Matematika A2, LS 2015/16

 

Sylabus a literatura  -  SIS

Konzultační hodiny:  pondělí 9:40 - 10:30 v CH4,  dále pondělí  15:30 - 17:30 ,   středa 9:45 - 10:30  (v pracovně, Albertov 6, místn. 209) , nebo i po dohodě.                                                   
Navíc, v pondělí 8:10 - 10:30 se koná v CH4  Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních, i ke konzultacím.

Konzultace ve zkouškovém období:  "hromadné" konzultace do konce června vždy v pondělí 9:00-12:00 ( jen 23.5. do 11:00 ) v posluchárně CH7 ( a výjimečně v  CH4 v pondělí 20.6.), nebo i jindy po dohodě.  

Zkoušky :  

• Požadavky ke zkoušce   - zde
  
• Ukázkové příklady zkouškového  testu - zde

 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Integrální počet funkcí více proměnnných zde
  
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  
  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

 

A zde, pokud se chcete podívat, můžete najít příklady ze cvičení v LS 2014/2015:
Příklady z lineární algebry 1 ; Příklady z lineární algebry 2 ;  Komlexní čísla - opakování ; Komplexní čisla  a komplexní funkce, OLDR 2.řádu ;  OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu ; 
Funkce více proměnných 1; Funkce více proměnných 2 ; Funkce více proměnných 3 ;  Dvojný a trojný integrál1 ;  Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce .

A zde jsou domácí úkoly ze cvičení v LS 2014/2015 ( mohou sloužit k dalšímu procvičení látky, požadované u zkoušky):
Lineární algebra 1 - dú 1;  Lineární algebra 2 - dú 2;  Komplexní čísla - dú 3;  OLDR 2.řádu - dú 4;  Soustavy OLDR 1.řádu - dú 5;
dú 6 - funkce více proměnných 1;  dú 7 - funkce více proměnných 2 (implicitní funkce);  dú 8  -  funkce více proměnných 3 (extrémy); 
dú 9 - dvojný a trojný integrál;  dú 10 - křivkový integrál;  dú11 - nevlastní integrál;  dú12 - nekonečné řady.

 

 

Přednáška -  pondělí 10:40 - 12:10 ( CH1) a středa 8:10 - 9:40 ( CH1) :  

• 15.2.2016:  
  
  • Úvod - o obsahu přednášky;
  • lineární algebra podruhé ( shrnutí základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1 ) ;
  • determinant matice - opakování motivace, definice determinantu druhého řádu a pak determinantů vyšších řádů indukcí.
• 17.2.2016: 
  
  • příklad výpočtu determinantu ;  Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu třetího řádu; několik tvrzení o determinantech - det A =det A^T, determinant horní trojúhelníkové matice, determinanty ekvivalentních matic,  det A=0 právě když je matice A singulární, Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí determinantů, aplikace determinantů třetího řádu v geometrii;
  • opakování definice vektorového prostoru, příklady.
• 22.2.2016 :
• vektorový (lineární) prostor obecně - opakování základních pojmů -  lineární závislost a nezávislost skupiny vekrorů, báze a dimenze lineárního prostoru, souřadnice vzhledem k bázi, izomorfismus n-rozměrného prostoru s prostorem Rⁿ; podprostor vektorového prostoru, lineární obal skupiny vektorů;
• příklady vektorových prostorů konečné i nekonečné dimenze;
• lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; 
• obecný postup při řešení lineární rovnice ve vektorovém prostoru;
• 24.2.2016:
• spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m .
• 29.2.2016: 
  
  •  příklad lineárního zobrazení  - "otočení" vektoru z R² o úhel α , sestavení matice tohoto zobrazení, matice inverzního zobrazení k tomuto zobrazení; matice složeného zobrazení;
  •  vlastní čísla a vlastní vektory matice; příklady -  jen reálná vlastní čísla navzájem různá;
  • lineární rovnice druhého řádu - dva příklady na úvod ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
  • "obecný návod"  pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic );
  •  aplikace "obecného návodu" pro hledání řešení lineární rovnice na řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu ( bez důkazu),  množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz;  fundamentální systém řešení ;
  • metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení - naznačení. 
•  2.3.2016:
  • metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení;  
  • řešení homogenní rovnice -  návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty ( v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních); jednoduché příklady. 
  • příklad výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant.
•  7.3.2016 :
• metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady;
•  9.3.2016:
• opakování metody odhadu partikulárního řešení OLDR 2.řádu a ještě další příklady;
• opakování základních poznatků o komplexních číslech
• komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; 
• zavedení komplexní exponenciely;  derivace funkce exp(ax), kde a je komplexní konstanta a x je reálná proměnná.
• 14.3.2016:
• užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice, příklady;
• užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklad;
• počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
• jednoduchý příklad řešení homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku".
• 16.3.2016:
  • počáteční úloha pro soustavy OLDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy.
• řešení soustavy OLDR 1.řádu v případě komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladu;
• metoda variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy.
• poznámky k řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - trajektorie řešení autonomní soustavy;
• 21.3.2016: 
  • příklad soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu , jejíž matice má dvojnásobné vlastní číslo;
  • převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu  a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu;
  • problém "Dravec-kořist";
• funkce několika reálných proměnných - úvod ;
• vzdálenost v prostoru Rⁿ , limita posloupnosti v Rⁿ  ;
• limita posloupnosti v Rⁿ - příklady;
• 23.3.2016:
• příklady reálných funkcí  i vektorových funkcí několika proměnných;
• limita a spojitost funkce několika proměnných -  na příkladech; 
• množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ ;  vnitřní bod množiny, hromadný bod, hraniční bod množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ;
• limita a spojitost reálné i vektorové funkce několika proměnných - definice, aritmetika limit, limita a spojitost složené funkce více proměnných; příklady;
• 30.3.2016:
  
• definice - množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ; vlastnosti spojitých funkcí;
• parciální derivace, příklady  výpočtu parciálních derivací;  
• parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací;
• funkce diferencovatelná v bodě, diferenciál funkce, gradient, rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace funkce, příklady;
• derivace ve směru, odvození vzorce, příklady, význam gradientu funkce.
• 4.4.2016: 
• totální diferenciál funkce  a derivace ve směru - opakování a příklady;
• derivace složené funkce více proměnných, odvození pravidla ; příklady derivování složených funkcí, kde vnitřní funkce je funkce jedné nebo i více proměnných; příklad výpočtu derivací vyšších řádů složených funkcí; 
•  6.4..2016:
• příklad výpočtu derivací vyšších řádů složených funkcí; 
• užítí věty o derivování složené funkce více proměnných - transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (nalezení řešení parciální diferenciální rovnice);
• vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m ) , limita, spojitost, diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice, derivace složené vektorové funkce, příklady;
• implicitně definovaná funkce jedné proměnné  - úvod, definice a věta o implicitní funkci jedné proměnné  .
• 11.4.2016:
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné - výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklad;
• věta o implicitní funkci několika proměnných ;
• systém implicitně definovaných funkcí - příklad;
• extrémy funkcí více proměnných - úvod.
• 13.4.2016:
• extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů,  věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
• lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu;
• druhý diferenciál,  diferenciály vyšších řádů a  Taylorův polynom pro funkce  více proměnných;
• postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice); příklady.
• příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců.
• 18.4.2016:
• příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců;
• dvojný  integrál - úvod, opakování definice a vlastností Riemannova integrálu funkce jednéproměnné;
• definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník, nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace.
• 20.4.2016: 
• výpočet dvojného integrálu - Fubiniova věta pro obdélník ; příklady;
• dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice, Fubiniova věta , příklady výpočtu i aplikace;
• substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady.
• 25.4.2016:
• příklady výpočtu a aplikací dvojných integrálů;
• substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady;
• definice trojného Riemannova integrálu, existence a vlastnosti, výpočet - Fubiniova věta, aplikace.
• 27.4.2016:
  
• substituce v trojném integrálu, spec. válcové a sférické souřadnice, příklady; 
• křivkový integrál skaláru - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky;
• křivkový integrálu skalární, resp. vektorové funkce - úvod;
• výpočet křivkového integrálu skalární funkce.
• 2.5.2016:
• studentská anketa;
• opakování definice křivkového integrálu skalární funkce;
• výpočet a vlastnosti křivkového integrálu skalární funkce a příklady výpočtu křivkového integrálu skalární funkce;
• křivkový integrál vektorové funkce -  definice a výpočet, příklady;
• 4.5.2016:
• nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady;
• nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole;
• výpočet potenciálu vektorového pole, příklady;
• ještě ke křivkovému integrálu vektoru - Greenova věta; operátory rotace a divergence vektoru a jejich význam;
• nevlastní  integrál přes neomezený interval nebo nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp. divergentní integrál; příklady; 
• srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
•  9.5.2016  -  od 9:00 v CH1 přednáška "navíc" - plán:
  • ještě ke  křivkovému integrálu -  Greenova věta, divergence vektoru;
  • trošku  o plošném interálu skalární a vektorové funkce, integrální věty - Stokesova a Gaussova.
•  9.5.2016:
• nevlastní integrál z neomezené nezáporné  funkce - definice, příklady; kriteria konvergence;
• srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrál přes neomezený interval z nezáporné funkce, příklady;
• absolutní konvergence nevlastních integrálů; příklady;
• nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
• nutná podmínka konvergence řady;
• kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací, limitní podílové a odmocninové kriterium, kriterium integrální, příklady.
• 11.5.2016:
• nutná podmínka konvergence řady;
• kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací, limitní podílové a odmocninové kriterium, kriterium integrální, příklady.
• absolutní a neabsolutní konvergence řady, Leibnizovo kriteriu pro alternující řady, příklady;
• mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad;
• Taylorovy řady, rozvoj funkce v Taylorovu řadu, příklady - Taylorovy řady některých elementárních funkcí.