Matematika A2, LS 2018/19

Sylabus a literatura  -  SIS

Konzultační hodiny:  pondělí 9:45 - 10:30  v CH4,  po přednášce ve středu 10:00 - 11:00 v CH1 nebo v  pracovně (Albertov 6, místn. 209), nebo i po dohodě.
Navíc, v pondělí 8:10 - 9:40 se koná v CH4  Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím.

Zkoušky : 

• Požadavky ke zkoušce (upřesněné) - zde
  
• Ukázkové příklady zkouškového  testu  - zde
  
• Ukázkový test   zde

 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  
  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
   
   

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2014/2015: 
Příklady z lineární algebry 1 ; Příklady z lineární algebry 2 ;  Komlexní čísla - opakování ; Komplexní čisla  a komplexní funkce ,OLDR 2.řádu ;  OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu ; 
Funkce více proměnných 1; Funkce více proměnných 2 ; Funkce více proměnných 3 ;  Dvojný a trojný integrál1 ;  Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2014/2015 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky): 
Lineární algebra 1 - dú 1;  Lineární algebra 2 - dú 2;  Komplexní čísla - dú 3;  OLDR 2.řádu - dú 4;  Soustavy OLDR 1.řádu - dú 5; 
dú 6 - funkce více proměnných 1;  dú 7 - funkce více proměnných 2 (implicitní funkce);  dú 8  -  funkce více proměnných 3 (extrémy); 
dú 9 - dvojný a trojný integrál;  dú 10 - křivkový integrál;  dú11 - nevlastní integrál;  dú12 - nekonečné řady.

 

 

Přednáška -  pondělí 10:40 - 12:10 (CH1) a středa 8:10 - 9:40 (CH1) :  

• 18.2.2019:
  • Úvod - o obsahu přednášky;
  • lineární algebra podruhé ( shrnutí základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1 );
  • lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení;
  • spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení.
• 20.2.2019: 
• ještě lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ;
• další příklady lineárních zobrazení;
• obecný postup při řešení lineární rovnice ve vektorových prostorech;
• vlastní čísla a vlastní vektory matice - zatím jen úvodní příklad.
• 25.2.2019:
  • mimo plán - vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice limity, dále spojitost a  derivace vektorové funkce, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• vlastní čísla a vlastní vektory matice - definice a  příklady -  jen reálná vlastní čísla navzájem různá;
• lineární rovnice druhého řádu  - "obecný návod"  pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic ) a příklad na úvod - rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu.
• 27.2.2019:
• formulace počáteční úlohy  OLDR 2.řádu;
• aplikace "obecného návodu" pro řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu ( bez důkazu), a odtud - množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení homogenní rovnice;
• řešení nehomogenní rovnice metodou  variace konstant; 
• fundamentální systém OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních); jako "návod" k  nalezení fundamentálního systému v případě komlexních kořenů -  řešení rovnice harmonických kmitů.
• 4.3.2019:
• příklady výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant;
• metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady;
• opakování základních poznatků o komplexních číslech;
• 6.3.2019:
  • shrnutí metody odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), další příklady;
  • komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; 
  • zavedení komplexní exponenciely; derivace funkce exp(ax), kde a je komplexní konstanta a x je reálná proměnná;
  • užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice, příklady;
  • užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice;
• soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy.
• 11.3.2019:
  • počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - formulace problému , maticový zápis soustavy, "návod" k řešení ;
  • jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
• počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy; příklady.
• 13.3.2019:
• jen stručně: 
• o řešení soustavy OLDR 1.řádu v případě vícenásobných a komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladech řešení soustav dvou lineárních rovnic1.řádu; 
• o metodě variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy;
• převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu  a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu;
• reálná funkce dvou a více  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy a problémy.
• 18.3.2019:
  • ještě několik dalších příkladů reálných i vektorových funkcí více proměnných;
  • jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných;
  • připomenutí pojmu metriky v Rⁿ  (zvláště Euklidovská metrika); 
  • množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod;
  • vlastní limita  reálné  funkce několika proměnných - definice, jednoduché příklady.
• 20.3.2019: 
• limita a spojitost reálné i vektorové funkce několika proměnných - definice, aritmetika limit, limita a spojitost složené funkce více proměnných; 
• jednoduché příklady výpočtu limity reálné funkce více proměnných;
• množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod, hraniční bod množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ;
• funkce spojitá na množině; věta o nabývání globálních extrémů reálné funkce více proměnných na kompaktní množině a o nabývání mezihodnot (bez důkazů);
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných - úvodní poznámky a definice.
• 25.3.2019:
• ještě příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
• funkce spojitá na množině; věta o nabývání globálních extrémů na kompaktní množině a o nabývání mezihodnot (bez důkazů);
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných, příklady  výpočtu parciálních derivací;  
• parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací;
• úvodní poznámky k definici funkce diferencovatelné v bodě pro reálné funkce dvou proměnných.
• 27.3.2019:
  • příklady funkcí, které nemají totální diferenciál i příklad funkce diferencovatelné a její lineární aproximace v okolí bodu;
• funkce n-proměnných diferencovatelná v bodě , totální diferenciál funkce - definice a "význam", gradient funkce n-proměnných.
• funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá, jednoznačnost totálního diferenciálu (i s důkazem);
• rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace reálné funkce více proměnných;
• derivace ve směru - definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce, příklady výpočtu derivace ve směru;
• věta o derivaci složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné; příklady výpočtu derivací (i vyšších řádů).
•  1.4.2019:
• příklady výpočtu derivací  složené funkce více proměnných, kde vnitřní funkce je vektorová funkce jedné proměnné (i derivace vyšších řádů).
• věta o parciální derivaci složené funkce více proměnných ( kde vnitřní funkce je vektorová funkce nekolika proměnných);
• příklady výpočtu derivací (i vyšších řádů) složených funkcí více proměnných.
•  3.4.2019:
• užítí věty o derivování složené funkce více proměnných - transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (nalezení řešení parciální diferenciální rovnice);
• ještě další příklad - vlnová rovnice v jedné dimenzi;
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - úvod.
• 8.4.2019:
• dodatek k přednášce 3.4. - vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m )  - limita, spojitost, diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice, derivace složené vektorové funkce, příklady;
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné - definice, věta o implicitní funkci, výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady.
• 10.4.2018:
• a zobecnění - implicitně definovaná funkce více proměnných - definice a věta o implicitní funkci více proměnných, příklady; 
• systém implicitně definovaných funkcí - příklad.
• 15.4.2019:
• příklad užití věty o implicitní funkci dvou proměnných - rovnice tečné roviny k ploše;
• extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů, příklady;
• věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
• lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu.
• 17.4.2019:
• druhý diferenciál, diferenciály vyšších řádů a Taylorův polynom pro funkce  více proměnných;
• postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice).
• příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverce.
• definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace;
• výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník ; příklady.
• 24.4.2019: 
  • opakování definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník;  nutná podmínka a postačující podmínky existence dvojného Riemannova integrálu přes obdélník;
  •  vlastnosti dvojného integrálu, aplikace;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, podmíny existence, výpočet  - Fubiniova věta;
  • příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů.
• 29.4.2019 - náhradní přednáška 8:00 - 8:50 v CH4 (dále pak pokračuje Repetitorium MA2):  
• další příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
• substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic); příklady.
• 29.4.2019:
  • definice trojného Riemannova integrálu, existence a vlastnosti;  
  • výpočet trojného integrálu - Fubiniova věta;
  • příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů.
• substituce v trojném integrálu -  válcové souřadnice; příklady.
•  6.5.2019 - náhradní přednáška 8:00 - 8:50 v CH4 (dále pak pokračuje Repetitorium MA2):
  • substituce v trojném integrálu - sférické souřadnice; příklady;
  • křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
  • co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární a vektorové funkce, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární i vektorové funkce.
•  6.5.2019:
  • ještě stručné opakování z "ranní " přednášky : substituce v trojném integrálu - sférické souřadnice; příklady;
  • křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
  • co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární a vektorové funkce, vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární i vektorové funkce; příklady.
• 13.5.2019 - náhradní přednáška 8:00 - 8:50 v CH4  (dále pak pokračuje Repetitorium MA2) :
• nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady;
• nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole; operátor rotace;
• výpočet potenciálu vektorového pole, příklady.
• Greenova věta; operátory rotace a divergence a jejich význam.
• 13.5.2019: 
• nevlastní  integrál přes neomezený interval nebo nevlastní integrál z neomezené funkce - jen "stručně - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
• srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
• absolutní konvergence nevlastních integrálů.
• 15.5.2019:  
• nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
• nutná podmínka konvergence řady;
• kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
• řady s libovolnými členy - absolutní a neabsolutní konvergence řady; řady alternující - Leibnizovo kriterium konvergence;
• jen stručně mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad.
• 15.5.2019 - náhradní přednáška 9:50 - 11:20 v CH1: 
• podrobněji o mocninných řadách a jejich užití, Taylorovy řady;
• Fourierovy řady - definice, stručně o vlastnostech a užití Fourierových řad.
• Výběr příkladů - nekonečné řady.

  

 

 

Cvičení - skupina 03 (pondělí 14:50 - 16:20, čtvrtek 13:10-14:40)

• 18.2.2019:  Lineární algebra - začátek opakování základních pojmů, řešení soustav lineárních rovnic; vektorový prostor ( lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi), matice ( operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice);  výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 1  
• 21.2.2019:  Ještě opakování LA - vektorový prostor ( lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi), matice ( operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice);  výpočet a užití determinantů (příklady ze  cvičení 20.2);  lineární zobrazení - (další) výběr příkladů: Příklady z lineární algebry 2  .  
  Domácí úkol (dle dohody nepovinný):  Dú1 - lineární algebra 1 
• 25.2.2019:  Ještě opakování LA , dále  lineární zobrazení a vlastní čísla a vlastní vektory matice - příklady z minulého cvičení.
  Domácí úkol:  Dú2 - lineární algebra 2 
• 28.2.2019: Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty- zopakování "návodu " k řešení, řešení homogenní rovnice. Příklady: OLDR 2.řádu. 
• 4.3.2019:  Řešení lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu s konstantními koeficienty - řešení homogenní rovnice a variace konstant.
• 7.3.2019:  Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Řešení lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice.  
• 11.3.2019: Komplexní čísla - opakování. Komplexní funkce reálné proměnné, komplexní exponenciela. Výběr příkladů -  Cvičení-komplexní čísla. 
• 14.3.2019: Ještě opakování LA - inverzní matice  Počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - opakování postupu při  řešení soustav pomocí  jednoduchého příkladu řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty.
  Domácí úkoly:  Dú3 - koplexní čísla   a  Dú4  - OLDR 2.řádu.
• 18.3.2019: Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - metoda odhadu pro nalezení partikulárního řešení. Užití komplexní exponenciely k řešení homogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu  i k odhadu partikulárního řešení rovnice nehomogenní. Počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu -  další jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty.
• 21.3.2019: Počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu -  další jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty. Odhad řešení nehomogenní soustavy. Dú 5 - soustavy OLDR 1.řádu.
  Reálné funkce několika proměnných - definiční obory, limita, spojitost, zkusíme i parciální derivace.  Příklady:  funkce více proměnných 1. 
• 25.3.2019: Ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - metoda odhadu pro nalezení partikulárního řešení, zvláště užití komplexní exponenciely k řešení homogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu  i k odhadu partikulárního řešení rovnice nehomogenní.
• 28.3.2019: Počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu -  další jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty. Řešení soustavy převedením na diferenciální rovnici 2. řádu. A trošku i reálné funkce několika proměnných - definiční obory, limita, spojitost, i parciální derivace.  Příklady z minulého cvičení. 
  A zde je 1."domácí" zápočtový test  a můžete si projít  Dú 6 - vektorové funkce jedné proměnné, definiční obory funkcí dvou proměnných a  Dú 7 - diferenciální počet funkcí více proměnných 1.
• 1.4.2019: Reálné funkce několika proměnných - definiční obory, limita, spojitost, i parciální derivace. Diferencovatelnost funkce více proměnných. Příklady stále ještě - funkce více proměnných 1 z 21.3..
• 4.4.2019:  Reálné funkce několika proměnných - zákaldní pojmy (definiční obor, spojitost, parciální derivace), a pak hlavně totální diferenciál funkce a jeho aplikace. 
• 8.4.2019:  Derivace funkce ve směru a  derivace složených funkcí více proměnných - příklady  funkce více proměnných 2.  A zde "dobrovolný" domácí úkol  Dú 8 . 
  Funkce, definované implicitně (zatím jedné proměnné) - příklady z  funkce více proměnných 3. 
• 11.4.2019: (cvičení u Dr. Hladíkové) Funkce  definované implicitně .
• 15.4.2019:  Zápočtový "testík" . Funkce více proměnných - ještě opakování základníchpojmů, derivace složené funkce a funkce jedné proměnné, definované implicitně (příklady  - funkce více proměnných 3). 
• 25.4.2019:  Opakování základních pojmů z diferenciálního počtu funkcí více proměnných - poznámky k testíku z 15.4.;dále funkce jedné  proměnné, definované implicitně a  dvojný integrál - úvodní pokus. Příklady (i pro další cvičení) - dvojný integrál  a  trojný integrál . 
  Domácí úkoly z látky, probírané do konce semestru. povinné pro zápočet :  Dú 8 (derivace složené funkce); Dú 9  (funkce, definované implicitně); Dú 10 (extrémy funkcí dvou proměnných); Dú11 (dvojný a trojný integrál); Dú 12 (křivkový integrál).
  A navíc nepovinné (třeba se ale hodí k přípravě na zkoušku) domácí úkoly z poslední části probrané látky Dú 13 (nevlastní integrály)  a   Dú 14 (nekonečné řady).
• 29.4.2019: Implicitní  funkce jedné proměné - opakování definice  a věty o implicitní funkci, rozbor příkladů z domácího úkolu. Jednoduché příklady výpočtu a aplikace dvojných integrálů - příklady viz cvičení 25.4. 
• 2.5.2019:  Ještě Implicitní funkce jedné  proměnné, dále výpočet a aplikace dvojného integrálu.
• 6.5.2019:  Dvojný a trojný integrál (i s užitím souřadnic polárních a válcových) - problémy z příkladů v domácího úkolu; derivování složených funkcí více proměnných.
• 9.5.2019:  Implicitní funkce dvou proměnných a vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných (příklady z funkce více proměnných 3), dále ještě výpočet a aplikace dvojných a trojných integrálů (i s užitím souřadnic polárních a válcových) - příklady viz cvičení 25.4.
• 13.5.2019:  Vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných (příklady z funkce více proměnných 3); křivkový integrál skaláru i vektoru - příklady:  křivkový integrál 1. 
  Potenciální vektorová pole, výpočet potenciálu vektorového pole - další příklady: křivkový integrál 2.