Matematika A2, LS 2017/18

Sylabus a literatura  -  SIS

Konzultační hodiny:  pondělí 9:45 - 10:30 a v úterý  8:00 - 9:00 v CH4, po přednášce ve středu 10:00 - 11:00  v pracovně, Albertov 6, místn. 209, nebo i po dohodě.
Navíc, v pondělí 8:10 - 9:40 se koná v CH4  Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím.

Zkoušky : 

• Požadavky ke zkoušce (upřesněné) - zde
  
• Ukázkové příklady zkouškového  testu  - zde
  
• Ukázkový test   zde

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT   zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  
  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady
   
   

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2014/2015: 
Příklady z lineární algebry 1 ; Příklady z lineární algebry 2 ;  Komlexní čísla - opakování ; Komplexní čisla  a komplexní funkce, OLDR 2.řádu ;  OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu ; 
Funkce více proměnných 1; Funkce více proměnných 2 ; Funkce více proměnných 3 ;  Dvojný a trojný integrál1 ;  Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2014/2015 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky): 
Lineární algebra 1 - dú 1;  Lineární algebra 2 - dú 2;  Komplexní čísla - dú 3;  OLDR 2.řádu - dú 4;  Soustavy OLDR 1.řádu - dú 5; 
dú 6 - funkce více proměnných 1;  dú 7 - funkce více proměnných 2 (implicitní funkce);  dú 8  -  funkce více proměnných 3 (extrémy); 
dú 9 - dvojný a trojný integrál;  dú 10 - křivkový integrál;  dú11 - nevlastní integrál;  dú12 - nekonečné řady.

 

Přednáška -  pondělí 10:40 - 12:10 ( CH1) a středa 8:10 - 9:40 ( CH1) :  

• 19.2.2018:
  • Úvod - o obsahu přednášky;
  • lineární algebra podruhé ( shrnutí základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1 );
  • lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení.
• 21.2.2018: 
• obecný postup při řešení lineární rovnice ve vektorovém prostoru;
• spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ;
•  vlastní čísla a vlastní vektory matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla navzájem různá.
• 26.2.2018: 
  • lineární rovnice druhého řádu - dva příklady na úvod ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
  • "obecný návod"  pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic );
  •  aplikace "obecného návodu" pro hledání řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu ( bez důkazu),  množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení ;
  • návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty ( v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních)
• 28.2.2018:
  • řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty  a s nulovou pravou stranou -  jednoduché příklady;
  • metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení; 
  • příklad výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant;
•  5.3.2018:
  • metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady;
  • opakování základních poznatků o komplexních číslech
  • komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; 
  • zavedení komplexní exponenciely.
• 7.3.2018:
•  derivace funkce exp(ax), kde a je komplexní konstanta a x je reálná proměnná;
• užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice, příklady;
• užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklad;
• počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy.
• 12.3.2018:
• jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
• počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy.
• 14.3.2018:
• řešení soustavy OLDR 1.řádu v případě vícenásobných a komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladech řešení soustav dvou lineárních rovnic1.řádu; 
• metoda variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy;
• převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu  a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu.
• 19.3.2018:
• poznámky k řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - trajektorie řešení autonomní soustavy;
• problém "Dravec-kořist";
• prostory Rⁿ (spec. R² a R³ ) -  připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin); euklidovský prostor Rⁿ (Eⁿ) velikost ( norma) vektoru,  euklidovská vzdálenost v prostorech Rⁿ ;
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, příklady;
• definice limity vektorové funkce jedné proměnné.
• 21.3.2018:
• vektorová funkce jedné reálné proměnné - opakování definice limity, dále spojitost a  derivace vektorové funkce, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
• reálná funkce dvou a více  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor;  jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných.
• 26.3.2018:
• množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod, hraniční bod množiny; 
• limita a spojitost reálné i vektorové funkce několika proměnných - definice, aritmetika limit, limita a spojitost složené funkce více proměnných; 
• příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných - definice. 
• 28.3.2018:
  • ještě množiny bodů v Rⁿ - množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ;
• funkce spojitá na množině; věta o nabývání globálních extrémů na kompaktní množině a o nabývání mezihodnot (bez důkazů);
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných, příklady  výpočtu parciálních derivací;  
• parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací;
• úvodní poznámky k definici funkce diferencovatelné v bodě.
•  4.4.2018:
  • definice (obecně funkce více proměnných) - funkce diferencovatelná v bodě, diferenciál funkce;
  • funkce diferencovatelná v bodě je v tomto bodě spojitá a má zde parciální derivace 1.řádu podle všech proměnných (i s důkazem)
  • gradient, rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace funkce obecně funkce více proměnných;
  • příklady funkcí, které nemají totální diferenciál i příklad funkce diferencovatelné a její lineární aproximace v okolí bodu;
• derivace ve směru - definice, odvození vzorce, význam gradientu funkce.
•  9.4.2018:
• příklad výpočtu derivace funkce ve směru;
• věty o derivaci složené funkce více proměnných;
• příklady výpočtu derivací (i vyšších řádů) složených funkcí více proměnných.
• 11.4.2018:
• opakování věty o derivaci složené funkce více proměnných a dokončení příkladu výpočtu derivací druhého řádu složené funkcí dvou proměnných;
• užítí věty o derivování složené funkce více proměnných - transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (nalezení řešení parciální diferenciální rovnice);
• ještě další příklad - vlnová rovnice v jedné dimenzi.
• 16.4.2018:
• vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m )  - limita, spojitost, diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice, derivace složené vektorové funkce, příklady;
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - úvod, příklad.
• 18.4.2018:
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné - definice a věta o implicitní funkci jedné proměnné;
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady;
• věta o implicitní funkci několika proměnných - úvodní poznámky.
• 23.4.2018:
  • věta o implicitní funkci několika proměnných, příklady;
  • systém implicitně definovaných funkcí - příklad.
• 25.4.2018:
  • extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů,  věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
  • lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu.
  • druhý diferenciál, diferenciály vyšších řádů a Taylorův polynom pro funkce  více proměnných;
  • postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice).
  • příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců.
• 30.4.2018:
  • definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace;
  • výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník ; příklady;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, Fubiniova věta;
  • příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů.
• 2.5.2018:
  • další příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
• substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic);
• trojný Riemannův integrál - úvod.
• 7.5.2018:
• definice trojného Riemannova integrálu, existence a vlastnosti;  
• výpočet trojného integrálu - Fubiniova věta;
• substituce v trojném integrálu, spec. válcové a sférické souřadnice;
• příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů.
• 9.5.2018:
  • ještě tojný integrál - sferické souřednice;
  • křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
  • co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární funkce,  vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
  • křivkový integrál vektorové funkce -  definice a výpočet; příklady;
• 14.5.2018:
  • příklady výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady;
  • nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole; operátor rotace;
  • výpočet potenciálu vektorového pole, příklady.
  • Greenova věta; operátory rotace a divergence a jejich význam.
•  16.5.2018:
  • nevlastní  integrál přes neomezený interval nebo nevlastní integrál z neomezené funkce - jen "stručně - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady;
  • srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
  • absolutní konvergence nevlastních integrálů; 
  • nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
  • nutná podmínka konvergence řady;
  • kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací;
  • a jen velmi stručně:  absolutní a neabsolutní konvergence řady; mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad.

Cvičení - skupina 02 (úterý 9:00-10:30, čtvrtek 13:10-14:40)

• 20.2.2018:  Lineární algebra - vektorový prostor ( lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi), matice ( operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice);  výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 1  
• 22.2.2018:  Ještě opakování LA - řešení soustav lineárních rovnic; lineární závislost, resp. nezávislost vektorů; hodnost matice,  inverzní matice a její výpočet. 
  Domácí úkol:  Dú1 - lineární algebra 1 
• 27.2.2018:  Ještě opakování LA : výpočet a užití determinantů (příklady ze  cvičení 20.2);  lineární zobrazení - výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 2  . 
  Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - zopakování "návodu " k řešení, řešení homogenní rovnice. Příklady: OLDR 2.řádu.
  Domácí úkol:  Dú2 - lineární algebra 2 
•  1.3.2018: Ještě stále opakování LA, specielně lineární zobrazení  - příklady z minulých cvičení a problémy z domácích úkolů. 
•  6.3.2018: Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty- zopakování "návodu " k řešení, řešení homogenní rovnice.  Příklady: OLDR 2.řádu. .
•  8.3.2018: Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty, variace konstant i odhad partikulárního řešení. Příklady z minulého cvičení.
• 13.3.2018: Ještě řešení lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu s konstantními koeficienty. Dále také opakování komplexních čísel - výběr příkladů:  Cvičení-komplexní čísla. vlastní čísla a vlastní vektory matice.
  Domácí úkoly:  Dú3 - koplexní čísla   a  Dú4  - OLDR 2.řádu
• 15.3.2018: Ještě řešení lineárních diferenciálních rovnic 2.řádu s konstantními koeficienty, variace konstant i odhad partikulárního řešení. Také ještě opakování komplexních čísel a komplexní exponenciely (příklady z minulých cvičení).
• 20.3.2018:  Užití komplexní exponenciely k řešení homogenní lineární diferenciální rovnice 2.řádu (v případě komplexních kořenů příslušné charakteristické rovnice) i k odhadu partikulárního řešení rovnice nehomogenní.
• 22.3.2018: Vlastní čísla a vlastní vektory matice -  jen reálná vlastní čísla navzájem různá; počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu; jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty; metoda variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy.
  Domácí úkol:  Dú 5 - soustavy OLDR 1.řádu.
• 27.3.2018:  Vektorové funkce jedné proměnné - základní pojmy ( limita, spojitost, derivace), příklady křivek v rovině a prostoru. Příklady: vektorové funkce jedné proměnné .
  Domácí úkol: Dú 6 - vektorové funkce jedné proměnné, definiční obory funkcí dvou proměnných.
• 3.4.2018:  Reálné funkce několika proměnných - definiční obory, limita, spojitost, parciální derivace.  Příklady:  funkce více proměnných 1.
  Pokud bude čas, tak ještě jednoduché příklady řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty; metoda variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy.
• 5.4.2018: Ještě procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných, výpočet parciálních derivací. 
  Domácí úkol: Dú 7
• 10.4.2018:  Ještě výpočet parciálních derivací, totální diferenciál funkce a jeho užití. 
• 12.4.2018:  Stále ještě výpočet parciálních derivací; dále totální diferenciál funkce a jeho užití. Další příklady (i pro další cvičení)  - funkce více proměnných 2.   
• 17.4.2018:  Totální diferenciál - ještě další příklady a aplikace; derivace ve směru.  Příklady z minulého cvičení.
  
• 19.4.2018 - děkanský den  (výuka odpadá) - kdo bude chtít, může přijít v pondělí na Repetitorium 8:10 - 10:30 (CH4)  nebo v úterý 24.4. v 8:10 (CH4) (hodina pro konzultace).
• 24.4.2018: Derivace složených funkcí více proměnných (příklady  funkce více proměnných 2.). 
  Domácí úkol: Dú 8 
• 26.4.2018: Ještě derivace složených funkcí více proměnných. 
•  1.5.2018 se cvičení nekoná vzhleden k státnímu svátku, ale můžete přijít na náhradní cvičení  - bude v pondělí 30.4. a 7.5. v CH4  9:00-10:30. 
•  3.5.2018:  Funkce, definované implicitně (zatím jedné proměnné) - příklady z  funkce více proměnných 3. ; výpočet i aplikace dvojných integrálů - příklady  dvojný integrál  a  trojný integrál . 
  Domácí úkol: Dú 9
• 10.5.2018:  Funkce více proměnných, definované implicitně (příklady z funkce více proměnných 3.);  vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných -  příklady viz funkce více proměnných 3; dále výpočet a aplikace dvojných a trojných integrálů (i s užitím souřadnic polárních a válcových) - příklady viz cvičení 3.5. . 
  Domácí úkol:  Dú 10  ,  a můžete už počítat i  Dú11 .