Matematika A2, LS 2016/17

 

Sylabus a literatura  -  SIS

Konzultační hodiny:  pondělí 9:40 - 10:30 v CH4, středa 9:45 - 10:30  (v pracovně, Albertov 6, místn. 209) , nebo i po dohodě.                                                   
Navíc, v pondělí 8:10 - 10:30 se koná v CH4  Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím.

Konzultace ve zkouškovém období:  "hromadné" kozultace v pondělí 9:00 - 12:00  (29.5., 5.6., 19.6., 26.6. v CH4 a 22.5., 12.6. v CH7), další konzultace  jsou možné po dohodě.

Zkoušky :  termíny jsou v SISu

• Požadavky ke zkoušce (upřesněné)  - zde
  
• Ukázkové příklady zkouškového  testu - zde
  
• Ukázkový test   zde

 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde

 

 

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  
  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

 

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2014/2015: 
Příklady z lineární algebry 1 ; Příklady z lineární algebry 2 ;  Komlexní čísla - opakování ; Komplexní čisla  a komplexní funkce, OLDR 2.řádu ;  OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu ; 
Funkce více proměnných 1; Funkce více proměnných 2 ; Funkce více proměnných 3 ;  Dvojný a trojný integrál1 ;  Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2014/2015 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky): 
Lineární algebra 1 - dú 1;  Lineární algebra 2 - dú 2;  Komplexní čísla - dú 3;  OLDR 2.řádu - dú 4;  Soustavy OLDR 1.řádu - dú 5; 
dú 6 - funkce více proměnných 1;  dú 7 - funkce více proměnných 2 (implicitní funkce);  dú 8  -  funkce více proměnných 3 (extrémy); 
dú 9 - dvojný a trojný integrál;  dú 10 - křivkový integrál;  dú11 - nevlastní integrál;  dú12 - nekonečné řady.

 

 

Přednáška -  pondělí 10:40 - 12:10 ( CH1) a středa 8:10 - 9:40 ( CH1) :  

• 20.2.2017:  
  
  • Úvod - o obsahu přednášky; 
  • prostory Rⁿ (spec. R² a R³ ) - definice, připomenutí  "počítání" s vektory ( sčítání, násobení konstantou, skalární součin, v prostoru R³ navíc vektorový součin), euklidovský prostor Rⁿ (Eⁿ), zaměření euklidovského prostoru, velikost ( norma) vektoru,  euklidovská vzdálenost v prostorech Rⁿ ;
  • vektorová funkce jedné reálné proměnné - definice, limita, spojitost; příklady;
• 22.2.2017: 
  • vektorová funkce jedné reálné proměnné - opakování definice limity a spojitosti, dále derivace vektorové funkce, derivace jako tečný vektor ke křivce, dané parametricky; příklady;
  • reálná funkce dvou a více  proměnných - příklady, stručné seznámení se  základními pojmy -  definiční obor;  jednoduché příklady, jak si představit graf funkce dvou proměnných.
• 27.2.2017 - plán: 
• množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ , vnitřní bod množiny, hromadný bod, hraniční bod množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ;
• limita a spojitost reálné i vektorové funkce několika proměnných - definice, aritmetika limit, limita a spojitost složené funkce více proměnných; příklady;
• 1.3.2017:
• ještě příklady výpočtu limity funkce více proměnných;
• funkce spojitá na množině; věta o nabývání globálních extrémů na kompaktní množině a o nabývání mezihodnot (bez důkazů);
• parciální derivace reálné funkce několika proměnných, příklady  výpočtu parciálních derivací;  
• parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací.
• 6.3.2017:
  • funkce diferencovatelná v bodě, diferenciál funkce, gradient, rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace funkce, příklady;
• derivace ve směru, odvození vzorce, příklady, význam gradientu funkce.
• 8.3.2017:
• derivace složené funkce více proměnných; příklady derivování složených funkcí, kde vnitřní funkce je funkce jedné nebo i více proměnných a výpočtu derivací vyšších řádů složených funkcí; 
• příklady užití věty o derivování složené funkce více proměnných.
•  13.3.2017:
  • opakování věty o derivování složené funkce více proměnných;
  • jako příklad užití věty o derivování složené funkce více proměnných  transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (nalezení řešení parciální diferenciální rovnice);
  • ještě jako příklad - vlnová rovnice v jedné dimenzi; 
  • vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m ) , limita, spojitost, diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice, derivace složené vektorové funkce, příklady.
•  15.3.2017:
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - úvod, definice a věta o implicitní funkci jedné proměnné;
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné - výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady.
• 20.3.2017:
• věta o implicitní funkci několika proměnných, příklady ;
• systém implicitně definovaných funkcí - příklad;
• extrémy funkcí více proměnných - úvodní poznámky.
• 22.3.2017:
  • extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů,  věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
  • lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu.
• druhý diferenciál,  diferenciály vyšších řádů a  Taylorův polynom pro funkce  více proměnných;
• postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice); příklady.
• 27.3.2017:
  • postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice); příklady;
  • příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců; 
  • dvojný  integrál - úvod, opakování definice a vlastností Riemannova integrálu funkce jedné proměnné.
• 29.3.2017:
  • definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace;
  • výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník ; příklady;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, Fubiniova věta;
  • příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
  • v "rozšířené" přednáčce - substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady; 
  • v "rozšířené" přednáčce - další příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů.
• 3.4.2017:
  • substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady;
  • definice trojného Riemannova integrálu, existence a vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta, aplikace, příklady.
• 5.4.2017:
  • substituce v trojném integrálu, spec. válcové a sférické souřadnice;
  • příklady výpočtu a aplikací trojných integrálů;
  • křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod.
• 10.4.2017:
  • křivkový integrál  skalární, resp. vektorové funkce - úvod; co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
  • definice křivkového integrálu skalární funkce,  vlastnosti a výpočet křivkového integrálu skalární funkce;
  • příklady výpočtu křivkového integrálu skalární funkce.
  • křivkový integrál vektorové funkce -  definice a výpočet.
• 12.4.2017:
  • křivkový integrál vektorové funkce - příklady.
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady;
  • nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole; operátor rotace.
• 19.4.2017:
  • připomenutí  - nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole;
  • výpočet potenciálu vektorového pole, příklady;
• Greenova věta; operátory rotace a divergence a jejich význam;
• trošku  o plošném interálu skalární a vektorové funkce, integrální věty - Stokesova a Gaussova;
• ineární diferenciální rovnice druhého řádu - úvod.
• 24.4.2017 - plán:
  • lineární diferenciální rovnice druhého řádu - dva příklady na úvod ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
  • "obecný návod"  pro  řešení lineární rovnice ve vektorovém prostoru  (z lineární algebry);
  •  aplikace "obecného návodu" pro  lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu ( bez důkazu),  množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení ;
  • metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení; 
• 26.4.2017:
  • fundamentální systém OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty (v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních); jednoduché příklady;
  • příklad výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant;
  • metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady.
•  26.4.2017 (pokračování - náhradní přednáška):
• opakování základních poznatků o komplexních číslech;
• komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; 
• zavedení komplexní exponenciely;  derivace funkce exp(ax), kde a je komplexní konstanta a x je reálná proměnná;
• užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice, příklady;
• užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklad.
•  3.5.2017: "dodatky" k lineární algebře
• vektorový (lineární) prostor obecně - opakování základních pojmů -  lineární závislost a nezávislost skupiny vekrorů, báze a dimenze lineárního prostoru, souřadnice vzhledem k bázi, izomorfismus n-rozměrného prostoru s prostorem Rⁿ; podprostor vektorového prostoru, lineární obal skupiny vektorů; příklady vektorových prostorů konečné i nekonečné dimenze;
• lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; 
• spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklad lineárního zobrazení  - "otočení" vektoru z R² o úhel α , sestavení matice tohoto zobrazení, matice inverzního zobrazení k tomuto zobrazení; matice složeného zobrazení;
• vlastní čísla a vlastní vektory matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla navzájem různá.
•  3.5.2017 (pokračování - náhradní přednáška):
  • počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
  • jednoduchý příklad řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku";
  • počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ reálných navzájem různých vlastních čísel matice soustavy;
  • metoda variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy.
• 10.5.2017 a pokračování v  náhradní přednášce:
• nevlastní  integrál přes neomezený interval nebo nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady; souvislost s pojmy konvergentní, resp. divergentní nekonečná řada;
• srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
• nevlastní integrál z neomezené nezáporné  funkce - definice, příklady; kriteria konvergence;
• absolutní konvergence nevlastních integrálů; příklady;
• příklad neabsolutně konvergentního nevlastního integrálu.
• 15.5.2017:
  • nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
  • nutná podmínka konvergence řady;
  • kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací, limitní podílové a odmocninové kriterium, kriterium integrální, příklady;
  • absolutní a neabsolutní konvergence řady, Leibnizovo kriteriu pro alternující řady, příklady;
  • mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad;
  • Taylorovy řady, rozvoj funkce v Taylorovu řadu, příklady - Taylorovy řady některých elementárních funkcí.
• 17.5.2017  - podrobněji o nekonečných řadách:
• příklady vyšetřování konvergence číselných řad;
• Leibnizovo kriterium pro alternující řady - důkaz;
• mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad, příklad vyšetřování konvergence mocninné řady;
• poznámky o funkčních řadách a vlastnostech jejich součtu, definice Fourierovy řady a trošku o jejich vlastnostech. 

 

 

Cvičení - skupina 03 (úterý 9:00-10:30, čtvrtek 13:10-14:40)

•  21.2.2017:  Euklidovský prostor Rⁿ, množiny bodů v Rⁿ ,  Rⁿ  "jako" prostor vektorů; opakování základních pojmů z analytické geometrie°; několik příkladů funkcí dvou proměnných, jejich definiční obory jako příklady podmnožin Rⁿ , jak si v jednoduchých příkladech představit graf funkce dvou proměnných ( příprava na středeční přednášku).
  Příklady:  opakování analytické geometrie  a   funkce více proměnných 1 (i pro další cvičení).
•  23.2.2017:  pokračování v opakování základních pojmů z analytické geometrie - vyjádření přímky a roviny v R³, skalární a vektorový součin vektorů a jejich užití, množiny bodů v rovině a prostoru, příklady viz minulé cvičení.
•  28.2.2017:  vektorové funkce jedné proměnné - příklady parametrizace. základní pojmy ( limita, spojitost, derivace), příklady křivek v rovině a prostoru; reálné funkce několika proměnných - definiční obory, limita, spojitost.
  Příklady : vektorové funkce jedné proměnné a funkce více proměnných 1 ( ze cvičení 1).
  
• 2.3.2017:  ještě vektorové funkce jedné proměnné, dále funkce více proměnných - výpočet parciálních  derivací.  Příklady ještě z funkce více proměnných 1 .
  Domácí úkol:   dú 1
• 7.3.2017:  totální difetrenciál funkce a jeho užití - rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných, lineární aproximace funkce více proměnných. Příklady ještě z funkce více proměnných 1 .
  Výběr příkladů (opět i pro další cvičení):  funkce více proměnných 2.
• 9.3.2017 - plán: Z lineární algebry na úvod (ještě ze ZS) -  vektory a matice (počítání s vektory, operace s maticemi, řešení soustav lineárních rovnic) - příklady k procvičení lineární algebry: LA1  a LA2 .
  Stále ještě procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných, výpočet parciálních derivací,  totální diferenciál funkce a jeho užití  (příklady  - funkce více proměnných 2.). 
  Domácí úkol:  dú 2
• 14.3.2017 :  derivace složených funkcí více proměnných a užití  -  příklady ze cvičení 7.3..  
• 16.3.2017:   derivace ve směru, derivace složených funkcí více proměnných (příklady  - funkce více proměnných 2.)  
• 21.3.2017: Z lineární algebry - výpočet a užití determinantů;  dále funkce implicitně definované jedné proměnné. Příklady (i pro další cvičení) -  funkce více proměnných 3 . 
• 23.3.2017:  Problémy z domácího úkolu, dále ještě derivace vyšších řádů složených funkcí více proměnných; diferenciál druhého řádu funkce dvou proměnných.
  Domácí úkol: dú 3  (derivace složené funkce více proměnných - do cvičení 30.3.)
• 28.3.2017: Funkce implicitně definované více proměnných (příklady z funkce více proměnných 3.)
  Domácí úkol:  dú 4  (funkce definované implicitně - do cvičení 6.4.)
• 30.3.2017:  Ještě opakování derivací složených funkcí více proměnných, dále funkce definované implicitně, pak vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných -  příklady viz funkce více proměnných 3.
•  4.4.2017: Ještě stále problémy s derivacemi složených funkcí ("řetízkové pravidlo");   dvojný integrál - "lehké" příklady na začátek.  Příklady - dvojný integrál. 
•  6.4.2017: Ještě příklady na hledání extrémů funkcí dvou proměnných, a dále ještě derivace složených funkcí více proměnných. 
  Domácí úkol:  dú 5  (extrémy funkcí dvou proměnných  - do cvičení 13.4.)  a kdo už by chtěl, tak může počítat   dú 6  (dvojný a trojný integrál - do cvičení 27.4.)
• 11.4.2017:  Ještě návrat k funkcím definovaným implicitně - opakování vysvětlení definice funkce definované implicitně a vět o implicitních funkcích, aplikace těchto vět -  problémy z domácího úkolu. 
• 13.4.2017:  Problémy z domácích úkolů - vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných . Výpočet i aplikace dvojných integrálů - příklady  dvojný integrál  a  trojný integrál . 
  Domácí úkol: dú 6
• 18.4.2017: Výpočet a aplikace dvojných a trojných integrálů (i s užitím souřadnic polárních a válcových) - příklady viz cvičení 13.4. .  
• 26.4.2017:  Stále ještě výpočet i aplikace dvojných a trojných integrálů.  křivkový integrál skalární i vektorové funkce, výpočet potenciálu vektorového pole. 
•  2.5.2017:  Výpočet  trojných integrálů  s užitím souřadnic válcových a sferických (i problémy z domácího úkolu) ; lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - zopakování "návodu " k řešení, řešení homogenní rovnice - příklady: OLDR 2.řádu
  Domácí úkol: dú 8
•  4. 5.2017:  lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - řešení homogenní rovnice v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice;  variace konstant, odhad partikulárního řešení (příklady viz minulé cvičení).
  
• 9.5.2017: lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - variace konstant, odhad partikulárního řešení (příklady viz minulé cvičení); 
• 11 5.2017: Ještě řešení lineárních diferenciálních  rovnic 2.řádu s konstantními koeficienty - odhad partikulárního řešení .
• 16.5.2017: Křivkový integrál skaláru i vektorového pole - příklady: křivkový integrál 1.  
  Domácí úkol: dú 7 
• 18.5.2017: Potenciální vektorová pole, výpočet potenciálu vektorového pole - další příklady: křivkový integrál 2. ;  lineární zobrazení, vlastní čísla a vlastní vektory matice - příklady:  lineární zobrazení  a    dú11 - lineární zobrazení . 
  A ještě další a poslední "domácí" úkoly  - výběr příkladů jako pomůcka pro přípravu na zkoušku (už nemusíte odevzdávat, ale můžete  přijít si úkoly probrat na konzultaci): 
  dú 9 - nevlastní integrál;  dú10  - nekonečné řady  .