PřF UK MA2 (2014/15)

Matematika A2, LS 2014/2015

Sylabus a literatura, požadavky ke zkoušce  a ukázkový test   -  SIS

Konzultační hodiny:  úterý  10:30 - 11:15 v CH3 , čtvrtek  11:00 - 12:30 a čtvrtek 15:00-16:00 v pracovně, Albertov 6, místn. 209, nebo i po dohodě.
Konzultační hodiny ve zkouškovém období : "hromadné konzultace"  - pondělí 18.5., 25.5., 1.6., 8.6., 22.6. vždy  9:00-11:30 ( možno i déle, bude-li třeba) v CH7, nebo po dohodě .

                                    
Navíc, v pondělí 8:10 - 9:40 se koná v CH4  Repetitorium Matematiky MA2 , které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních.

Zkoušky : 

• Požadavky ke zkoušce ( aktualizace)  - zde
  
• Ukázkový test - zde 

 

Některé  vhodné studijní materiály, přístupné na internetu: 

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006 
  

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

 

Přednáška ( pondělí 10:40-12:10,  středa 12:20-13:50).

• 16.2.2015: 
  
  • Úvod - o obsahu přednášky;
  • lineární algebra podruhé ( shrnutí základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1 ) ;
  • determinant matice - opakování motivace, definice determinantu druhého řádu a pak determinantů vyšších řádů indukcí.
• 18.2.2015:
  
  • příklad výpočtu determinantu ;  Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu třetího řádu; několik tvrzení o determinantech - det A =det A^T, determinant horní trojúhelníkové matice, determinanty ekvivalentních matic,  det A=0 právě když je matice A singulární, Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí determinantů, aplikace determinantů třetího řádu v geometrii.
• 23.2.2015:
  
  • vektorový (lineární) prostor obecně - definice,  lineární závislost a nezávislost skupiny vekrorů, báze a dimenze lineárního prostoru, souřadnice vzhledem k bázi, izomorfismus n-rozměrného prostoru s prostorem Rⁿ; podprostor vektorového prostoru, lineární obal skupiny vektorů;
  • příklady vektorových prostorů konečné i nekonečné dimenze;
    
  • lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení; 
  • spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ;
• 25.2.2015:
  
  •  vlastní čísla a vlastní vektory matice;
  • obecný postup při řešení lineární rovnice ve vektorovém prostoru.
•  2.3.2015:
  
  • lineární rovnice druhého řádu - dva příklady na úvod ( rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu a rovnice harmonických kmitů), odtud obecná formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;
  • "obecný návod"  pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic );
  • řešení homogenní rovnice - fundamentální systém řešení (množina řešení je lineární prostor dimenze 2) a návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty ( v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních); jednoduché příklady. 
  • metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení.  
•  4.3.2015:
  
  • příklad výpočtu partikulárního řešení metodou variace konstant;
  • metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady.
• 9.3.2015:
  
  • opakování základních poznatků o komplexních číslech;
  • zavedení komplexní exponenciely;
    
  • komplexní funkce reálné proměnné - limita, spojitost, derivace; derivace funkce exp(ax), kde a je komplexní konstanta a x je reálná proměnná;
  • užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice;
  • poznámky k obecnému návodu pro hledání řešení OLDR 2.řádu -  věta o existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu ( bez důkazu), množina řešení homogenní rovnice je  lineární prostor dimenze 2 - důkaz.
• 11.3.2015:
  
  • užití komplexní exponenciely při řešení homogenní OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice a při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice - příklady;
  • počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem , maticový zápis soustavy;
  • jednoduchý příklad homogenní soustavy dvou rovnic s konstantními koeficienty a rozbor "výsledku".
• 16.3.2015:  
  
  • počáteční úloha pro soustavy LDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy.
  • řešení soustavy v případě komplexních vlastních čísel - ukázáno na příkladu;
  • metoda variace konstant a odhad řešení nehomogenní soustavy. Řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu a obráceně, převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu.
• 18.3.2015:
  
  • poznámky k řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - trajektorie řešení autonomní soustavy;
  • převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého a obráceně, řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu;
  • problém "Dravec-kořist" - dú - přečíst si;
  • funkce několika reálných proměnných - úvod ;
  • vzdálenost v prostoru Rⁿ , limita posloupnosti v Rⁿ  .
• 23.3.2015: 
  
  • limita posloupnosti v Rⁿ - příklady;
  • příklady reálných funkcí  i vektorových funkcí několika proměnných;
  • limita a spojitost funkce několika proměnných -  na příkladech.
  25.3.2015:
  
  • množiny bodů v Rⁿ - okolí bodu v Rⁿ ;  vnitřní bod množiny, hromadný bod, hraniční bod množiny; množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní;  uzávěr množiny, oblast ;
  • limita a spojitost reálné i vektorové funkce několika proměnných - definice, aritmetika limit, limita a spojitost složené funkce více proměnných;
  • parciální derivace, příklady  výpočtu parciálních derivací.
• 30.3.3015:
  
  • parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací;
  • funkce diferencovatelná v bodě, diferenciál funkce, gradient, rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace funkce, příklady;
• 1.4.2015:
  
  • derivace ve směru, odvození vzorce, příklady, význam gradientu funkce;
  • derivace složené funkce více proměnných, odvození pravidla ; příklady derivování složených funkcí, kde vnitřní funkce je funkce jedné nebo i více proměnných.
• 8.4.2015 : 
  
  • opakování derivace složené funkce více proměnných - příklad výpočtu derivací vyšších řádů;
  • užití věty o derivování složené funkce více proměnných - transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic (nalezení řešení parciální diferenciální rovnice);
  • vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m ) , limita, spojitost, diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice, derivace složené vektorové funkce, příklady;
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné - úvod .
• 13.4.2015 :
  
  • implicitně definovaná funkce jedné proměnné ; věta o implicitní funkci jedné proměnné ,příklady.
• 15.4.2015:
  
  • ještě věta o implicitní funkci několika proměnných , výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady.
  • systém implicitně definovaných funkcí - příklad;
  • extrémy funkcí více proměnných - úvod.
• 20.4.2015:
  
  • extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů,  věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady;
  • lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu;
  • druhý diferenciál,  diferenciály vyšších řádů a  Taylorův polynom pro funkce  více proměnných;
  • postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice); příklady.
• 22.4.2015:
  
  • postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice);
  • příklady vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; metoda nejmenších čtverců;
  • dvojný  integrál - úvod.
• 27.4.2015:
  
  • dvojný  integrál - definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník : nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace , výpočet - Fubiniova věta pro obdélník ; příklady;
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast - definice.
• 29.4.2015 :
  
  • dvojný integrál přes měřitelnou oblast - připomenutí definice, Fubiniova věta , příklady výpočtu i aplikace;
  • substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady.
• 4.5.2015 :
  
  • trojný integrál - definice trojného Riemannova integrálu, existence a vlastnosti, výpočet, aplikace.
  • substituce v trojném integrálu, spec. válcové a sférické souřadnice, příklady; ještě příklady aplikace a výpočtu trojných integrálů.
• 6.5.2015:
  
  • křivkový integrál skaláru - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky, definice křivkového integrálu skalární funkce; podmínky existence, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skaláru, příklady;
  • křivkový integrál vektorové funkce -  definice a výpočet, příklady;
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady. Nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole;
  • výpočet potenciálu vektorového pole, příklady.
• 11.5.2015:
  
  • nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady. Nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole;
  • výpočet potenciálu vektorového pole, příklady;
  • nevlastní integrál přes neomezený interval -  srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrály, příklady .
  • nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp, divergentní integrál, příklady, kriteria konvergence, příklady;
  • nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad;
  • nutná podmínka konvergence řady;
  • kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací, limitní podílové a odmocninové kriterium, kriterium integrální, příklady;
• 13.5.2015:   Rektorský den - přednáška se bude konala pro zájemce ( nekonečné řady podrobněji).
  
  • absolutní a neabsolutní konvergence řady, Leibnizovo kriteriu pro alternující řady, příklady;
  • mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad, Taylorovy řady, rozvoj funkce v Taylorovu řadu, příklady.

 

 

 

Cvičení - skupina  04 (úterý 9:00-10:30, čtvrtek 13:10-14:40)

•  17.2.2013 :  Lineární algebra - vektorový prostor ( lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi),
  matice( operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice);  výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 1
•  19.2.2015:  Lineární algebra - pokračování  (příklady ze cvičení 1).
•  24.2.2015: Ještě lineární algebra - matice (operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice), výpočet a užití determinantů; řešení soustav lineárních rovnic (příklady - cvičení 1).
           Domácí úkol:   Lineární algebra 1 - dú 1.  
•  3.3.2015:  Ještě lineární algebra - řešení soustav, lineární závislost, nezávislost vektorů, báze;  lineární zobrazení - výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 2
           Domácí úkol:   Lineární algebra 2 - dú 2.
•  5.3.2015:   Lineární zobrazení - vlastnosti lineárnho zobrazení; vlastní čísla a vlastní vektory matice - příklady z minulého cvičení.
  Opakování komplexních  čísel - příklady : Komlexní čísla - opakování .
          Domácí úkol:  Komplexní čísla - dú 3
• 10.3.2015:  Ještě lineární algebra - rozbor příkladů z  2.domácího úkolu z LA.
  
• 12.3.2015:   Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty,  odhad partikulárního řešení .
   Příklady  viz  Sbírka ( Krylová, Štědrý ) nebo výběr příkladů ( z minulých let) : Komplexní čisla  a komplexní funkce, OLDR 2.řádu a  OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu
           Domácí úkol :  OLDR 2.řádu - dú 4.
• 17.3.2015 :  Ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty, variace konstant i odhad partikulárního řešení .
• 19.3.2015 :  zápočtový "testík" z lineární algebry; ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty (případ komplexních kořenů charakteristické rovnice), odhad partikulárního řešení; opakování komplexních čísel.
• 24.3.2015:  lineární diferenciální rovnice 2.řádu - odhad partikulárního řešení ; opakování komplexních čísel; komplexní funkce reálné proměnné; užití komplexní exponenciely při řešení homogenní rovnice i k odhadu partikulárního řešení.
• 26.3.2015:  ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu -  užití komplexní exponenciely při řešení homogenní rovnice i k odhadu partikulárního řešení.
• 31.3.2015: soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu (příklady viz cvičení 12.3.2015);
  reálné funkce několika proměnných - limita, spojitost, parciální derivace, difetrenciál, rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných.
  Příklady  viz  Sbírka ( Krylová, Štědrý ) nebo výběr příkladů: Funkce více proměnných 1 (definiční obor, limita, parciální derivace).
          Domácí úkol (dobrovolný):  Soustavy OLDR 1.řádu - dú 5.
• 2.4.2015: řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu v případě dvojnásobného vlastního čísla matice soustavy; reálné funkce více proměnných-difetrenciál, rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných.
          Domácí úkol:  Funkce více proměnných 1 -  dú 6.
• 7.4.2015 : Ještě procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných, parciální derivace, derivace ve směru. Derivace složených funkcí více proměnných; transformace diferenciálních operátorů do polárních souřednic - další v ýběr příkladů: Funkce více proměnných 2  .
• 9.4.2015:  Další  procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných, parciální derivace, derivace ve směru. Derivace složených funkcí více proměnných; transformace diferenciálních operátorů do polárních souřednic - příklady viz minulé cvičení .
• 14.4.2015: Stále ještě procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných; derivace ve směru.
• 16.4.2015: Stále ještě procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných; derivace složených funkcí více proměnných - příklady viz minulé cvičení .
• 21.4.2015: Derivace složených funkcí více proměnných.
• 23.4.2015: Děkanský den - místo cvičení konzultace pro zájemce.
• 27.4.2015 : Transformace diferenciálních operátorů do polárních souřednic; funkce, definované implicitně a extrémy funkcí dvou proměnných -
  příklady Funkce více proměnných 3 .
         Domácí úkol:  - dú 7. - funkce více proměnných 2 (implicitní funkce) ;  dú 8  -  funkce více proměnných 3 (extrémy)
• 30.4.2015 : Implicitní funkce  několika proměnných. Vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; dvojný integrál -
  příklady:  Dvojný a trojný integrál1 .
• 5.5.2015 : Funkce implicitně definované; vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných; dvojný integrál  - výpočet,  substituce, aplikace. Příklady - Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce .
         Domácí úkol: dú9 - dvojný a trojný integrál
• 7.5.2015 - plán: Dvojný  integrál  - výpočet,  substituce, aplikace.
         Domácí úkol:  dú 10 - křivkový integrál
• 12.5.2015 - plán: Trojný integrál - výpočet,  substituce, aplikace;  křivkový integrál skalární i vektorové funkce, výpočet potenciálu vektorového pole.
        Domácí úkol:  dú11 - Nevlastní integrál.
• 14.5.2015 - plán:  Nevlastní integrál, nekonečné řady.
        Domácí úkol:  dú12 - Nekonečné řady.