičení a (asi i pro další cvičení): a (asi pro další cvičení) funkce více proměnných 2 ( pdf ), funkce více proměnných 3 ( pdf ) .
Domácí úkol: dú 9 ( pdf ) - Cvičení 10. (25.4.2019) : Ještě užití určitého integrálu - integrální kriterium konvergence řad. Funkce více proměnných ( i obecněji f : Rm → Rn ), pokud bude třeba, opakování základních pojmů - limity, spojitost, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciál a jeho užití; pak derivace složených funkcí více proměnných ("řetízkové pravidlo") - příklady ze cvičení 9 ; a dále podle přednášky v úterý 23.4.). Příklady - vyšetřování extrémů lokálních i globálních (zatím jednoduché příklady) funkce více proměnných 4 ( pdf ) . A příklady pro další cvičení - implicitní funkce a vázané extrémy - funkce více proměnných 5 - implicitní funkce ( pdf ) a funkce více proměnných 6 - extrémy ( pdf ) .
Domácí úkol: dú 10 ( pdf ) - Cvičení 11. (2.5.2019): ještě vyšetřování diferencovatelnosti funkce - problémky z domácího úkolu a "protipříklady"; pak derivace složených funkcí více proměnných ("řetízkové pravidlo") - příklady ze cvičení 9.
Domácí úkol: dú 11 ( pdf ) - Cvičení 12. (9.5.2019): Ještě derivování složených funkcí více proměnných; pak vyšetřování extrémů lokálních i globálních (nejprve jednoduché příklady) funkce více proměnných 4 ( pdf ) .
Dále implicitní funkce - příklady funkce více proměnných 5 - implicitní funkce ( pdf ) . A několik řešených příkladů - funkce, definované implicitně: funkce, definované implicitně - řešené příklady 1 ; funkce, definované implicitně - řešené příklady 2 .
Domácí úkol: dú 12 ( pdf ) - Cvičení 13. (16.5.2019): diferenciál funkce a Jacobiho matice funkce f : Rm → Rn , Jacobiho matice složeného zobrazení; Dále ještě implicitní funkce - příklady viz minulé cvičení ( funkce více proměnných 5 - implicitní funkce ( pdf ) ) a vyšetřování extrémů lokálních i globálních (nejprve jednoduché příklady) funkce více proměnných 4 ( pdf ) . Úvodní příklad vyšetřování vázaných extrémů (užití Lagrangeových multiplikátorů) - příklady i pro další cvičení funkce více proměnných 6 - extrémy ( pdf ) .
Domácí úkol: příklady k promyšlení jako příprava na příští poslední cvičení - dú 13 ( pdf )
A několik řešených příkladů:
Funkce, definované implicitně: funkce, definované implicitně - řešené příklady 1 ; funkce, definované implicitně - řešené příklady 2 .
Vyšetřování lokálních a globálních extrémů funkcí více proměnných - zde (prosím, upozorněte na chyby, najdete-li nějaké).
A ještě, pokud se chcete podívat - z předloňského roku zápočtový test z 28.5.2017 se řešením zde (omlouvám se za ne příliš úhledné písmo, řešení bylo jen pro mne). - Cvičení 14. (23.5.2019) - plán: Implicitní funkce - příklady viz minulá cvičení a vyšetřování globálních a vázaných extrémů funkce - příklady funkce více proměnných 6 - extrémy ( pdf ) . Metrické prostory.