PřF UK MA2 (2013/14)

Matematika A2, LS 2013/2014

Sylabus a literatura, požadavky ke zkoušce  a ukázkový test   -  SIS

Konzultační hodiny:   pondělí 9:45 - 10:30 v CH2 a středa  9:00 - 10:30 v pracovně, Albertov 6, místn. 209, nebo i po dohodě.
                                      
Navíc, v pondělí 8:10 - 9:40 se koná v CH2 repetitorium, které je určeno k  opakování  látky, probrané v přednáškách MA2 i na cvičeních.

Zkoušky : 

• Požadavky ke zkoušce - zde
  
• Ukázkový test - zde 
• Termíny zkoušek - viz SIS
• konzultační hodiny ve zkouškovém období - vždy v pondělí (26.5., 2.6., 9.6., 16.6., 23.6.)  9:00-12:00 v CH7, nebo po dohodě.
  

 

 

Některé  vhodné studijní materiály :

• A.Klíč a kol.: Matematika I ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• D.Turzík a kol.: Matematika II ve strukturovaném studiu, VŠCHT  zde
• FEL ČVUT:  P.Olšák: Lineární algebra  zde
• FEL ČVUT:  J Hamhalter, J. Tišer:  Diferenciální počet funkcí více proměnnných zde.
• V. Hájková, M. Johanis, O. John, O. Kalenda, M. Zelený: Matematika. Matfyzpress, 2006  zde

Příklady můžete čerpat zde:

• N.Krylová, M.Štědrý:  Sbírka příkladů z matematiky.
• VUT Brno: MATEMATIKA online - Matematika II
• sbírka KAM MFF
  

Pomocné studijní materiály (návody, řešené příklady) :

1. nevlastní integrál
2. nekonečné řady - "tahák"
3. nekonečné řady - cvičení se řešenými příklady

 

Přednáška ( pondělí 10:40-12:10,  středa 12:20-13:50).

• 17.2.2014 :  Úvod - o obsahu přednášky; lineární algebra podruhé - shrnutí základních pojmů a problémů lineární algebry , probraných v posledních přednáškách MA1 : 
  vektorový prostor ( spec. Rⁿ) - definice, lineární závislost a nezávislost skupiny vekrorů, báze a dimenze lineárního prostoru, souřadnice vzhledem k bázi, izomorfismus   n-rozměrného prostoru s prostorem Rⁿ;
  matice a počítání s maticemi; řešení soustavy lineárních rovnic, Frobeniova věta o řešitelnosti soutavy lineárních rovnic;
• 19.2.2014 : determinant matice - opakování definice determinantu druhého řádu a pak determinantů vyšších řádů indukcí;  Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu třetího řádu, determinant horní trojúhelníkové matice;  několik tvrzení o determinantech - det A =det A^T; determinanty ekvivalentních matic;  det A=0 právě když je matice A singulární; Cramerovo pravidlo;  výpočet inverzní matice pomocí determinantů.
• 24.2.2014 : ještě k vektorovým prostorům - podprostor, lineární obal skupiny vektorů; ještě k determinantům - Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu třetího řádu, aplikace determinantů třetího řádu v geometrii.
  Lineární zobrazení vektorových prostorů, základní vlastnosti lineárního zobrazení;  spec. lineární zobrazení Rⁿ do R^m a jeho vyjádření pomocí matice zobrazení, souvislost vlastností zobrazení a vlastností matic těchto zobrazení ( zobrazení prosté, zobrazení  na, inverzní zobrazení ) ; příklady lineárních zobrazení Rⁿ do R^m ; obecný postup při řešení lineární rovnice;  vlastní čísla a vlastní vektory matice.
• 26.2.2014 :  Přednáška se nekoná, náhradní termín bude upřesněn.
• 3.3.2014 :  Vlastní čísla a vlastní vektory matice.
  Lineární rovnice druhého řádu - nejprve "obecný návod"  pro hledání řešení ( z lineární algebry - řešení lineárních rovnic ),   existenci a jednoznačnosti řešení OLDR 2.řádu;  řešení homogenní rovnice - fundamentální systém řešení (množina řešení je lineární prostor dimenze 2) a návod k hledání fundamentálního systému pro OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty ( v případě dvou  různých reálných kořenů charakteristické rovnice, resp. dvojnásobného kořene , resp. kořenů komplexních); jednoduché příklady.
• 4.3.2014 ( náhradní přednáška za 26.2.2014):   Metoda variace konstant pro nalezení partikulárního řešení rovnice s pravou stranou; metoda odhadu partikulárního řešení pro specielní pravé strany (zatím bez komplexní exponenciely), příklady.
• 5.3.2014: Formulace počáteční úlohy a okrajové úlohy pro OLDR 2.řádu;  příklad -  rovnice harmonických kmitů; zavedení komplexní exponenciely ( i trošku obecněji - komplexní funkce reálné proměnné); užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice.
• 10.3.2014 : Užití komplexní exponenciely při řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty v případě komplexních kořenů charakteristické rovnice a příklady užití komplexní exponenciely při odhadu partikulárního řešení nehomogenní rovnice.
• 12.3.2014: Počáteční úloha pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu - seznámení s problémem pomocí  řešení jednoduchých příkladů, rozbor "výsledků". Počáteční úloha pro soustavy LDR 1.řádu s konstantními koeficienty - zobecnění výsledků řešení příkladů pro případ navzájem různých vlastních čísel matice soustavy. Řešení soustavy v případě komplexních vlastních čísel - na příkladu; poznámky o metodě variace konstant a odhadu řešení nehomogenní soustavy. Řešení OLDR 2.řádu s konstantními koeficienty pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu a obráceně, převedení soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu na lineární rovnici druhého řádu.
• 17.3.2014: Poznámky k řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu -  případ komplexních vlastních čísel - příklad; odhad řešení nehomogenní soustavy.
  Problém Dravec-kořist ( referát).
  Funkce několika reálných proměnných - úvod. 
• 19.3.2014: Příklady reálných funkcí  i vektorových funkcí několika proměnných, vzdálenost v prostoru Rⁿ, úvodní poznámky o limitě funkce více proměnných. příklady.
• 24.3.2014: Množiny v Rⁿ ( množina otevřená, uzavřená, hranice množiny, uzávěr, množina omezená, oblast ); limita funkce, spojitost; příklady; parciální derivace, příklady  výpočtu parciálních derivací, parciální derivace vyšších řádů; záměnnost parciálních derivací.
• 26.3.2014:   Funkce diferencovatelná v bodě, diferenciál funkce, gradient, rovnice tečné roviny (nadroviny) ke grafu funkce a lineární aproximace funkce, příklady.
• 31.1.2014:  Derivace ve směru, odvození vzorce, příklady, význam gradientu funkce; derivace složené funkce více proměnných, odvození pravidla ; příklady derivování složených funkcí, kde vnitřní funkce je funkce jedné nebo i více proměnných; příklad transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic a užití transformace k nalezení řešení parciální diferenciální rovnice.
• 2.4.2014 :  Opakování a příklady derivování složených funkcí více proměnných, transformace diferenciálního operátoru do polárních souřadnic a užití transformace k nalezení řešení parciální diferenciální rovnice, počáteční úloha pro vlnovou rovnici v jedné dimenzi. Úvodní poznámky k problému implicitně definovaných funkcí.
• 7.4.2014 :  Vektorové funkce více proměnných ( obecně z Rⁿ do R^m ) , limita, spojitost, diferenciál vektorové funkce více proměnných jako lineární zobrazení, Jakobiho matice, příklady.
  Definice funkce jedné proměnné implicitně definované; věta o implicitní funkci jedné proměnné ,příklady.
• 9.4.2014 : Věta o implicitní funkci několika proměnných a systému implicitně definovaných funkcí, výpočet a užití derivací funkcí definovaných implicitně, příklady.
• 14.4.2014 :  Extrémy funkcí více proměnných - definice lokálních a globálních extrémů,  věta o globálních  extrémech spojité funkce na kompaktní množině, příklady; lokální extrém - kritické body pro lokální ektrém; nutná podmínka lokálního extrému pro funkce, mající všechny parciální derivace  1.řádu;   druhý diferenciál,  diferenciály vyšších řádů a  Taylorův polynom pro funkce  více proměnných.
• 16.4.2014:  Postačující podmínky pro lokální extrém funkce dvou proměnných (Hessova matice); příklady.  Dvojný  integrál - úvod.
• 23.4.2014 :  Dvojný  integrál - definice dvojného Riemannova integrálu přes obdélník : nutná podmínka a postačující podmínky existence, vlastnosti dvojného integrálu, aplikace , výpočet - Fubiniova věta pro obdélník ;   příklady . Dvojný integrál přes měřitelnou oblast - úvod.
• 28.4.2014: Dvojný integrál přes měřitelnou oblast : definice, Fubiniova věta , příklady výpočtu i aplikace.
• 30.4.2014:  Substituce ve dvojném integrálu ( spec.do polárních  souřadnic), příklady ; trojný integrál, nejprve definice integrálu přes trojrozměrný interval, pak opět rozšíření integrace na integraci přes měřitelnou oblast, výpočet dle Fubiniovy věty pro některé  typy měřitelných oblastí.
• 5.5.2014: Příklady aplikace a výpočtu trojných integrálů; substituce v trojném integrálu, spec. válcové a sférické souřadnice, příklady. 
• 7.5.2014: Křivkový integrál skaláru - co budeme rozumět křivkou v R³(R²), délka křivky, definice křivkového integrálu skalární funkce, podmínky existence, vlastnosti  a výpočet křivkového integrálu skaláru, příklady.
• 12.5.20104:  Křívkový integrál vektorové funkce -  definice a výpočet, příklady. Nezávislost křivkového integrálu vektoru na cestě, potenciální pole, poteciál, příklady. Nutná podmínka a postačující podmínka potenciálnosti pole. Postačující podmínka potenciálnosti pole ( v R² -  Greenova věta). 
• 14.5.2014:  Výpočet potenciálu vektorového pole, příklady. Nevlastní integrál přes neomezený interval - definice konvergence, resp.divergence nevlastního integrálu, příklady.
• 19.5.2014:  Nevlastní integrál přes neomezený interval -  srovnávací a limitní srovnávací kriterium pro integrály, příklady . Nevlastní integrál z neomezené funkce - definice, konvergentní, resp, divergentní integrál, příklady, kriteria konvergence, příklady; integrace  per partes a substituce v nevlastním integrálu; funkce gamma , integrál Laplaceův, Fresnelův .
  
•  20.5.2014 (náhradní přednáška za Rektorský den) v 17:20 v CH2 - plán: Výpočet potenciálu vektorového pole, příklady. Nevlastní integrál přes neomezený interval - definice konvergence, srovnávací  funkce gamma , integrál Laplaceův, Fresnelův .
• 21.5.2014 :  Nekonečné řady -  definice konvergentní, resp. divergentní řady;  jednoduché příklady konvergentních, resp. divergentních řad; nutná podmínka konvergence řady; kriteria konvergence pro řady s nezápornými členy - srovnávací, limitní srovnávací, limitní podílové a odmocninové kriterium, kriterium integrální, příklady; absolutní a neabsolutní konvergence řady, Leibnizovo kriteriu pro alternující řady, příklady; mocninné řady - definice, poloměr a obor konvergence,  základní vlastnosti mocninných řad, Taylorovy řady, rozvoj funkce v Taylorovu řadu, příklady.

 

 

Cvičení - paralelka 03 ( pondělí 16:30-18:00, středa 10:40-12:10).

• 17.2.2013 :  Lineární algebra - vektorový prostor ( lineární kombinace vektorů, závislost, nezávislost skupiny vektorů, báze, souřadnice vektoru vzhledem k bázi), matice ( operace s maticemi, výpočet a užití inverzní matice);  výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 1
            Domácí úkol:   Lineární algebra 1 - dú 1.    
  
• 19.2.2014 :  Ještě lineární algebra - opakování základních pojmů, maticový počet . příklady viz cvičení 17.2. .
• 24.2.2014 :  Ještě opakování LA - řešení soustav lineárních rovnic;  vlastnosti,  výpočet a užití determinantů ( příklady z 17.2.).
  Lineární zobrazení - výběr příkladů:   Příklady z lineární algebry 2  .
           Domácí úkol:  Lineární algebra 2 - dú 2.
• 26.2.2014: Opakování - komplexní čísla : příklady : Komlexní čísla - opakování ,
           Domácí úkol:  Komplexní čísla - dú 3
•   3.3.2014:  Ještě lineární algebra - řešení soustav, lineární závislost, nezávislost vektorů, báze, lineární zobrazení.
•   5.3.2014:  Lineární zobrazení.
• 10.3.2014:  Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty. Příklady  viz  Sbírka ( Krylová, Štědrý ) nebo výběr příkladů: Komplexní čisla  a komplexní funkce, OLDR 2.řádu a  OLDR 2.řádu, soustavy OLDR 1. řádu
          Domácí úkol :  OLDR 2.řádu - dú 4.
• 12.3.2014 :  Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty,  odhad partikulárního řešení .
  
• 17.3.2014: Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty, variace konstant i odhad partikulárního řešení , užití komplexní exponenciely.
  Testík z lineární algebry.
• 19.3.2014: Hodnocení řešení testu z LA. Lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - odhad partikulárního řešení.
• 24.3.2014: Ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty, variace konstant i odhad partikulárního řešení 
          Domácí úkol: Soustavy OLDR 1.řádu - dú 5.
• 26.3.2014: Ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty - odhad partikulárního řešení  užitím komplexní exponenciely.
  Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu ( příklady viz cvičení 10.3.).
• 31.3.2014: Ještě lineární diferenciální rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty, odhad partikulárního řešení  užitím komplexní exponenciely. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.řádu.
  Jednoduché příklady funkcí dvou proměnných.
• 2.4.2014: Reálné funkce několika proměnných - limita, spojitost, parciální derivace, difetrenciál, rovnice tečné roviny ke grafu funkce dvou proměnných.
  Příklady  viz  Sbírka ( Krylová, Štědrý ) nebo výběr příkladů: Funkce více proměnných 1 - definiční obor, limita, parciální derivace.
• 7.4.2014:  Reálné funkce několika proměnných - parciální derivace, diferenciál a jeho užití, derivace ve směru. derivace složených funkcí více proměnných.
  Příklady  viz  Sbírka ( Krylová, Štědrý ) nebo výběr příkladů: Funkce více proměnných 2 - ještě parciální derivace, derivace ve směru a derivace složených funkcí.
         Domácí úkol:  Funkce více proměnných 1 -  dú 6.
• 9.4.2014 : Testík - lineární diferenciální rovnice 2.řádu. Ještě procvičování základních pojmů u funkcí více proměnných, parciální derivace, derivace ve směru.
• 14.4.2014 :  Derivace složených funkcí více proměnných; vektorové funkce více proměnných.
• 16.4.2014: Derivace složených funkcí více proměnných; transformace diferenciálních operátorů do polárních souřednic.
• 23.4.2014 :  Ještě derivace složených funkcí více proměnných ( řetízkové pravidlo); druhý diferenciál a jeho užití.
• 28.4.2014 :  Implicitní funkce jedné proměnné i několika proměnných; vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí více proměnných - výběr příkladů:  Funkce více proměnných 3 - implicitní funkce, extrémy funkcí dvou proměnných.
           Domácí úkol: Funkce více proměnných 2 - implicitní funkce - dú 7.
                                     Funkce více proměnných 3 - extrémy - dú 8
• 30.4.2014:  Implicitní funkce  několika proměnných; vyšetřování lokálních i globálních extrémů funkcí dvou proměnných.
• 5.5.2014:  Vyšetřování lokálních a globálních extrémů funkcí dvou proměnných; dvojný integrál - příklady:  Dvojný a trojný integrál1 . 
• 7.5.2014:   Testík - základní pojmy diferenciálního počtu funkcí více proměnných.
  Dvojný integrál - příklady:  Dvojný a trojný integrál1   a   Dvojný a trojný integrál 2 - užití substituce .
           Domácí úkol:  dú9 - Dvojný a trojný integrál
• 12.5.2014: Dvojný a trojný integrál integrál.
• 14.5.2014: Dvojný a trojný integrál integrál - substituce, aplikace.
• 19.5.2014 : Křivkový integrál skalární i vektorové funkce, potenciál.
            Domácí úkol:  dú 10 - křivkový integrál
• 21.5.2014 : Výpočet potenciálu vektorového pole. Nevlastní integrál.
            Můžete zkusit domácí úkoly:  dú11 - Nevlastní integrál. a dú12 - Nekonečné řady.